Ім'я файлу: Kursovaya.doc
Розширення: doc
Розмір: 892кб.
Дата: 03.04.2020

Міністерство освіти і науки України

Дніпровський національний університет ім.О.Гончара

Механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і теорії функцій





КУРСОВА РОБОТА


з математичного аналізу

на тему : «Застосування визначеного інтегралу для визначення площ фігур»

Виконала:

студентка групи ММ-15-1

Опара Євгенія Володимирівна

Керівник:

доцент Волошко Віктор Леонідович

м. Дніпро

2017 р.

Зміст


Вступ.

  1. Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

  2. Означення визначеного інтеграла.

  3. Властивості визначеного інтеграла.

  4. Формула Ньютона-Лейбніца.

  5.   Методи обчислення визначених інтегралів:

                а)    метод заміни змінної;               

                б)    інтегрування частинами.

  1. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

6.1 Площа фігури, що обмежена кривими в прямокутних координатах.

6.2 Площа фігури, що обмежена кривими заданими параметрично.

6.3 Площа фігури, що обмежена кривими в полярних координатах.

  1. Практична частина.

Висновок.

Список використаної літератури.

ВСТУП


Інтеграл (від латів.integer – цілий), одне з найважливіших понять математики, яке виникло у зв'язки й з потребою, з одного боку, відшукувати функції їх похідним (наприклад, знаходити функцію, яка має шлях, пройдений що просувалася точкою, за швидкістю цієї точки), з другого – вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу й т.п. Відповідно з цим розрізняють невизначені і певні інтеграли, обчислення якого є завданням інтегрального обчислення.

Певний(визначений) інтеграл – одне з головних понять математичного аналізу – є потужним засобом дослідження, у математиці, фізиці, механіці і інших дисциплінах.

Визначений інтеграл має широке застосування у математиці та фізиці. Розглянемо застосування визначеного інтеграла у геометрії, зокрема для знаходження площ фігур, обмежених графіками функцій.

Мета цієї роботи: сформувати вміння обчислювати площі плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла. Тобто необхідно дати означення визначеного інтеграла, прописати його основні властивості, розкрити геометричний зміст, надати відповідні формули для обчислення площ фігур, розглянути приклади.

Теоретична частина

1.Задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла.

Задача: обчислити площу криволінійної трапеції S.

Розв'язання:

Поділимо [а; Ь] на n відрізків однакової довжини точками , так що і припустимо, що . Вибираємо точки так: . Побудуємо прямокутники з основою і висотою f( ). Площа такого прямокутника , а сума площ усіх таких прямокутників . Площа ступінчатої фігури Sn буде тим менше відрізнятися від площі криволінійної трапеції, чим менша довжина , тобто чим більше n. Тому Sn=S, якщо . Позначимо , тобто .

Означення. Суму типу називають інтегральною сумою.

2.Означення визначеного інтеграла.

Означення. Якщо існує скінчена границя інтегральних сум Sn при λ→0, яка не залежить ні від способу розбиття [а;Ь] на частини ∆хі , ні від вибору точок ξі , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f(х) на проміжку [а: Ь] і позначається: , де , a, b - нижня та верхня межі інтегрування.

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

2.Властивості визначеного інтеграла.

Використовуючи поняття визначеного інтеграла, можна обчислювати площі плоских фігур. Тому розглянемо основні властивості визначеного інтегралу:

  • Якщо нижня і верхня границі функції співпадають, то інтеграл дорівнює нулю.



  • Якщо в інтеграла поміняти місцями нижню і верхню границі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне.



  • Щоб обчислити визначений інтеграл від функції зі сталим множником, можна сталий множник винести за знак інтеграла.

, с-const.

  • Визначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів з тими ж границями інтегрування від кожного доданка.



  • Визначений інтеграл від заданої функції з границями інтегрування, що є протилежними числами, дорівнює:

- якщо функція непарна, то нулю;



  • якщо функція парна, то подвоєному інтегралу від тієї ж функції, але від нуля до заданої верхньої границі інтегрування.



  • Відрізок інтегрування можна розбити на частини:

  • Якщо f(x), g(x) - інтегровані та f(x) g(x) для х є [а;b], то

  • Якщо f(x) 0 і інтегрована для х є  [а;b], b>a , то :

  • Якщо f(x) - інтегрована та m f(x) М для х є [а;b] b>a, то 

  • Якщо f(x) = с, с = соnst, то

Теорема. Якщо функція f(x) інтегрована на [а;b], то існує на [а;b] така точка С, що

3.Формула Ньютона-Лейбніца.

Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти первісну( відповідний невизначений інтеграл), є формула Ньютона-Лейбніца. , тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межі інтегрування.

4.Методи обчислення визначених інтегралів:

А)Метод заміни змінної.

При обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної (способом підстановки) визначений інтеграл перетворюється за допомогою підстановки у визначений інтеграл відносно нової змінної t. При цьому старі межі інтегрування змінюють відповідно новими межами інтегрування і , які знаходяться з вихідної підстановки.

Теорема. Нехай потрібно обчислити інтеграл , де f(x) - неперервна на проміжку [а;b] функція. Візьмемо і вважатимемо, що функція задовольняє умови:

1)  визначена і неперервна в деякому проміжку ;

2)  є [а,Ь], коли t є ;

3)  = а, = b;

4)  існує неперервна похідна , t є , то



Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому немає потреби вертатись до початкової змінної.

Б)Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Теорема. Якщо функції f(х) та g(х) мають неперервні похідні для х є ,то



6.Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Площа криволінійної трапеції

Як відомо, визначений інтеграл від невід’ємної неперервної функції є площа відповідної криволінійної трапеції. У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла, на цьому ґрунтується його застосування для обчислення площ плоских фігур.

Означення. Криволінійною трапецією називається плоска фігура, що обмежена лініями: .

    1. Площа фігури, що обмежена кривими в прямокутних координатах.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної невід’ємної функції на відрізку [a;b] функції  f(x), віссю Ox  і прямими x=aі  x=b, дорівнює:



Якщо на заданому проміжку [a;b] неперервні функції у=f(x)  і  у=g(x)  мають ту властивість, що f(x)>g(x)для всіх x з проміжку [a;b], тобто, фігура, площу якої треба знайти, обмежена графіками функцій f(x) (обмежує зверху) і g(x)(обмежує знизу), то для обчислення площі такої фігури треба обчислити інтеграл від різниці цих функцій на заданому проміжку.

(1)

 Н ехай тепер функція , , - недодатна неперервна функція. У цьому разі графік цієї функції лежить під віссю Ох і .

Розглянувши допоміжну функцію , , дістанемо, що площа криволінійної трапеції , обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюється за формулою:

(2)

Нехай тепер , , - неперервна на відрізку функція, графік якої перетинає відрізок осі Ох в скінченному числі точок.

З формул (1) і (2) випливає, що площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюють за формулою

. (3)

Р озглянемо тепер фігуру , обмежену відрізками прямих і і графіками невід’ємних неперервних функцій , , і , . Оскільки фігуру можна розглядати як різницю криволінійних трапецій і , то з урахуванням формули (1) дістанемо таку формулу для обчислення площі фігури :

(4)

Я кщо треба обчислити площу складнішої плоскої фігури, то шукану площу намагаються виразити у вигляді алгебраїчної суми площ деяких криволінійних трапецій.

Так, наприклад, площу фігури, зображеної на рисунку обчислюють за формулою:

.

Нехай криві АВ, ВС і АС – відповідно графіки таких функцій: , ,

, і , . Тоді

. (5)

6.2 Площа фігури, що обмежена кривими заданими параметрично.

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривоюзаданою параметрично



Припустимо, що лінія гладка, тобто в усій області зміни параметра t функції x (t) і y(t) залишаються неперервно диференційовними. Оберемо довільну стартову точку M і обійдемо контур фігури у додатньому напрямку (коли фігура залишається зліва). Площа фігури у такому випадку обчислюється за формулою :   (6)

де   і   визначаються з рівності  і .

Якщо рух по кривій здійснюється за годинниковою стрілкою, то у формулах необхідно взяти протилежні знаки.

6.3 Площа фігури, що обмежена кривими в полярних координатах.

Знайдемо площу S криволінійного сектора, тобто плоскої фігури, обмеженої неперервною лінією   і двома променями   і   , де   і   —полярні координати . Для розв’язання задачі використовуємо другу схему—метод диференціала.

1. Вважатимемо частину шуканої площі S як функцію кута    , тобто   , де   (якщо   , то   , якщо   , то   ).

2. Якщо поточний полярний кут   отримає приріст   , то й приріст площі   дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора»   .

Диференціал   є головною частиною приросту   при   і дорівнює площі кругового сектора   (на рис. вона заштрихована) радіусу   з центральним кутом   . Тому  .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах   і   , отримаємо шукану

площу

  (7)

Для обчислення площ фігур, обмежених графіками заданих функцій, використовуємо таку схему:

- Побудувати фігуру, площу якої треба знайти в координатній площині;

- Знайти абсциси точок перетину графіків заданих функцій.

- Скласти й обчислити інтеграл від різниці верхньої і нижньої функцій із границями інтегрування, які дорівнюють абсцисам точок перетину графіків функцій.

Зверніть увагу!Нижньою границею інтегрування треба брати лівий кінець відрізка, на якому визначається криволінійна трапеція.

Практична частина

1.Приклади знаходження площ фігур, що обмежені кривими в прямокутних координатах.

Завдання: Обчислити площу фігури, обмеженої кривими:

Приклад 1. ax=y2, ay=x2,(a>0).

Обчислення: Запишемо графіки функцій, що обмежують шукану площу фігури:  , . На графіку вони матимуть наступний вигляд:



Площу між кривими і потрібно знайти.
Знайдемо межі інтегрування, тобто точки абсцис перетину заданих функцій y1(x)=y2(x):

Як бачите такою умовою є умова рівності функцій. 
З останнього рівняння отримаємо дві точки x1=0, x2=a. Обчислюємо площу фігури, що обмежена заданими кривими інтегруванням:

Тут ми мали доволі прості функції, тож звівши їх до табличних інтегралів знайти площу доволі легко. Наступні приклади міститимуть дедалі важчі функції, для інтегрування яких потрібно застосовувати знання практично усіх формул інтегрування. 
Слід зауважити: значення площ (в усіх завданнях) вимірюються в квадратних одиницях (кв. од.), про це Ви повинні пам'ятати, однак для економії місця та часу тут будуть наведені лише значення визначених інтегралів.

Приклад 2. y=x2, x+y=2.
Обчислення: За методикою записуємо рівняння кривих, що обмежують площу фігури: y1(x)=x2, y2(x)=2-x. Тут функції виразити доволі просто.
Обчислимо межі інтегрування, прирівнявши між собою функції y1(x)=y2(x):
x2=2-x.
Переносимо змінні по одну сторону від знаку рівності і розв'язуємо квадратне рівняння
x2+x-2=0;
(x+2)(x-1)=0.
Отже корені рівняння x1=-2, x2=1. Сам графік кривих та фігури, площу якої шукаємо, наведено на рисунку




Підстановкою будь-якої точки з проміжку [-2;1], наприклад x=0 у функції переконуємося, що виконується нерівність  , тому 
Площа фігури обчислюємо інтегруванням різниці кривих у знайдених межах:


=

Площа рівна S=4,5 квадратних одиниць. За фізичним змістом площа фігури рівна різниці площ двох криволінійних трапецій. Перша відповідає за верхній графік y2(x), нижня криволінійна трапеція за функцію, що приймає менші значення y2(x). Різниця полягає в тому, що тут ще потрібно визначати межі інтегрування.
Приклад 3.y=2x-x2, x+y=0.
Обчислення:Запишемо рівняння кривих, що обмежують шукану фігуру: y1(x)=-x, y2(x)=2x-x2.
З умови рівності функцій y1(x)=y2(x) знайдемо границі інтегрування: 
2x-x2=-x;
x2-3x=0;
x(x-3)=0.
Отже x1=0, x2=3.
Підстановкою одиниці бачимо, що на проміжку [0;3] справджується нерівність   , тобто  .





Знаходимо площу фігури обмеженої заданими кривими:  
Під інтегралом проста квадратична функція, тому саме інтегрування не складне. Наступні функції дещо складніші в плані інтегрування, проте використовуючи табличні інтеграли площу знайти вдається.

 

Приклад 4.y=2x, y=2, x=0. 
Обчислення: Запишемо підінтегральні функції: y1(x)=2x, y2(x)=2, а також пряму x1=0 (обмежує фігуру по осі абсцис). 
Знайдемо другу границю інтегрування з умови рівності функцій y1(x)=y2(x)
2x=2 , 2x=21, звідси маємо другу точку x1=1
На проміжку [0;1] справджується нерівність  , тому  .
Графіки степеневої функції та прямої наведено нижче. 





Площа фігури, що обмежена кривими рівна інтегралу:

При інтегруванні отримаємо логарифм. На калькуляторах можете переконатися, що площа додатна.

 

Приклад 5. y=x, y=x+sin2x , .

Обчислення: Запишемо рівняння кривих, що обмежують площу фігури: y1(x)=x, y2(x)=x+sin2x.
Далі межі інтегрування: x1=0, x2=  (це відомо нам за умовою). 
На проміжку   справедлива нерівність   , тому 





Якщо б існувала додаткова точка перетину, то площа була б рівна сумі двох інтегралів. 
Площу фігури обчислюємо інтегруванням: квадрат синуса під інтегралом понижуємо та виражаємо за допомогою косинуса подвійного кута, а далі за класичною формулою інтегрування


Приклад 6. 
Обчислення: Всі Ви повинні знати, що такою формулою задається рівняння еліпса. Так як осі еліпса в канонічній системі координат є його осями симетрії, то ці осі ділять еліпс на 4 рівні частини. Тому розглядатимемо частину еліпса, що знаходиться в першому квадранті канонічної (прямокутної) системи координат. Виразимо рівняння функції, що обмежує шукану площу (четвертину еліпса):  
Запишемо межі інтегрування: з аналітичної геометрії відомо, що четверта частина еліпса обмежена x1=0, x2=a





Для обчислення площі еліпса в самому інтегралі необхідно виконати заміну змінних, що в свою чергу веде до зміни меж інтегрування. При цьому прийдемо до квадрату косинуса, який понижуємо через косинус подвійного кута. В кінці маніпуляцій приходимо до табличних інтегралів, які легко інтегруємо та підставляємо межі: 

Отримали класичну формулу площі еліпса  .
Бачимо, якщо еліпс вироджується в коло при (a=b=R), тоді формула площі кола  S.

Завжди пам'ятайте, що заміна змінних під інтегралом веде до зміни меж інтегрування.

  

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими y=sin(x) , y=cos(x), y=0,  
Обчислення: З рисунку видно, що площу S краще розбити на дві частини: S=S1+S2.

Запишемо графіки функцій, що обмежують шукану площу фігури: 

Інтегруємо синус та косинус функції та знаходимо шукану площу.  

2.Площа фігури, що обмежена кривими заданими параметрично.

Завдання: Знайти площу фігури, яка обмежена кривими, заданими в параметричній формі

Приклад 8. x=a(t-sin(t)) , y=a(1-cos(t))на проміжку  і y=0.





Обчислення: Циклоїда – плоска трансцендентна крива, що визначається кінематично як траєкторія фіксованої точки кола радіусаa, що котиться без ковзання по прямій. Знайдемо похідні по змінній t заданих функцій: 
x'=a(1-cos(t));
y'=asin(t).
Межі інтегрування відомі за умовою –  .
Запишемо підінтегральну функцію за формулою x'y-xy' (оскільки крива (циклоїда) проходить за ходом годинникової стрілки):  
Обчислимо площу фігури обмеженої одною аркою циклоїди: 

Визначені інтеграли методом інтегрування частинами обчислюються доволі швидко. Також не забувайте, що площа вимірюється в одиницях квадратних.

  Приклад 9.Обчислити площу фігури, що обмежена еліпсом

 

Знайдемо спочатку   площі S. Тут   змінюється від 0 до   , отже,   змінюється від   до 0 .



Знаходимо:

 

Таким чином,   . Значить  .

Приклад 10. x=2t-t2, y=2t2-t3.





Обчислення: Обчислимо похідні по змінній t від функцій: 
x'=2-2t;
y'=4t-3t2.
Знайдемо межі інтегрування – точки перетину кривої, що обмежує задану фігуру: x=0 при t1=0, t2=2 і y=0 при t1=0, t2=2 . Тому маємо період рівний T=2 . 
Запишемо підінтегральну функцію за формулою x'y-xy' (оскільки крива проходить проти годинникової стрілки): 

Обчислимо площу фігури, що обмежена заданою кривою: 



 

 

 

Приклад 11.x=a(2cos(t)-cos(2t)) , y=a(2sin(t)-sin(2t))





Обчислення: Обчислимо похідні по змінній t заданих функцій:

Запишемо межі інтегрування (потрібно попередньо дослідити функцію):   . 
Складемо рівняння підінтегральної функції за формулою x'y-xy' . 


Далі через визначений інтеграл обчислюємо площу фігури, що обмежена заданою кривою: 


 

Приклад 12.  , (еволюта еліпса)





Обчислення: Еволюта – множина точок центрів кривизни кривої. По відношенню до своєї еволюти будь-яка крива є евольвентою (інволютою, тобто розгорткою цієї кривої). Знайдемо похідні функцій по змінній t : 

Межі інтегрування рівні: 
Запишемо підінтегральну функцію за формулою x'y-xy'
 
Інтегруванням за періодом знаходимо площу фігури, що обмежена заданою кривою: 


3.Площа фігури, що обмежена кривими в полярних координатах.

Приклад 13.Знайти площу фігури, що обмежена «трьохпелюстковою трояндою»   .



Знайдемо спочатку площу половини одного листка «троянди», тобто   частини всієї площі фігури:

 .

  тобто   . Отже, 

 Приклад 14.  -трилисник
Обчислення: Підносимо до квадрату, щоб отримати підінтегральну функцію: 
Графік трилисника в полярній системі координат



Встановимо межі інтегрування: Оскільки заданий графік функції ділиться на шість рівних частин (півпелюсток) і досягає своїх критичних значень при   (r=0) і   (r=a/2), то площу фігури обчислимо для однієї частини фігури, а результат помножимо на 6. 
Знаходим площу фігури інтегруванням по куту

Приклад 15. .
Обчислення: Спершу знаходимо підінтегральну функцію: 
Далі межі інтегрування: задана крива замкнена, симетрична відносно прямої  . Її графік наведено на рисунку нижче





Оскільки задана крива осями координат ділиться на дві рівні частини і досягає своїх критичних значень при кутах   (r=5) і  (r=1) , то обчислимо половину площі фігури, а результат помножимо на 2. 
Знаходимо площу фігури через визначений інтеграл


Приклад 16.
Обчислення: Запишемо підінтегральну функцію:r2
Її графік в поярній системі коордиат має вигяд





Встановимо межі інтегрування: При зростанні r від 0 до  кут зростає, при зростанні r від  до 2 кут спадає, тому величина інтеграла в межах   має знак «мінус». 
Обчислимо площу фігури інтегруванням: при цьому знайдемо диференціал по куту та перейдемо до інтегрування за радіусом: 

Перед інтегралом (після заміни змінних) поставили знак «мінус», оскільки інтеграл є від'ємним на цьому проміжку, а площа повинна бути більше нуля.

Приклад 17. Перейти до полярних координат і знайти площу фігури(x2+y2)2=2a2xy(лемніската).
Обчислення: Виконуємо перехід від прямокутної до полярної системи координат: 

- підінтегральна функція. 
Графік досліджуваної кривої наступний 

Запишемо межі інтегрування: враховуючи симетрію точок лемніскати відносно прямої   і відносно початку координат, то площу фігури шукатимемо в межах  і результат помножимо на 4 .Знаходимо площу фігури інтегруванням: 



Висновки:
Отже,виконавши курсову роботу, я опрацювала необхідний матеріал, тобто: сформувала вміння обчислювати площі плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла. А саме, дала означення визначеного інтеграла, прописала його основні властивості, розкрила геометричний зміст, надала відповідні формули для обчислення площ фігур, розглянула приклади.

Ця робота є досить актуальною для учнів, які готуються до ЗНО, для студентів технічних спеціальностей у ВНЗ, а також викладачів( для полегшення викладу матеріалу).




















Список використаної літератури:


1. Основи математического анализа. Т.1 Г.М. Фихтенгольц. « Наука» М., 1968.

2. Высшая математика для начинающих и ее приложение к физике. Я.Б.Зельдович. «Физматгиз» М., 1963.

3. Практические занятия по высшей математике. И.А. Каплан, Ч.2,3. Из-во Харьковского университета, 1963.

4. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому аналізу» (13-е видання, 1997).

Джерела з Інтернету(посилання):

1.http://yukhym.com/uk/integruvannya/ploshcha-fihury-v-poliarnykh-koordynatakh.html

2.http://studopedia.su/14_63397_obchislennya-ploshchi-ploskoi-figuri-shcho-obmezhena-liniyami-zadanimi-u-polyarniy-sistemi-koordinat-i-parametrichno-za-dopomogoyu-viznachenogo-integrala.html

3.http://kmbaek.at.ua/publ/golovna_storinka/vishha_matematika/viznachenij_integral/47-1-0-70





скачати

© Усі права захищені
написати до нас