Практичне заняття №5 Дискретні випадкові величини їх числові характеристики та закони розподілу Дискретною називають випадкову величину, яка може приймати зчисленну скінчену чи нескінченну множину значень з певними ймовірностями. Задають дискретні випадкові величини за допомогою закону розподілу. Ймовірність події, яка полягає в тому, що X прийме значення менше x , тобто ( ) P X x , будемо називати інтегральною функцією розподілу або функцією розподілу випадкової величини. Позначають інтегральну функцію символом ( ) F x . Отже, згідно з означенням, інтегральна функція розподілу задається формулою: ( ) ( ) F x P X x Інтегральна функція володіє такими властивостями: 1) 0 1 ( ) F x ; 2) ( ) F x – неспадна функція, тобто 1 2 ( ) ( ) F x F x , якщо 1 2 x x 3) ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення з інтервалу ( , ) a b , обчислюється за формулою: ( ) ( ) P a X b F b F a . Над випадковими величинами можна проводити такі самі операції, як і над випадковими подіями. Об'єднання випадкових величин Х і Y Перетин незалежних випадкових величин X і Y Y X 1 1 y x 2 1 y x 1 2 y x 2 2 y x P 1 1 p p 2 1 p p 1 2 p p 2 2 p p Числові характеристики випадкових величин та їх властивості Математичне сподівання: 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) k k k i i i M X x p x x p x x p x x p x Властивості математичного сподівання: 1. Математичне сподівання сталої величини С дорівнює сталій: ( ) M C C 2.Математичне сподівання добутку сталої величини з випадковою величиною дорівнює добутку сталої на математичне сподівання цієї випадкової величини: ( ) ( ) M CX CM X 3. Для випадкових величин Х і Y справедливі співвідношення: ( ) ( ) ( ) M X Y M X M Y 4.Математичне сподівання випадкової величини Z X Y обчислюється за формулою: ( ) ( ) ( ) M Z M X M Y де , – сталі числа. 5. Математичне сподівання перетину двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: ( ) ( ) ( ) M X Y M X M Y Дисперсія: 2 ( ) ( ) D X M X M X Дисперсія має такі властивості: 1. Дисперсія сталої величини С дорівнює нулю: 0 ( ) D C 2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: 2 ( ) ( ) D C X C D X 3. Дисперсія об’єднання (різниці) двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин: ( ) ( ) ( ) D X Y D X D Y X Y 1 1 y x 2 1 y x 1 2 y x 2 2 y x P 1 1 p p 2 1 p p 1 2 p p 2 2 p p Для обчислення дисперсії в схемі повторних незалежних випробувань Бернуллі є справедливим такий наслідок: дисперсія числа появи події A в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події A в одному випробовуванні: ( ) D X npq Середнє квадратичне відхилення : ( ) ( ) X D X Закони розподілу дискретних випадкових величин Рівномірний розподіл на множині 1 2 n P 1 n 1 n 1 n а функція розподілу: 0 1 1 1 2 1 1 1 1 , , , , ( ) , , , k k k x x x x x x n F x P n n n x n n x n Математичне сподівання і дисперсія величини відповідно дорівнюють: 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 12 ( ) , ( ) n k k k n k k k n M x p n n D x p Гіпергеометричний закон розподілу. Дискретна випадкова величина розподілена за гіпергеометричним законом, якщо вона набуває значень 0,1,..., k з ймовірностями: m n m M N M n N C C P m C Параметри розподілу , , M N n – натуральні числа, причому: , , min( , ) M N n N k M n Числові характеристики гіпергеометричного закону: 2 2 2 ( ) , ( )( ) ( ) ( 1) m m m m M M x p n N M nM N M N n D x p n N N N Геометричний закон розподілу. Дискретна випадкова величина розподілена за геометричним законом, якщо вона набуває значень з множини натуральних чисел з ймовірностями: 1 1 1, 2, (1 ) , m m P m p p pq m Числові характеристики розподілу: 2 2 2 1 1 1 1 ( ) , ( ) k k k k k k q M x p D x p p p p Біномний розподіл. Дискретна випадкова величина розподілена за біномним законом, якщо вона набуває значень 0,1,..., n з ймовірностями: 0 , , . k k n k n P k C p q k n Математичне сподівання і дисперсія відповідно дорівнюють: 2 2 0 0 ( ) , ( ) ( ) n n k k k k k k M x p np D x p np npq Розподіл Пуассона. Дискретна випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо вона набуває значень 0, 1,..., n з ймовірностями: ! m P m e m , де – параметр розподілу. Числові характеристики розподілу: 2 2 0 0 ( ) , ( ) k k k k k k M x p D x p Аудиторна робота 1. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю 1 , 0 q (р = 1 - q = 0,9 – імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X – число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити ) (X 2. У таблиці подано дані розподілу дискретної випадкової величини, пов’язані з денним попитом на продукт. Попит за день 10 20 30 40 50 ) (x p 0,05 0,32 0,3 0,18 0,15 Визначте: а) середнє значення денної вимоги; б) середньоквадратичне відхилення від денного попиту 3. Четверо студентів складають іспит з теорії ймовірностей. Імовірність того, що перший із них складе іспит, дорівнює 0,9; для другого і третього ця ймовірність дорівнює 0,8, а для четвертого – 0,7. Побудувати закон розподілу величини X – числа студентів, котрі складуть зазначений іспит, і обчислити М(Х), D(X), ) (X . 4. Маємо три ящики. У першому з них міститься 6 стандартних і 4 браковані однотипні деталі, у другому – 8 стандартних і 2 браковані й у третьому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Обчислити М(Х), D(X), ) (X для дискретної випадкової величини X – появи числа стандартних деталей серед трьох навмання взятих. 5. У партії із семи деталей є 6 стандартних. Навмання відібрано 4 деталі. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X – числа стандартних деталей серед відібраних. Знайти дисперсію величини X. 6. П’ять приладів перевіряють на надійність. Кожний наступний прилад підлягає перевірці лише в тому разі, якщо перед цим перевірений прилад виявиться надійним. Ймовірність того, що прилад витримає перевірку на надійність, дорівнює 0,8 для кожного із них. Обчислити числові характеристикидискретної випадкової величини Х – числа приладів, що пройшли перевірку. Знайти M 0 (моду). 7. Ймовірність виконання договору для кожного з трьох заводів дорівнює 0,4. Скласти закон розподілу числа заводів, які виконують договір. 8. Дискретна випадкова величина X приймає три можливі значення: x 1 =4 з ймовірністю 1 0,5 p ; x 2 =6 з ймовірністю 1 0,3 p і 3 x з ймовірністю 3 p . Побудувати закон розподілу випадкової величини X, якщо 8 ( ) M X . Знайти середнє квадратичне відхилення. 9. Задано закон розподілу ймовірностей: X –3 1 40,2 p 0,2 0,3 0,5 Знайти 2 3 2 3 ( ), ( ). M X D X 10. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу: X –1 0 1 P P 1 P 2 P 3 Знайти ймовірності 1 2 3 , , p p p , якщо відомо, що 0,1 ( ) M X , 2 0,9 ( ) M X |