Ім'я файлу: Розрахункова Вознюк М.doc
Розширення: doc
Розмір: 343кб.
Дата: 14.05.2020
скачати

ЗАВДАННЯ НА РОЗРАХУНКОВУ РОБОТУ

(Варіант 2)

Принципова схема обєкта












T,HH







Q1, T1,Р1


α2


α1(u1)



Q2



ТР

V




Рисунок1 – Схема теплового об’єкта керування
Таблиця 1 – Параметри об’єкта керування

Витрата Q1,

кг/с

H0,м
Тиск,

МПа
Температура, °С
Геометричні розміри, м

I0,A


U,B

P1
T1
T0
D

25.48
0.7
0.2
14
92
1.0
129.02
220


1 СКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ КЕРОВАНОГО ОБ’ЄКТА




Задачею моделювання є підтримання сталого рівня рідини в баці і збереження сталою її температури. Об’єкт являється гідравлічним і тепловим, в ньому протікають процеси які описуються законами збереження маси речовини та законом теплового балансу.
Структурна схема має такий вигляд:



Рисунок 1.1- Структурна схема керованого об’єкта
Складаємо математичну модель на основі таких припущень:

  1. Процес протікає при постійному тиску (бак відкритий);

  2. рідина в баці є водою з густиною =1000 кг/м3 і теплоємністю С=4200 Дж/(кг·К);

  3. густина рідини в посудині не змінна від температури;

  4. температура в усіх точках посудини одинакова;

  5. відсутній теплообмін з навколишнім середовищем та стінками ємності;

  6. відсутнє випаровування в навколишнє середовище;

  7. об’єм рідини не змінний від температури.

Складаємо математичну модель керованого об’єкта.

За законом збереження речовини маємо:

(1.1)

де m – маса води у посудині;

;

– масова витрата рідини, що надходить в посудину;

q2 - масова витрата рідини, що витікає з посудини;

;

R – радіус посудини.

За законом збереження теплової енергії:

(1.2)

де Q1 – кількість теплової енергії, що надходить в посудину з потоком q1;

;



Q3 – кількість теплової енергії, що надходить в посудину від електричного підігріву;



Q2 - кількість теплової енергії, що відходить з посудини з потоком q2;

.

Загальна теплова енергія, що балансує всередині об’єкта може бути обчислена як Q=c VT (V – об’єм посудини, Т – температура рідини всередині посудини). Підставивши значення вищеподаних величин у формулу (1.2) отримаємо наступне співідношення:

(1.3)

Підставивши довідникову формулу залежності об’єму від рівня у кулеподібних резервуарах, що має наступний вигляд:

(1.4)

в рівняння (1.3) отримаємо наступну залежність

(1.5)

або

(1.6)

Виходячи з аналогічних міркувань перепишемo рівність (1.1)
(1.7)

або

(1.8)

Виразимо значення і підставимо його в формулу (1.6).

(1.9)

Проводимо підстановку формули (1.9) у (1.6)

Првівши ряд спрощень та скорочень вищеприведеного виразу отримаємо:

. (1.10)

Таким чином, математичну модель об’єкта можна подати під видом наступної системи рівнянь

(1.11)

Математична модель подана в вигляді (1.11) є остаточною.

2 ЛІНЕАРИЗАЦІЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ОБ’ЄКТА

Лінеаризація – це процес переходу від нелінійних диференціальних рівнянь до лінійних. Математичною основою лінеаризації є розклад нелінійної функції в ряд Тейлора, в якому залишаються тільки перші члени розкладу.

Лінеаризацію диференціальних рівнянь математичної моделі КО проводимо за правилом Тейлора, розкладаючи нелінійні функції у відповідні ряди :

Нехай

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

(2.4)

Проведемо лінеаризацію першого рівняння математичної моделі КО

(2.5)

для цього нелінійні функції, які входять в дане рівняння розкладемо в ряди Тейлора, використовуючи загальну формулу

, (2.6)

тоді отримаємо

, (2.7)

(2.8)

Підставимо отримані співвідношення в (2.6)

(2.9)

Врахувавши, що при усталеному режимі , отримаємо рівняння

рівноваги

(2.10)

Підставивши отриманий вираз у рівняння (2.8) і зробивши елементарні та нескладні перетворення отримаємо наступне лінеаризоване рівняння матмоделі КО

(2.10)

Аналогічно проведемо лінеаризацію рівняння (2.3)

(2.11)

Скориставшись формулою (2.6), отримаємо

. (2.12)

Проведемо лінеаризацію складових рівняння (2.13)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Підставимо вирази (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) в рівняння (2.11) та отримаємо наступний вираз



або



Використавши рівняння рівноваги отримаємо



Підставивши значення (2.15) в дане рівняння отримаємо



Провівши відповідні скорочення та перетворення запишемо вищенаведене рівняння у нищеподаному вигляді

(2.16)

Тоді отримаємо друге лінеаризоване рівняння



Отже, лінеаризована модель КО матиме наступний вигляд



Привівши матмодель до форми Коші отримаємо





(2.19)

де - відповідні коефіцієнти, що визначаються за формулами












3 ОБЧИСЛЕННЯ КОЕФІЦІЄНТІВ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

Знайдемо невідомі параметри КО необхідні для знаходження коефіцієнтів матмоделі




Отже, лінеаризована матмодель запишеться:

(3.3)


ВИСНОВОК

В розрахунковій роботі застосовано закони гідравліки і термодинаміки, а також користуючись математичним апаратом, складено математичну модель і проведено її лінеаризацію.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ НА ДЖЕРЕЛА

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976. – 576с.

2. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процесов химических производств. – М.: Высш. школа, 1991. – 400с.

3. Моделювання об’єктів і систем керування в нафтовій та газовій промисловості (Іч)/ М.І.Горбійчук. – Івано-Франківськ: Факел, 1999. – 235с.


скачати

© Усі права захищені
написати до нас