1   2   3
Ім'я файлу: АЛГЕБРА чистовик 19.09.docx
Розширення: docx
Розмір: 386кб.
Дата: 29.09.2021
Пов'язані файли:
ГОТОВАЯ ГЕОГРАФИЯ.docx


ЗМІСТ

Анотація

ВСТУП …………………………………………………………………………….5

РОЗДІЛ 1 ВИВЧЕННЯ ТЕОРЕТИЧНИХ ОСНОВ ТЕМИ «ПОХІДНА» В ШКІЛЬНІЙ ПРОГРАМІ

1.1 Поняття похідної. Її геометричний і фізичний зміст. Правила диференціювання і таблиця похідних……………………………………………..8

1.2 Історія розвитку і виникнення поняття похідної та використання цих відомостей в ході навчальних занять………………………………………………17

1.3 Роль Ньютона і Лейбніца в створенні диференціального обчислення………23

РОЗДІЛ 2 ВИВЧЕННЯ ТЕМИ «ЕЛЕМЕНТАРНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВА ГРАФІКА»

2.1 Зростання та спадання функції ……………………………..............................28

2.2 Методика знаходження точок екстремуму функції………………………….31

2.3 Найбільше і найменше значення функції……………………………………..36

2.4 Дослідження на опуклість графіка функції і точки перегину……………….38

2.5 Побудова асимптот графіка функції…………………………………………..41

2.6 Загальна схема дослідження функції та побудови графіка………………….45

РОЗДІЛ 3 РОЗРОБКА ПРОГРАМИ ЕЛЕКТИВНОГО КУРСУ

«ЗАВДАННЯ НА ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВА ГРАФІКІВ» ДЛЯ УЧНІВ 11 КЛАСУ…………………………………………………………..47

ВИСНОВКИ………………………………………………………………………..54

ВИКОРИСТАНІ ДЖЕРЕЛА……………………………………………………..56

Анотація

Дипломна робота на тему: «Дослідження функції за допомогою другої похідної в шкільній програмі» складається - 58 с., 1 табл., 16 рис., 15 джерел використаної літератури.

Актуальність цієї теми роботи полягає в тому, що для багатьох проблем елементарної математики в середній школі допускаються "елементарні" та "неелементарні" рішення. Використання похідних зазвичай забезпечує більш ефективне рішення та знайомить учнів із математичним пристроєм обчислення.

В першому розділі розгянуті теоретичні основи вичення теми «Похідна» в шкільній програмі, а саме: поняття похідної, її геометричний і фізичний зміст, та правила диференціювання і таблиця похідних. Досліджена історія розвитку і виникнення поняття похідної. Досліджена та проаналізована роль Ньютона і Лейбніца в створенні диференціального обчислення. Наведені приклади.

В другому розділі проведено дослідження функції та принципи побудови графіків. Дослідили функцію на зростання та спадання, виявили та проаналізували метод знаходження точок екстремуму. Дослідили графік на опуклість та принцип побудови асимптот.

В третьому розділі запропонували програму елективного курсу по вивченню теми «Похідна». Було складено пояснювальну записку та зміст навчального курсу.

Викладена дипломна робота дозволяє вчителю 11 класу загальноосвітньої школи послідовно викласти учням матеріал згідно нової програми вивчення елементів диференціального числення в школі.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: ПОХІДНА, МЕЖІ, ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ПОБУДОВА ГРАФІКІВ, ФУНКЦІЯ, ОПУКЛІСТЬ, СПАДАННЯ, ЗРОСТАННЯ, ВВІГНУТІСТЬ.

Summary

Thesis on the topic: "Study of the function using the second derivative in the school program" consists of - 58 pages, 1 table, 16 figures, 15 sources of literature.

The relevance of the topic of the work is that for many problems of elementary mathematics in secondary school allowed both "elementary" and "non-elementary" solution. The use of a derivative usually gives a more effective solution and to acquaint students with the mathematical apparatus of differential calculus.

The first section explains the theoretical foundations of the study of the topic "Derivative" in the school curriculum, namely: the concept of derivative, its geometric and physical meaning, and the rules of differentiation and table of derivatives. The history of development and origin of the concept of a derivative is investigated. The role of Newton and Leibniz in the creation of differential calculus is studied and analyzed. The examples are given.

In the second section, a study of the function and principles of graphing. The function of rising and falling was investigated, and the method of finding extremum points was identified and analyzed. The graph for convexity and the principle of construction of asymptotes were investigated.

In the third section, we proposed a program of an elective course to study the topic "Derivative". An explanatory note and the content of the training course were compiled.

The presented diploma work allows the teacher of the 11th grade of secondary school to consistently present the material to students according to the new program of studying the elements of differential calculus in school.

KEY WORDS: DERIVATIVE, BOUNDARIES, DIFFERENTIAL EQUATIONS, CONSTRUCTION OF GRAPHS, FUNCTION, CONVEX, DECLINE, GROWTH, CONCENT.

ВСТУП
«Похідна та її застосування» як розділ алгебри та початку аналізу відіграє важливу роль в шкільній програмі математики, головним чином тому, що вона має суттєве практичне значення.

На початкових курсах алгебри та математичного аналізу 10-11 класи вивчають елементарні функції. Навички та вміння, набуті учнями при дослідженні функцій, є прикладними та практичними. Матеріали, пов'язані з дослідженням функцій, є важливою частиною шкільної програми з математики. Це пояснюється тим, що вони широко використовуються в різних частинах математики для вирішення різних прикладних задач. Розвиток функціональних концепцій у вивченні алгебри та початок аналізу допомагають старшокласникам чітко усвідомити безперервність будь-якої функції у її визначенні, навчитися будувати графіки та узагальнювати інформацію про основні елементарні функції.

Сучасні школи мають забезпечувати освіту для всебічних людей. Саме тому, аби покращити науково-теоретичний характер викладання, ми повинні зосередитися на вихованні в учнів здатності застосовувати отримані знання на практиці, на вихованні психологічних здібностей та виховному інтересі.

Похідні та їх застосування та аналіз в курсі алгебри дуже важливі для загального розвитку дітей. Розвиток учнів: здатність самостійно аналізувати ситуацію, спроможність швидко пристосовуватись до нових умов, вміти використовувати отримані знання, графічні навички (правильно та якісно виконувати побудову); розвивати інтересу до алгебри та початку аналізу. Розвиток вмінь аналізувати та здійснювати грунтовні висновки, можливість укладати усну та письмову культуру мови математики.

Загалом, початок дослідження на тему похідних та її застосування та аналіз в алгебрі зробив значний внесок у розвиток логічної культури учнів.

При вивченні цього предмета було введено поняття похідної, що розкриває її геометричний та механічний зміст. Похідні дозволяють чітко сформулювати багато законів природи. В курсах математики використання диференціального числення для вивчення властивостей функцій, побудови їх фігур, вирішення задач максимуму та мінімуму, обчислення площі та об’єму геометричних фігур та поглиблення історичних знань з математики.

Актуальність теми роботи заключається в тому, що для більшості завдань з математики середньої школи допускаються як «елементарні», так і «неелементарні» рішення. Застосування похідних зазвичай забезпечує більш ефективне рішення. Можна оцінити міцність, естетичність та універсальність нового математичного пристрою.

Все це призвело до вибору теми «Дослідження функції за допомогою другої похідної в шкільній програмі».

Об’єкт дипломної роботи: процес вичення похідної та функцій.

Предметом даного дослідження є методика вивчення похідної в курсі алгебри і початків аналізу в школах.

Метою роботи є класифікація та впорядкування знань про похідну та методи навчання в школі, а також розробка навчальних матеріалів для дослідження та розробки окремих тем, пов’язаних із похідною у шкільній навчальній програмі з математики.

Щоб досягнути запланованої мети планується виконання таких завдань:

  • Дослідити науково -методичну літературу, пов’язану з предметом;

  • Зробити аналіз сучасних шкільних програм, підручників та класифікувати інформацію про похідні - дослідження та їх застосування у навчальній програмі шкільної алгебри та початку аналізу;

  • Розробити елективний курс дослідження похідних та їх застосування у середніх школах;

  • Отримати висновок.

В роботі розглянуті роботи таких науковців, як І.Ньютон, Г. Лейбніца. Підручники таких авторів, як Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, М. В. Ткачьова, Л. В. Гриценко, Г. С. Костецька, Л. А, Ігнаткіна, Е. И, Томіна та ін.

Дипломна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

РОЗДІЛ 1 ВИВЧЕННЯ ТЕОРЕТИЧНИХ ОСНОВ ТЕМИ «ПОХІДНА» В ШКІЛЬНІЙ ПРОГРАМІ
При вивченні такого курсу алгебри, як «алгебра і початки аналізу» в 10-11 класах, учні стикаються з деякими труднощами. Це стосується і основної теми курсу - теми «Похідна». Однак розуміння цього навчального матеріалу виступає фундаментом вивчення більш складних розділів вищої математики - математичного аналізу, диференціальних та інтегральних числень та інших. Тому успішне освоєння подальшого курсу математики в школі неможливо без чіткого смислового розуміння цього математичного терміну.

1.1 Поняття похідної. Її геометричний і фізичний зміст. Правила диференціювання і таблиця похідних

Суворе математичне означення похідної спирається на поняття межі, в шкільній програмі звичайного класу яке не вивчається, хоча цілком допустимо знайомство з ним в класах профільного рівня навчання, а також на факультативах і додаткових позакласних заняттях. Але визначення меж нам зараз неважливо, головне – засвоїти основну ідею, що лежить в основі поняття межі.

Розглянемо наступну послідовність:

1, , ,…

Відзначимо члени цієї послідовності на числовій прямій (рис 1.1) [11, с. 2].



Рис. 1.1 Послідовність чисел (
Ми бачимо, що наші числа необмежено наближаються до нуля (але ніколи його не досягають).

Якщо почати з n=10, всі члени послідовності виявляться на відстані не більше від нуля; починаючи з n=100, всі вони будуть на відстані не більше від нуля і т.д.

Кажуть, що послідовність прагне до нуля, або сходиться до нулю, або що межа цієї послідовності дорівнює нулю. Записати це можна так:

= 0.

Образно кажучи, наша послідовність «втікає» в точку 0, цей факт як раз і відображає поняття межі. Точно так же послідовність

= 3 +

Буде «втікати» в точку 3. Тому

= 3

Підкреслимо, що «втікання послідовності в точку а» означає, що поблизу числа а знаходяться всі члени даної послідовності, починаючи з деякого номера. Більш точно, зміст виразу «межа послідовності дорівнює a »такий: яку б відстань ми наперед не задали, всі числа, починаючи з деякого номеру, будуть перебувати від числа а на відстані менше [11, с. 3].

Окрім меж послідовностей, можна також сказати про межі функцій. Пам'ятайте, що функція y = f x - це залізне правило, котре дає змогу будь-якому дійсному значенню x отримати єдине відповідне вірне значення y. У цьому випадку параметр функції називається числом x, а значення функції - числом y.

Нас буде цікавити поняття кордону функції в точці. Це формалізувало ту саму ідею "витоку".

Тільки цього разу графік функції y = f x буде "вибігати" до певної точки на координатній площині, досягаючи певного значення параметра x.

Нас буде цікавити поняття кордону функції в точці. Це формалізувало ту саму ідею "витоку".

Тільки цього разу графік функції y = f x буде «вибігати» до певної точки на координатній площині і досягяти певного значення параметра x.

Видно, що на малюнку (рис. 1.2) ми бачимо графік параболи-функції y = x2. Візьмемо значення x рівним 2 (x = 2), знайдемо і позначимо відповідну точку A на графіку. (2,4)



Рис.1.2 Графік функції y=x2

Припустивши, що x приближається до 2 (неважливо з якого боку, праворуч або ліворуч). Та при цьому графік «втікає» в точку A, котру відзначено стрілками на (рис. 1.2.). Інакше говорячи, значення функції прагне до 4, та дане твердження буде виглядати інакше



У разі, якщо граничне значення a параметру x можна підставити у функцію f x і задовольнити рівняння

,

В такому випадку функція f x матиме назву безперервна в точці a. В інакшій ситуації функція в цей час буде називатися розривною.

Таким чином, функція f x = x2 є неперервною в точці x = 2 (у будь-якій точці). Графік цієї функції являє собою суцільну лінію, викреслену без видалення ручки з паперу [9].

Це завершує розуміння межі та продовжує визначати похідну та її фізичний та геометричний зміст.

Припустимо, функція y = f (x) визначена у певній околиці точки x0, і припустимо x - певна точка цієї околиці. Якщо є межа



при , то ця межа називається похідною функції y=f(x) в точці x0 і позначається .

З цього випливає,

=

позначивши, x – x0= , + =fx – f( ), отримаємо

= =

Чисельником називаємо збільшення функції f x у точці x0, що відповідає збільшенню вільної змінної Δa.

Рішення. Якщо припустити, що кінцева межа при :

,

В результаті отримуємо, що функція fx диференціюється в точці x=x0.

Примутка. Безперервність в прийнятих позначеннях можемо зобразити як f x0 + = Ця рівність називається різницевої формою умови безперервності функції в точці x0.

Можна отримати визначення лівої похідної, якщо допускати лише негативні ∆x, і правою похідною, допускаючи лише позитивні значення ∆x[15, с. 107].

Похідна функції має кілька позначень:

.

Іноді в позначенні похідної використовується індекс вказує з якої змінної взята похідна [30].

Фізичний зміст похідної. Нехай x - час, а y = f x - координата точки, що рухається по осі 0y в момент часу x.

Різниця відношення

=

називається середньою швидкістю точки на проміжку часу від моменту x до моменту x +∆x, а величина

= f' x =

називається миттєвою швидкістю точки в момент часу x. У тому випадку, якщо функція y = f x довільна, то похідна f' x буде характеризувати швидкість зміни змінної y (функції) по відношенню до зміни аргументу x [13, c. 12].

Геометричний зміст похідної. Припустимо дану прямокутну систему координат і дану пряму l. Використовуйте букву a, щоб вказати кут, під яким потрібно повернути вісь 0x, щоб поєднати її позитивний напрямок з одним із напрямків на лінії l, - (рисунок 1.3).



Рис.1.3 Поворот осі 0x

Число k = tga називається кутовим коефіцієнтом прямої l у системі координат. Розглянемо графік функції y = f x, тобто множину точок x, f x, x ϵ X, де X - область функції. Зверніть увагу на точки M x, f x та N x + ∆x, f x + ∆x на малюнку. Рядок MN будемо називати січною графіку функцій. Значення кута між січною MN та віссю 0x представлено φ∆x (рис.1.4). Тепер вказуємо ∆x на нуль.



Рис.1.4 Січна до графіка функції

Вирішити. Існує

,

Тоді пряма l з кутовим коефіцієнтом k = tg , що проходить через точку M x, f x, називається тангенсом графіка в точці M функції y = f x.

Також сказано, що лінія l є граничним положенням січної MN при Δx → 0. Тому ми можемо сказати, що тангенс функції y = f x у точці M x, f x є граничним положенням січної MN при Δx → 0.

Теорема 1. Якщо функція y = fx має похідну у точці x, то графік функції має дотичну в точці M x, fx, а кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює .

Доведемо. З трикутника MNP (рис. 1.4) можемо отримати:

.

Переходимо до межі при і скориставшись тим, що

=

і є безперервною функцією. Oтримаємо в результаті:



Звідси по визначенню дотичної слідує, що існує дотична до графіка функції в точці M x, f x. При цьому

=

і, отже, k = tg = . Теорему ми довели [14, c. 159].

Рівняння дотичної до графіка функції y = f x в точці M ( має вигляд:

= x -

Обчислення похідної елементарної функції спрощується до обчислення межі. Обчислимо деякі з них [7, с. 225]:

1. fx = , f' x = n·

Окремо n=0: f x = 1, f ' x =0.

Окремо n=1: f x = x, f ' x =1.

Обчислення. Позначимо:

A , = . = . .

Переходимо до межі при та в результаті маємо:

2. f x = .

Обчислення. Позначимо:

A , = = .

Переходимо до межі при , та в результаті маємо:



3. f x = sin x =cos x.

Рахуємо:

A , =

Використовуючи відомy тригонометричну тотожність (різниця синусів), маємо:

A , = 2· =

Переходимо до границі при :



4. f x = cos x = - sin x

Рахуємо: A( =

Використовуючи відомy тригонометричну тотожність (різниця косинусів), маємо:

A , = - 2· =-

Переходимо до границі при :



5. f x = ln x =

Рахуємо:

A , = = =

Переходимо до границі при :



Згадаємо, що операцію по визначенню похідної функції називають диференціюванням.

Розглянемо основні правила диференціювання.

Якщо функції u x і v x мають похідні в точці x, то і функції u x , u x , (де ) також мають похідні в точці x, причому:

  1. u x + v x ' = u' x + v' x

  2. u x - v x ' = u' x - v' x

  3. u x ·v x ' = u' x · v x + v' x · u x

  4. ' =

  5. c·f x ' = c·f' x , де с = соnst, аf(x) – функція.

Доведемо ці правила диференціювання, почнемо з самого першого, з правила знаходження похідної суми двох функцій.

Правило 1. Похідна суми двох функцій, що диференціюються дорівнює сумі похідних цих функцій.

Доведення:

Є функції u x , такі що

= і v' x=

Треба довести u x + v x' = u' x + v' x

Нехай u x + v x = f x

f 'x= = = =

= = + =

= + = u' x + v' x.

Отже, u x + v x' = u' x + v' x, що й необхідно було довести [3]

Зауваження 1. Аналогічно можна довести правило 2, що

u x - v x' = u' x - v' x.

Правило 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює сумі кожної функції на похідну іншій.

Доведення. Позначимо

f x = u x ·v x. Тоді:

f = f x +∆x = u x + ∆x · v x + ∆x- u x ·v x= u x + ∆x · v x+ ∆x - u x ·v x+

+ u x ·v x+ ∆x - u x ·v x+ ∆x = u x+ ∆x - u x ·v x+ ∆x+ u x ·v x+ ∆x – v x =

= ∆u·v x+ ∆x + ∆v·u x

Звідси

= ·v x+ ∆x + ·u x.

Перейдемо тепер в цьому виразі до межі при :

= v x ·u' x+ u x· v' x.

Звідси робимо висновок, f' x = u x ·v x' = v x ·u' x + u x · v x, що й треба було довести [2].

Правило 4. Похідну приватного двох диференційовних функцій можна знайти за формулою:

= ,

де v x .

Доведення.

За визначенням похідної

= =

= = =

= = =

= u x = .

Що і треба було довести [13]

Наслідок:

tgx' = = = = .

Правило 5.

c·f x' = c·f ' x , де c = const.

Доведення. За визначенням похідної маємо [14]:

c·f x' = = = =

= .

Довільний множник можна виносити за знак граничного переходу (це відомо з властивостей межі), тому

c·f x' = = c· f' x

Отримаємо підсумкову таблицю похідних, що включає похідні найважливіших функцій [5]:
Таблиця 1.1

Похідні основних функцій

1. c' = 0, c = const

9. ' =

2. =

10. tgx' =

3. = ln a

11. ctgx' = -

4. =

12. arccosx' = -

5. =

13. arcsinx' =

6. =

14. arctgx' =

7. = cos x

15. arcctgx' =

8. = - sin x




Зручно мати таку таблицю похідних від елементарних функцій при вирішенні завдань.
1.2 Історія розвитку і виникнення поняття похідної та використання цих відомостей в ході навчальних занять
Термін "похідна" - це російський дослівний переклад французького слова "derivee", яке було введено в математику в 1797 році Ж. Лагранжем, а також він є автором сучасних символів для похідних y ', f'. В. І. Висковатов ввів російський термін «похідна функції».

Похідна-одне з основних понять математики. Воно з’явилося через необхідність вирішення багатьох проблем у фізиці, механіці, кінематиці та математиці, але воно полягає головним чином у побудові тангенсу кривої, що описує залежність відстані подорожі від часу, та у визначенні швидкості переміщення прямої лінії.

В математиці вона відображає числове уявлення ступеня змін величини, яка знаходиться в одній і тій же точці, під впливом різних умов. Формула похідної знайома нам ще з 15 століття. Видатний італійський математик Тарталья застосовує її в своїх працях, розглядаючи і розвиваючи питання про залежність дальності польоту снаряда від нахилу знаряддя.

У першому своєму творі «Нова наука» 1537 року його вперше показав, що траєкторія польоту снаряду на всьму протязі є крива лінія (парабола), між тим як до нього вчили, що траєкторія снаряду складається з двох прямих, з’єднаних кривою лінією; тут же він говорить про те, що найбільша дальність польоту снаряду відповідає куту в 45 °. Робота «Загальний трактат про число і міру» містить великий матеріал з питань арифметики, алгебри і геометрії. Ім'я Тарталья також пов'язано з розробкою способу розв'язання кубічних рівнянь [10].

Формула похідної часто зустрічається нам в роботах відомих геніїв в області математики 17 століття. Нею користуються Ньютон і Лейбніц. Активно розвивалася кінематична концепція похідної, заснована на вченні Г. Галілея про рух, яка пов'язана з введенням ним поняття прискорення і подальшого узагальнення його для випадку криволінійного руху голландським ученим Християном Гюйгенсом (1629 - 1695). Він перший застосував розкладання прискорення на дотичну і нормальну складові. Галілей присвячує цілий трактат ролі похідної в математиці.

Слідом за цим похідна і різні виклади з її застосуванням стали зустрічатися в роботах багатьох відомих математиків таких, як Декарт, французький математик Роберваль і англієць Грегорі. Значний внесок по вивченню похідною внесли такі генії, як Лопиталь, Бернуллі, Ейлер, Гаус.

Саме в цей час проблема визначення та обчислення швидкості руху та його прискорення стала як ніколи гострою. Розв’язання цих проблем призвело до встановлення зв’язку між задачею обчислення швидкості рухомих об’єктів та задачею тангенсу кривої, яка описує залежність відстані подорожі від часу.

Дійсно, коли матеріальна точка (рис.1.5) переміщується по кривій лінії, вектор швидкості v в кожен період часу спрямований по дотичній МТ до кривої.



Рис.1.5 Рух матеріальної точки

Використовуючи цей зв'язок, Е. Торрічеллі обчислив вектор швидкості тіла, кинутого під кутом до горизонту, і отримав витончений спосіб побудови дотичної до параболи.

Завдання про знаходження дотичної до кривої виходить в цей час в математиці на перший план.

Перші загальні методи побудови дотичних до широкого класу кривих були дані Р. Декарт і П. Ферма. Однак їхні методи, як і методи древніх геометрів, які вміли будувати дотичні до кіл, еліпсів, парабол, гіпербол і ще деяких кривих, вимагали спеціальних підходів в кожному конкретному випадку. Всі ці різноманітні способи не вкладалися в єдину схему обчислення. Щоб знайти єдиний підхід до вирішення задачі про визначення дотичної, потрібно було розкрити те спільне, що лежало за калейдоскопом вирішених завдань.

Це і було зроблено в кінці XVII ст. майже одночасно і незалежно один від одного англійським фізиком і математиком Ньютоном і німецьким філософом і математиком Г. Лейбніцем [7].

В якості вступу до числення розглядаються питання, пов'язані з формуванням основних понять обчислення. Багато проблем з різним змістом призводять до необхідності розглянути обмеження відношення приросту функції до приросту параметра, коли останній стає нульовим. Особливо це стосується проблеми лінійної дотичної, нерівномірної швидкості лінійного руху тощо. Приклади, які ведуть до поняття похідних.

До поняття похідної призводить завдання про дотичну до даної кривої, яка розкриває геометричний зміст похідної, що розглядається нами в попередньому підрозділі.

Перейдемо до розгляду інших завдань.

Швидкість матеріальної точки. Припустимо, що матеріальна точка M рухається нерівномірно вздовж будь -якої прямої за законом S = S (t), де t - час, а S - координата точки (відстань від точки до початку координат, тобто до походження). Це рівняння є рівнянням руху, яке виражає закон руху точки.



Рис.1.6 Рух матеріальної точки М

Знаючи закон руху точки, потрібно в будь -який час знайти швидкість переміщення точки. Припустимо, що в певний момент часу t ця точка займає позицію M: OM = x = S (t) до часу Δt, тобто у момент часу t + Δt, точка M1, де OM1 = S + ΔS = S (t + Δt ).

За час рівний ∆t, точка пройде шлях

∆S = S t + ∆t – S t

Відношення - це середня швидкість на той момент часу ∆t. Чим він менший, тим точніше він відображає швидкість у даний момент часу t. Межу середньої швидкості при Δt → 0 називають швидкістю в даний момент часу або миттєвою швидкістю.

= ,

Таким чином можемо стверджувати, що v = S'(t)[9]

Саме тому швидкість лінійного руху прямопропорційно дорівнює похідній шляху в часі. Це називається механічним змістом похідної.

Проблема швидкості хімічної реакції. Візьмемо функцію m = m (t), де m - кількість речовини, яка потрапила в хімічну реакцію до часу t. Збільшення часу буде відповідати збільшенню значення m ∆m. Відношення ∆m / ∆t - це середня швидкість хімічної реакції за період часу t. Якщо Δt → 0, тобто , то межа співвідношення є швидкістю хімічної реакції в даний момент часу t.

Розглядається також питання темпів зростання популяції. Нехай p = p (t) - кількість бактерій за час t. Тоді, як описано вище, отримуємо , що є швидкістю зростання популяції бактерій у певний час t.

Завдання на силу струму. Нехай q = q (t)-кількість електроенергії (у кулонах), що протікає через поперечний переріз провідника в момент часу t; електрика є функцією часу, оскільки кожне значення часу t відповідає певному значенню електрики. Щоб визначити швидкість зміни потужності з плином часу, слід скористатися поняттям сили струму. Використовуємо ∆q, щоб представити кількість електроенергії, що протікає через зазначений переріз протягом періоду часу ∆t (від часу t до часу t + ∆t).

Співвідношення називається середньою силою струму за час від t до t+∆t

і позначається через lcp. У разі постійного струму lcp буде постійною. Якщо в ланцюзі змінний струм, то lcp для різних проміжків часу буде різна. Тому для ланцюга змінного струму вводять поняття сили струму I в даний момент t, визначивши її як межа середньої сили струму за проміжок часу від t до t+∆t , коли l = [3].

Центральні визначення диференціального обчислення тривалий час не були обґрунтовані належним чином. Проте, на початку XIX ст. О. Коші, великий французький математик, дав суворе уявлення диференціального обчислення на основі поняття межі [5].

У підручниках під редакцією Ш.А.Алімова, А.Н.Колмогорова, А.Г.Мордковіча для загальноосвітніх шкіл поняття похідної вводиться з поняттям межі, без його суворого визначення, або зовсім без поняття межі. Підручники для загальноосвітніх шкіл не розраховані на вивчення похідних обернених тригонометричних функцій, а також багатьох додатків.

Підручники під редакцією А.Г. Мордкович, С.М. Нікольського, Н.Я. Виленкина для класів, в яких математика вивчається поглиблено, поняття похідної визначають через поняття межі з попередніми і докладним його розглядом. Різні програми похідною детально вивчаються.

Познайомившись із наявним матеріалом, по темі похідна в підручниках алгебри і математичного аналізу під редакціями А.Г. Мордкович, С.М. Нікольського, Н.Я. Виленкина, А.Ш. Алімова, О. М. Колмогорова, можна помітити, що основні принципи вивчення теми «Похідна» дуже схожі. Вони являють собою стандартний набір відомостей про похідну, - її поняття, геометричний сенс, таблиця похідних, правила диференціювання, але мають і несуттєві відмінності в додатку по темі.

На жаль, важлива і цікава інформація про історію виникнення і розвитку похідної зовсім відсутня. Усунути таке непорозуміння в силах будь-якого вчителя математики, не роблячи спроб вплинути на перевидання підручників з додаванням в них історичної довідки про похідну.

На уроці, факультативах або позаурочному занятті, присвячених історії розвитку поняття похідної можна навести такий матеріал. Практичні завдання на знаходження найкоротшого шляху, - це одні з важливих передумов появи диференціального обчислення. Перші завдання на знаходження максимуму і мінімуму (екстремумів) функції були поставлені в V столітті до н.е. Рішенням цих завдань займалися Евклід, Архімед, Кеплер, Герон, Ферма. Однак загальних способів не було розроблено, кожна задача мала індивідуальне рішення. У 17 столітті Ньютон і Лейбніц були розробили загальні методи вирішення завдань на екстремум (максимум і мінімум).

Розгорнутий матеріал про ці відкриття можуть підготувати самі учні та виступити з ним перед класом.
1.3 Роль Ньютона і Лейбніца в створенні диференціального обчислення
Диференціація - це розділ математики, який вивчає похідні та диференціацію функцій та їх застосування у вивченні функцій. Він базується на базових поняттях, таких як дійсні числа, функції, межі та безперервність. Ці концепції прийняли сучасні форми у розробці числення та інтегралу. Основні ідеї та концепції диференціювання пов’язані з вивченням малих функцій, тобто у невеликій околиці точки. Це вимагає створення математичного пристрою для вивчення поведінки функції у відносно невеликій околиці кожної точки, визначеної нею, яка близька до лінійної функції або полінома. Пристрій заснований на концепції диференціала та похідної. [7; 9].

Формування мікрофракцій як самостійного предмета математики відбулося у другій половині XVII століття і пов’язане з іменами І. Ньютона та Г. Лейбніца. Вони сформулювали основні правила розрахунку. З тих пір обчислення стали важливою частиною математичного аналізу.

Що стосується розвитку розрахунку, ми не можемо ігнорувати двох людей, які, можливо, зробили найважливіший внесок у становлення цього методу: Ісаака Ньютона та Готфріда Лейбніца. Математичні інструменти, створені цими великими вченими, безперечно, стали основою сучасної математики.

Познайомимось з І. Ньютоном та його роботами на тему диференціального числення. Найважливішими його науковими працями є : "Аналіз з використанням рівнянь з нескінченними числом членів ", "Методи потоків та нескінченних рядів", "Математичні принципи натурфілософії", "Міркування про квадрат кривої", "Оптика", "Перерахування третього порядку кривих »тощо.

Однак праці Ньютона з математики та фізики були опубліковані ще за його життя. Коли йдеться про твори нескінченно малого аналізу, точний час їх публікації невідомий. Вони були опубліковані або в останні роки його життя, або після його смерті. Справа в тому, що Ньютона не влаштовувала суворість його доказів, він хотів знайти більш надійні та переконливі докази для певних теорем, але йому це не вдалося. Серед праць з математики та фізики найбільшою популярністю користується книга «Математичні принципи натурфілософії», видана у 1687 році. Це пояснює математичні основи механіки. Він спочатку визначив масу, імпульс, різні сили тощо, а потім запропонував три аксіоми або закони руху: закон інерції; закон, представлений формулою F = ma, де F - маса об’єкта, а a - прискорення закону рівної відповіді.

Це дає шість результатів: паралелограм додавання сил, переміщення центру ваги системи точок мас тощо, а потім досить велика загальна система та система небесної механіки розгортається послідовно. Тому Ньютон першим встановив механіку на основі аксіом. "Початок математики" є відправною точкою для всіх подальших подій у точних математичних науках [5].

Розрахунок потоку-так звана похідна Ньютона. Він назвав змінне значення плинності (від латинського fluere-to flow) та швидкість зміни потоку (fluxio-flow). Що таке швидкість, він не визначив, напевно, думав, що це поняття не потрібно визначати. Загалом, Ньютон створив історію використання механічних розрахунків.

Загальний аргумент вільного володіння - це час, але не обов’язково фізичний час, а будь -яка сума, яка рівномірно змінюється з плином часу. З сучасної точки зору потік - це потік, що породжується з плином часу. Пізніше Ньютон почав використовувати x, y, z для позначення потоків, а x ', y', z' для позначення їх потоків. Наступні символи все ще використовуються в механіці для представлення похідних часу.

Основна проблема розрахунку потоку Ньютона полягає в наступному: Для зв’язку між потоками з’ясуйте зв’язок між їх потоками (тобто для зв’язку між цією функцією з’ясуйте зв’язок між їх похідними). Він вирішив цю проблему на прикладах, але рішення є універсальним: його можна застосувати до будь -якого алгебраїчного рівняння, що пов'язує потоки.

Приклад 1. Нехай рівняння з флюентами має вигляд:

= 0

Для виведення відповідного рівняння між флюксіями замінимо в цій рівності x на x +x , y на y +y , де 0- ∆t нескінченно малий приріст часу (тобто x на x+x'∆t = x+dx, y на y+y'∆t = y+dy.

Будемо мати:

(x+ x )3- a x +x '02+a x + x '0·y+y'0-y+y'03 = 0,

x3+3x2x'0+3xx'202+x'303-ax2- 2axx'0- ax'202+axy+ax'0y+axy'0+ax'y'02- y3-

- 3y2y'0- 3yy'2- y'303= 0

В останній рівності сума членів, що не містять 0, дорівнює нулю на підставі початкового рівняння. Скоротимо члени, що лишилися на 0 (припускаючи, що O не дорівнює нулю). Отримаємо:

3x2x' +3xx'2O+x'3O2- 2axx' - ax'2O+ax'y +axy'+ ax'y'O- 3y2y' –

- 3yy'2O- y'3O2= 0

Тепер відкинемо члени, які все ще містять О або О2 (принцип зневаги нескінченно малими вищих порядків):

3x2x' – 2axx' +ax'y +axy'- 3y2y' = 0

Ньютон формулює таке правило: для того щоб з рівняння з флюентами отримати рівняння з флюксіями, потрібно в кожному з членів кожну з флюент замінити її флюксіями і отримані вирази скласти. Наприклад, флюксія ступеня x3 = x·x·x дорівнює x'xx+xx'x+xxx' = 3x2x', а флюксія виразу axy - ax'y+axy' [10,

c. 147].

Фактично тут заховані правила диференціювання суми, різниці, функції з натуральним показником і властивість винесення постійного множника за знак похідної.

Пізніше Ньютон намагається знайти для цього правила інше обгрунтування, більш переконливе. Якщо ж рівняння з флюентами містить дроби або радикали, то Ньютон використовує обхідний шлях.

Підготувавши аналітичний апарат, Ньютон приступає до геометричних додатків обчислення флюксій.

1. Визначити найбільші і найменші значення величин.

Спочатку формулюється принцип зупинки: «... коли величина найбільша або найменша, то вона в цей момент не тече ні вперед, ні назад», тобто Не збільшується і не зменшується. Звідси правило: знайти флюксії і прирівняти їх до нулю. Це лише необхідна ознака екстремуму функції, достатньої ознаки у Ньютона немає.

2. Провести дотичні до кривих.

Це завдання Ньютон вирішує подібно Барроу, а також Ферма. Він отримує формулу kдот = , а відношення знаходить вже знайомим способом з рівняння кривої.

3. Визначити величину кривизни кривої.

А це завдання було новим для математики того часу. На її рішенні ми зупинятися не будемо, і закінчимо з диференціальними численнями Ньютона.

Перейдемо до знайомства з Лейбніцом і його диференціальними численнями.

Що стосується математики, то він, переважно, займався самоосвітою. Самостійно досліджував роботи Декарта, Кавальєрі, Ферма, Паскаля, Валліса і ін., а будучи у відрядженні в Парижі завів наукові зв'язки з чинним тоді президентом академії наук Гюйгенсом. У 1675-1676 рр. працював над принципами диференціального й інтегрального числення; відповідні праці він видає пізніше.

У 1684 р в журналі Лейбніц публікує свою першу друковану працю по диференціальному обчисленню - маленьку статтю, яка складається з 7 сторінок і називається «Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для яких не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні величини, і особливий для цього рід обчислення ». У самій назві друкованої статті був натяк на метод найбільших і найменших значень функції вченого Ферма [5].

Диференціалом абсциси x точки кривої він називає будь-який відрізок і позначає його символом dx утворивши його від латинського dsfferentia- різниця. Диференціалом ординати y точки він називає такий відрізок dy що

= , де l - піддотична. Отже, тут основним поняттям для Лейбніца була не швидкість, як у Ньютона, а дотична.

Потім він приводить правила диференціювання суми, різниці, ступеня і кореня без доказів. Ця нова галузь математики Лейбніцем стала називатися диференціальним численням.

Але чому ж він призводить перераховані вище правила диференціювання без доказів? Найімовірніше справа в тому, що він поспішає зафіксувати за собою перевагу першої публікації по диференціальному численні: він знав, що аналогічними роботами займаються і деякі інші вчені, зокрема Ньютон.

Аргументацію правил Лейбніц дає в інших своїх працях. У них диференціал ним визначається інакше: диференціалом величиниx називається різниця двох найближчих один до одного значень x:dx = x1-x0.

Хоча це визначення суперечливе, тому що на підставі властивості щільності безлічі дійсних чисел для безперервної величини найближчих один до одного її значень не існує.

Проте, Лейбніц отримує вірні формули. Наприклад, d x2=2xdx, оскільки dx 2 = x+ dx2 –x2 = 2xdx +dx2 = 2xdx (принцип зневаги нескінченно малими вищих порядків).

Аналогічно,

d yz = y+dy·z+dz- yz + ydz+zdy+dyzd= ydz+zdy.

Звідси видно ототожнення Лейбніцем диференціалу функції з її збільшенням. Багато вчених XVIII століття вважали так само. Тільки в XIX столітті ці поняття стали розмежовувати, що закликало, зокрема, інше визначення диференціалу функції [10, 155].

Познайомимося з додатками диференціального обчислення.

Подивимося, як, наприклад, Лейбніц вирішує питання про найбільшому і найменшому значеннях величини.

Найбільша або найменша ордината точки кривої задається умовою, що дотична до кривої паралельна осі абсцис, а для цього необхідно, щоб dy=0. А ось остаточний признак екстремуму: найбільшу ординату Лейбніц відрізняє від найменшої за тим, чи звернена крива до осі абсцис увігнутістю або опуклістю, а про це судить по знаку d dy (тобто за знаком d2y, якщо dy , то ордината буде найбільшою, а якщо dy , то найменшою.

Згадаймо, що в сьогоднішньому диференціальному обчисленні вірна формула d2y = y''dx2. З неї випливає, що позначення d2y і y'' однакового знаку. Отже, ознака екстремуму, який сформулював Лейбніц, рівнозначна відомій ознаці екстремуму за допомогою другої похідної. Подібним чином йде справа і з достатньою ознакою ввігнутості або опуклості кривої. Але ці твердження Лейбніца не доведені [10].

Створені Ньютоном і Лейбніцем диференціальні обчислення відчинили двері в нову епоху розвитку математики. Слідом за цим з'являється серія математичних дисциплін: теорії рядів, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії і варіаційного числення, які широко застосовуються на сьогоднішній день.

  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас