1   2   3   4   5
Ім'я файлу: КУРСОВА.doc
Розширення: doc
Розмір: 1136кб.
Дата: 29.05.2020

1.8 Приклади застосування інтерполяційних формул

1.8.1 Приклад 1

Використовуючи першу і другу інтерполяційну формулу Ньютона і Гауса, а також інтерполяційні формули Стірлінга і Бесселя необхідно знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 1) при значенні аргументу . При цьому крок .

Таблиця 1. Значення функції







xi

yi







1,50

15,132







1,55

17,422







1,60

20,393







1,65

23,994







1,70

28,160







1,75

32,812







1,80

37,857

Розв’язання:

Складемо спочатку таблицю кінцевих різниць (табл. 2).
Таблиця 2. Кінцеві різниці




і

xi

yi

yi

2yi

3yi

1,50

15,132

2,290

0,681

-0,051




1

1,55

17,422

2,971

0,630

-0,065

2

1,60

20,393

3,601

0,565

-0,079

3

1,65

23,994

4,166

0,486

-0,093

4

1,70

28,160

4,652

0,393




5

1,75

32,812

5,045







6

1,80

37,857

































































































4
















5
















6
















При складанні таблиці різниць обмежимося різницями третього порядку, оскільки вони практично постійні.

· За першою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 7), приймаючи , (табл. 2), отримаємо:

;

;



· За другою інтерполяційною формулою Ньютона (1. 2. 11), приймаючи , (табл. 2), отримаємо:

;

;



· За першою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 4), приймаючи , , матимемо:

.

Отже, отримаємо:



· За другою інтерполяційною формулою Гауса (1. 3. 6), приймаючи , , отримаємо:

;



· За інтерполяційною формулою Стірлінга, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) у формулу (1. 5. 1) отримаємо:



· За інтерполяційною формулою Бесселя, підставляючи відповідні коефіцієнти із таблиці різниць (табл. 2) в формулу (1. 4. 3) отримаємо:



Тепер проведемо оцінку отриманих результатів. Введемо наступні позначення:

ІФН – інтерполяційна формула Ньютона;

ІФГ - інтерполяційна формула Гауса;

ІФБ - інтерполяційна формула Бесселя;

ІФС - інтерполяційна формула Стірлінга.

Для зручності результати запишемо у вигляді таблиці (табл. 3):

ІФН 1-ша

ІФН 2-га

ІФГ 1-ша

ІФГ 2-га

ІФБ

ІФС

20,7930

20,7929

20,7931

20,79486

20,5784

20,7930

Таблиця 3. Отримані результати.

Тепер визначимо похибку отриманих результатів. Для цього від значення, отриманого за допомогою першої ІФН, віднімемо результати, отримані зі допомогою інших формул. В результаті отримаємо таку розрахункову табличку (табл. 4):

ІФН 2-га

ІФГ 1-ша

ІФГ 2-га

ІФБ

ІФС

0,00015

0,00013

0,00186

0,21457

0,00001

Таблиця 4. Абсолютні похибки результатів.

Тоді, щоб отримати відносну похибку результату, необхідно абсолютні похибки поділити на відповідні отримані наближені значення , отримані за формулами (1. 2. 7), (1. 2. 11), (1. 3. 4), (1. 3. 6), (1. 4. 3), (1. 5. 1). Тобто маємо (табл. 5):

ІФН 2-га

ІФГ 1-ша

ІФГ 2-га

ІФБ

ІФС

0,00070%

0,00062%

0,00893%

1,04270%

0,00004%

Таблиця 5. Відносні похибки.

Бачимо, найкраще наближення до значення, одержаного за ІФН 1-ою, досягається інтерполяційною формулою Стірлінга.

Висновок. Як зазначалося вище (див. пункт 1.6), ІФС краще використовувати, для інтерполювання в середині таблиці, в чому ми і переконалися в даному прикладі, оскільки знаходиться всередині таблиці.

1.8.2 Приклад 2

Знайти значення функції , заданої таблицею (табл. 6) при значенню аргументу , використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона для нерівновіддалених вузлів. При розрахунках враховувати лише розділені різниці першого і другого порядків.

Таблиця 6. Значення функції

xi

f(xi)




0,698

2,22336

0,706

2,24382

0,714

2,26446

0,727

2,29841

0,736

2,32221

0,747

2,35164

0,760

2,38690

0,769

2,41162

0,782

2,44777





























































Розв’язання:

Оскільки в умові сказано використовувати лише розділені різниці другого і третього порядку, то формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів (1. 7. 5) матиме вигляд:

,

де .

Попередньо обчислимо необхідні значення розділених різниць (табл. 7).

Таблиця 7. Розділені різниці
















і

xi

f(xi)

f(xi,xi+1)

f(xi,xi+1,xi+2)
















0

0,698

2,22336

0,02046

0,00018
















1

0,706

2,24382

0,02064

0,01331
















2

0,714

2,26446

0,03395

-0,01015
















3

0,727

2,29841

0,02380

0,00563
















4

0,736

2,32221

0,02943

0,00583
















5

0,747

2,35164

0,03526

-0,01054
















6

0,760

2,38690

0,02472

0,01143
















7

0,769

2,41162

0,03615



















8

0,782

2,44777







Для визначення приймаємо . Для зручності складаємо допоміжну розрахункову таблицю (табл. 8), звідки отримаємо:



Таблиця 8. Розрахункова таблиця


1   2   3   4   5

скачати

© Усі права захищені
написати до нас