Ім'я файлу: pr.z_05.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 376кб.
Дата: 09.11.2022
скачати


Практичне заняття №5
Дискретні випадкові величини їх числові характеристики та
закони розподілу
Дискретною називають випадкову величину, яка може приймати зчисленну скінчену чи нескінченну множину значень з певними ймовірностями.
Задають дискретні випадкові величини за допомогою закону розподілу.
Ймовірність події, яка полягає в тому, що
X
прийме значення менше
x
, тобто
(
)
P X
x

, будемо називати інтегральною функцією розподілу або функцією розподілу випадкової величини.
Позначають інтегральну функцію символом
( )
F x
.
Отже, згідно з означенням, інтегральна функція розподілу задається формулою:
( )
(
)
F x
P X
x


Інтегральна функція володіє такими властивостями:
1)
0 1
( )
F x


;
2)
( )
F x
– неспадна функція, тобто
1 2
(
)
(
)
F x
F x

, якщо
1 2
x
x

3) ймовірність того, що випадкова величина
X
приймає значення з інтервалу
( , )
a b
, обчислюється за формулою:


( )
( )
P a
X
b
F b
F a




.
Над випадковими величинами можна проводити такі самі операції, як і над випадковими подіями.
Об'єднання випадкових величин Х і Y
Перетин незалежних випадкових величин X і Y
Y
X
1 1
y
x
2 1
y
x
1 2
y
x
2 2
y
x
P
1 1


p
p
2 1

p
p
1 2

p
p
2 2

p
p
Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
Математичне сподівання:
1 1
2 2
1
( )
( )
(
) ...
(
)
( )
k
k
k
i
i
i
M X
x p x
x p x
x p x
x p x



 


Властивості математичного сподівання:
1. Математичне сподівання сталої величини С дорівнює сталій:
( )
M C
C

2.Математичне сподівання добутку сталої величини з випадковою величиною дорівнює добутку сталої на математичне сподівання цієї випадкової величини:
(
)
( )
M CX
CM X

3. Для випадкових величин Х і Y справедливі співвідношення:
(
)
( )
( )
M X
Y
M X
M Y



4.Математичне сподівання випадкової величини
Z
X
Y
 


обчислюється за формулою:
( )
( )
( )
M Z
M X
M Y
 
 
де

,

– сталі числа.
5. Математичне сподівання перетину двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку
їх математичних сподівань:
(
)
( )
( )
M X
Y
M X M Y


Дисперсія:




2
( )
( )
D X
M
X
M X


Дисперсія має такі властивості:
1. Дисперсія сталої величини С дорівнює нулю:
0
( )
D C

2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії в квадраті:
2
(
)
( )
D C
X
C D X


3. Дисперсія об’єднання (різниці) двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
(
)
( )
( )
D X
Y
D X
D Y



X
Y

1 1
y
x

2 1
y
x

1 2
y
x

2 2
y
x

P
1 1

p
p
2 1

p
p
1 2

p
p
2 2

p
p

Для обчислення дисперсії в схемі повторних незалежних випробувань Бернуллі є справедливим такий наслідок: дисперсія числа появи події A в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події A в одному випробовуванні:
( )
D X
npq

Середнє квадратичне відхилення :
( )
( )
X
D X


Закони розподілу дискретних випадкових величин
Рівномірний розподіл на множині

1 2
n
P
1
n
1
n
1
n
а функція розподілу:
0 1
1 1
2 1
1 1
1
,
,
,
,
( )
,
,
,
k
k
k
x
x
x
x
x
x
n
F x
P
n
n
n
x
n
n
x
n






 




 
 

  






Математичне сподівання і дисперсія величини

відповідно дорівнюють:
1 2
2 2
1 1
2 1
1 2
12
( )
,
( )
n
k
k
k
n
k
k
k
n
M
x p
n
n
D
x p



 
 




 

 






Гіпергеометричний закон розподілу. Дискретна випадкова величина

розподілена за гіпергеометричним законом, якщо вона набуває значень
0,1,...,
k
з ймовірностями:


m
n m
M
N M
n
N
C C
P
m
C


 

Параметри розподілу
,
,
M N n
натуральні числа, причому:
,
,
min(
, )
M
N n
N k
M n



Числові характеристики гіпергеометричного закону:
2 2
2
( )
,
(
)(
)
( )
(
1)
m
m
m
m
M
M
x p
n
N
M
nM N
M N
n
D
x p
n
N
N
N
 
 




 

 







Геометричний закон розподілу. Дискретна випадкова величина

розподілена за геометричним законом, якщо вона набуває значень з множини натуральних чисел з ймовірностями:


1 1
1, 2,
(1
)
,
m
m
P
m
p
p
pq
m


 




Числові характеристики розподілу:
2 2
2 1
1 1
1
( )
,
( )
k
k
k
k
k
k
q
M
x p
D
x p
p
p
p




 
 
 

 


Біномний розподіл. Дискретна випадкова величина

розподілена за біномним законом, якщо вона набуває значень
0,1,...,
n
з ймовірностями:


0
,
, .
k
k
n k
n
P
k
C p q
k
n

 


Математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють:
2 2
0 0
( )
,
( )
(
)
n
n
k
k
k
k
k
k
M
x p
np D
x p
np
npq


 
 
 

 


Розподіл Пуассона. Дискретна випадкова величина

розподілена за законом Пуассона, якщо вона набуває значень 0, 1,...,
n
з ймовірностями:



!
m
P
m
e
m


 

,
де

– параметр розподілу.
Числові характеристики розподілу:
2 2
0 0
( )
,
( )
k
k
k
k
k
k
M
x p
D
x p




 
 
 
   


Аудиторна робота
1. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю
1
,
0

q
= 1 - q = 0,9 –
імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і
її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X – число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити
)
(X

2. У таблиці подано дані розподілу дискретної випадкової величини, пов’язані з денним попитом на продукт.
Попит за день
10 20 30 40 50
)
(x
p
0,05 0,32 0,3 0,18 0,15
Визначте: а) середнє значення денної вимоги; б) середньоквадратичне відхилення від денного попиту
3. Четверо студентів складають іспит з теорії ймовірностей. Імовірність того, що перший із них складе іспит, дорівнює 0,9; для другого і третього ця ймовірність дорівнює 0,8, а для четвертого –
0,7. Побудувати закон розподілу величини X – числа студентів, котрі складуть зазначений іспит, і обчислити М(Х), D(X),
)
(X

.
4. Маємо три ящики. У першому з них міститься 6 стандартних і 4 браковані однотипні деталі, у другому – 8 стандартних і 2 браковані й у третьому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Обчислити М(Х), D(X),
)
(X

для дискретної випадкової величини X – появи числа стандартних деталей серед трьох навмання взятих.
5. У партії із семи деталей є 6 стандартних. Навмання відібрано 4 деталі. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти дисперсію величини X.
6. П’ять приладів перевіряють на надійність. Кожний наступний прилад підлягає перевірці лише в тому разі, якщо перед цим перевірений прилад виявиться надійним. Ймовірність того, що прилад витримає перевірку на надійність, дорівнює 0,8 для кожного із них. Обчислити числові характеристикидискретної випадкової величини Х – числа приладів, що пройшли перевірку. Знайти
M
0
(моду).
7. Ймовірність виконання договору для кожного з трьох заводів дорівнює 0,4. Скласти закон розподілу числа заводів, які виконують договір.
8. Дискретна випадкова величина X приймає три можливі значення: x
1
=4 з ймовірністю
1 0,5
p

; x
2
=6 з ймовірністю
1 0,3
p

і
3
x з ймовірністю
3
p
. Побудувати закон розподілу випадкової величини X, якщо
8
( )
M X

. Знайти середнє квадратичне відхилення.
9. Задано закон розподілу ймовірностей:
X
–3 1
40,2
p
0,2 0,3 0,5
Знайти
2 3
2 3
(
),
(
).
M
X
D
X


10. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу:

X
–1 0
1
P
P
1
P
2
P
3
Знайти ймовірності
1 2
3
,
,
p
p
p
, якщо відомо, що
0,1
( )
M X

,
2 0,9
(
)
M X


скачати

© Усі права захищені
написати до нас