1   2   3   4   5
Ім'я файлу: КУРСОВА.doc
Розширення: doc
Розмір: 1136кб.
Дата: 29.05.2020

1.2.1 Перша інтерполяційна формула Ньютона

Нехай для функції задані значення для рівновіддалених значень незалежної змінної: , де - крок інтерполяції. Необхідно підібрати поліном степені не вище п, який приймає в точках значення

(1. 2. 3)

Умови (1. 2. 3) еквівалентні тому, що . Слідуючи Ньютону, будемо шукати поліном у вигляді



Використовуючи загальний степінь, вираз (1. 2. 3) запишемо так:



Наша задача заклечається у визначенні коефіцієнтів полінома . Покладаючи у вираз (1. 2. 5), отримаємо .

Щоб знайти коефіцієнт , складемо першу кінцеву різницю . Припускаючи в останньому виразі , отримаємо: ; звідки . Для визначення коефіцієнта складемо кінцеву різницю другого порядку . Покладаючи , отримаємо: ; звідки . Послідовно продовжуючи цей процес, ми виявимо, що , де .

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів у вираз (1. 2. 5) отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

. (1. 2. 6)

Легко побачити, що поліном (1. 2. 6.) повністю задовольняє вимогам поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь поліному не вище п, по-друге, і



Замітимо, що при формула (1. 2. 6) перетворюється в ряд Тейлора для функції . Дійсно, Крім того, очевидно, . Звідси при формула (1. 2. 6) приймає вид поліному Тейлора: .

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (1. 2. 6) зазвичай записують в дещо перетвореному вигляді. Для цього введемо нову змінну за формулою ; тоді



підставляючи ці вирази у формулу (1. 2. 6), отримаємо:

, (1. 2. 7)

де являє собою кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи із точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.

Формулу (1. 2. 7) вигідно використовувати для інтерполювання функції в околі початкового значення , де мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (1. 2. 7) покласти п=1, то отримаємо формулу лінійного інтерполювання: . При п=2 будемо мати формулу параболічного або квадратичного інтерполювання

.

Якщо дана необмежена таблиця значень , то число в інтерполяційній формулі (1. 2. 7) може бути довільним. Практично в цьому випадку число обирають так, щоб різниця була постійною із заданою точністю. За початкове значення можна приймати довільне табличне значення аргументу .

Якщо таблиця значень функції скінчена, то - число обмежене, а саме: не може бути більше числа значень функції , зменшеного на одиницю.

Відзначимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно використовувати горизонтальну таблицю різниць, так як потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

1.2.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона

Перша інтерполяційна формула Ньютона практично незручна для інтерполювання функції поблизу вузлів таблиці. В такому випадку зазвичай застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона. Виведемо цю формулу.

Нехай маємо систему значень функції для рівновіддалених значень аргументу , де - крок інтерполяції. Побудуємо поліном наступного вигляду:



або, використовуючи узагальнену степінь, отримуємо:

. (1. 2. 8)

Наша задача полягає у визначенні коефіцієнтів таким чином, щоб виконувались умови (1. 2. 3). Для цього необхідно і достатньо, щоб

(1. 2. 9)
Покладемо у формулі (1. 2. 8). Тоді будемо мати: , отже .

Далі беремо від лівої і правої формули (1. 2. 8) кінцеві різниці першого порядку

.

Звідси, вважаючи і враховуючи відношення (1. 2. 9) будемо мати:

. Отже .

Покладаючи знаходимо: . І таким чином .

Характер закономірності коефіцієнтів достатньо зрозумілий. Застосовуючи метод математичної індукції, можна строго довести, що

(1. 2. 10)

Підставляючи ці значення у формулу (1. 2. 8) будемо мати остаточно

(1. 2. 11)

Формула (1. 2. 11) носить назву другої інтерполяційної формули Ньютона.

Введемо більш зручний запис формули (1. 2. 11). Нехай , тоді

і т. д.

Підставивши ці значення у формулу (1. 2. 11), отримаємо:

.(1.2.12)

Це і є загальний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції вважають, що .

Як перша, так и друга інтерполяційні формули Ньютона можуть бути використані для екстраполяції, тобто, для знаходження значень функції для значень аргументів , котрі лежать за межами таблиці. Якщо і близько до , то вигідно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Якщо ж і близько до , то зручніше використовувати другу інтерполяційну формулу Ньютона, причому тоді . Таким чином, перша інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполяції вперед і екстраполяції назад, а друга інтерполяційна формула Ньютона, навпаки, – для інтерполяції назад і екстраполяції вперед (див. [8]).

Відмітимо, що операція екстраполяції, взагалі кажучи, менш точна, ніж операція інтерполяції у вузькому значенні слова.
1.2.3 Оцінка похибок інтерполяційних формул Ньютона

Для функції ми побудували інтерполяційний поліном Ньютона , який приймає в точках задані значення . Виникає питання, наскільки близько побудований поліном наближається до функції в інших точках, тобто наскільки великий залишковий член . Для визначення цього степеня наближення накладемо на функцію додаткові обмеження. А саме, ми будемо припускати, що в області зміни : , котра містить вузли інтерполювання, функція маєвсі похідні до (п+1)-го порядку включаючи.

Введемо допоміжну функцію

, (1.2.12)де і

- постійний коефіцієнт, котрий буде обрано нижче.

Функція , очевидно, має п+1 корінь в точках . Підберемо тепер коефіцієнт таким чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка , яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти

.

Звідси, так як , то

(1. 2. 13)

При цьому значення множника функції має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна має не менше п+1 кореня на відрізку .



Малюнок 1. Графік функції

Застосовуючи теорему Ролля до похідної , ми переконаємося, що друга похідна перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .

Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку похідна має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто .

Із формули (1. 2. 11) так як , маємо: . При , отримуємо: Звідси . (1. 2. 14)

Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:

, тобто

. (1. 2. 15)

Так як довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:

, (1. 2. 16)

де залежить від і лежить всередині відрізка .

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 17)

де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17) , отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:

, (1. 2. 18)

де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що майже постійними для функції і достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:

.

В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний

.

При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз

.

1   2   3   4   5

скачати

© Усі права захищені
написати до нас