ФВІС
Реферат на тему:
«Загальні відомості про випадкові величини»
Дніпро
2021
ЗМІСТ
| 1. | Види Випадкових величин | 3 |
| 2. | Закони розподілу Випадкової величини | 5 |
| 3. | Функція розподілу та її властивості | 6 |
| 4. | Числові характеристики випадкових величин. Мода і медіана. | 8 |
Види Випадкових величин
Випадковою називається величина, яка при кожному проведенні випробування набуває певного значення з множини можливих значень, причому заздалегідь невідомо, якого саме.
Відмінність від випадкової події досить істотна: якщо випадкова подія може або відбутися, або не відбутися в результаті випробування, то випадкова величина в результаті випробування обов’язково приймає деяке значення. Можна вважати, що випадкова подія є окремим випадком випадкової величини, яка приймає тільки два значення – одне, наприклад, 1 – «подія відбулася», друге 0 – «подія не відбулася». Таким чином, випадкова подія є якісне вираження випадкової величини, а поняття «випадкова величина» є розвиненням, узагальненням поняття «випадкова подія».
Використання випадкових величин дає можливість виконати більш повний, детальніший аналіз ймовірнісних явищ. Наприклад, якщо в якості випробування розглядати здавання студентом іспиту, то можна говорити про випадкову подію «студент здав іспит», а можна – про випадкову величину «отримана оцінка», яка може набути одного зі значень 2, 3, 4, 5. Очевидно, що остання величина дає повнішу інформацію про знання студента.
Випадкові величини можуть бути дискретними і неперервними.
Дискретною випадковою величиною називається така випадкова величина, число можливих значень якої є скінченною або зліченною множиною. Нагадаємо, що злічена множина – це така нескінченна множина, елементи якої можна пронумерувати за допомогою множини натуральних чисел.
Дискретні випадкові величини в свою чергу можна поділити на кілька видів.
1. Кількісна випадкова величина, яка дозволяє кількісно вимірювати показник за деякою шкалою. Це може бути кількість автобусів на лінії, кількість студентів в аудиторії і тому подібне.
2. Ординальна (порядкова) величина дозволяє тільки упорядкувати досліджені об’єкти за степенем виявлення в них аналізованої якості. Величини використовуються, коли шкала кількісного вимірювання відсутня або невідома. Наприклад, при дослідженні житлових умов звичайно виділяють групи: А – погані житлові умови, Б – задовільні, В – добрі, Г – дуже добрі.
3. Номінальна (класифікаційна) випадкова величина дозволяє тільки поділити об’єкти за аналізованою якістю на однорідні групи (класи), що не піддаються упорядкуванню. Це такі якості як стать студента (хлопець – дівчина), професія батьків і тому подібне.
Найпоширенішим випадком є кількісна випадкова величина і саме такі величини розглядаються зазвичай в теорії ймовірностей.
Неперервною випадковою величиною називається така випадкова величина, яка може приймати будь-які значення з деякого інтервалу числової осі (обмеженого чи нескінченного).
Прикладами неперервних випадкових величин можуть бути: час очікування автобуса; розміри деталей, виготовлених робітником за зміну і інші. Зупинимося докладніше на останньому прикладі. При обробці деталей існують допуски на їхні розміри. Припустимо, що всі деталі відповідають стандарту. Проте їхні розміри є неперервною випадковою величиною, тому що вони можуть приймати будь-яке значення всередині заданого інтервалу допуску. Якщо навіть ми одержимо при вимірюванні, що дві деталі мають однакові розміри, то, підвищивши точність вимірів, ми переконаємося, що розміри відрізняються в наступному знаку. Таким чином, всі можливі значення неперервних випадкових величин не можна пронумерувати за допомогою множини натуральних чисел.
Випадкові величини прийнято позначати заголовними (великими) буквами латинської абетки – Х, Y, Z , ..., а їх можливі числові значення – відповідними малими літерами: - х1, х2, ..., хn – можливі значення дискретної випадкової величини Х; - y – поточне значення неперервної величини Y
Закони розподілу Випадкової величини
Як зазначено вище, у результаті випробування випадкова величина набуває одного зі своїх можливих значень. Отже, певну інформацію про випадкову величину можна задати перерахуванням всіх можливих значень або вказівкою інтервалу можливих значень. Але така інформація буде неповною. Це добре видно на прикладі такої випадкової величини, як «оцінка студента на іспиті». Якщо студент Іванов старанно вивчав дисципліну протягом всього семестру, то він скоріш за все отримає оцінку «відмінно». Якщо ж студент Петров лише за 5 хвилин до іспиту дізнався, що така дисципліна вивчалася в цьому семестрі, то він скоріш за все отримає оцінку «незадовільно». Іншими словами, хоч можливі значення випадкової величини в обох випадках однакові, ймовірність набуття конкретних значень різна.
Таким чином, для повної характеристики випадкової величини необхідно враховувати як її можливі значення, так і ймовірності набуття цих значень, що досягається за допомогою закону розподілу.
Законом розподілу випадкової величини називається будь-яка відповідність, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями набуття цих значень.
Форми завдання закону розподілу можуть бути різні – табличні, графічні, аналітичні. У випадку дискретної випадкової величини найзручнішою формою закону розподілу є ряд розподілу. Він являє собою таблицю, в якій перераховані всі можливі значення випадкової величини і відповідні їм імовірності:
Символом рі позначено ймовірність того, що випадкова величина прийме своє і-те значення, тобто хі. Останній факт зазвичай позначають так: рі = Р(Х = хі ). Ясно, що ряд розподілу придатний тільки для дискретної випадкової величини, оскільки для неперервної випадкової величини просто неможливо перерахувати всі можливі значення.
Функція розподілу та її властивості
Ряд розподілу придатний для опису тільки дискретних випадкових величин зі скінченним числом можливих значень. Якщо випадкова величина є неперервною або число її можливих значень нескінченне чи просто велике, то така форма завдання закону розподілу незручна чи навіть неприйнятна. У такому випадку застосовують інші форми завдання закону розподілу, зокрема функція розподілу.
Функцією (інтегральною функцією) розподілу випадкової величини Х називається функція F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше від х :
Геометрично функція розподілу в будь-якій точці осі х дорівнює ймовірності того, що випадкова величина (дискретна чи неперервна) прийме довільне значення ліворуч від точки на осі з абсцисою х. Користуючись визначенням функції F(x), можна обчислити ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке належить інтервалу [a, b). Для цього розглянемо три події: А – випадкова величина набула значення Х < а, В – випадкова величина набула значення Х < b, С – випадкова величина набула значення а ≤ X < b. Подія В відбудеться, якщо з’явиться будь-яка з подій А чи С, отже В = А+С. Події А і С несумісні, отже Р(В)=Р(А)+Р(С). Виразимо імовірності подій через функцію розподілу.
Таким чином, остаточно маємо
властивості функції розподілу:
1. Значення функції розподілу належать інтервалу [0, 1], тобто 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Функція розподілу – неспадна функція, тобто, якщо х2 > х1, то F(х2) F(х1). 3. Якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу [a, b], то F(x) = 0 при х b .
4. Якщо можливі значення випадкової величини належать всій числовій осі, то функція розподілу на мінус нескінченності прямує до нуля, на плюс нескінченності прямує до одиниці, тобто
З властивостей функції розподілу витікає, що графік цієї функції для неперервної випадкової величини є гладкою кривою, яка поступово «піднімається» від 0 до 1. Для дискретної випадкової величини функція розподілу розривна, графік є ступінчастою фігурою (приклади на рис. 2).
Числові характеристики випадкових величин. Мода і медіана.
Випадкова величина вважається заданою, якщо визначено закон її розподілу в будь-якій його формі – рядом розподілу, функцією або щільністю розподілу. Однак можуть використовуватися, і в дійсності застосовуються набагато частіше, спрощені форми представлення випадкових величин – числові характеристики розподілу. У загальному випадку вони не задають нам закон розподілу, а тільки характеризують деякі, найбільш характерні його риси. В окремих випадках, якщо припустити той чи інший закон розподілу, дві чи навіть одна числова характеристики можуть цілком характеризувати розподіл випадкової величини.
Серед числових характеристик виділяють характеристики положення та характеристики розсіювання. Перші характеризують положення випадкової величини на числовій осі, другі – розсіяння можливих значень відносно центру розподілу. До характеристик положення відносять моду, медіану і математичне сподівання, до характеристик розсіяння – дисперсію та середнє квадратичне відхилення. Модою дискретної випадкової величини називається таке її значення, яке має найбільшу ймовірність. На многокутнику розподілу мода Мо є таким значенням випадкової величини, ймовірність якого максимальна (рис. 3). Модою неперервної випадкової величини називається таке її значення, при якому щільність розподілу максимальна. На кривій розподілу мода є абсцисою максимуму (рис. 3). Значення моди можна знайти як корінь рівняння
Розподіл випадкових величин може бути одномодальним, двомодальним, багатомодальним в залежності від кількості максимумів на многокутнику чи кривій розподілу. Наприклад, наведені на рис. 3 розподіли є одномодальними, а розподіл кількості покупців у магазині протягом дня чи кількості відвідувачів студентської їдальні протягом дня – багатомодальні розподіли. Іноді можна зустріти термін – антимодальний розподіл; це такий розподіл, крива розподілу якого має мінімум, а максимальні значення розташовані на границях інтервалу. Медіаною випадкової величини називається таке її значення Ме, відносно якого з однаковою ймовірністю можна одержати як більше, так і менше значення випадкової величини. Виходячи з наведеного означення для дискретних випадкових величин не завжди можна однозначно вказати медіану. В зв’язку з цим на практиці медіана як числова характеристика набула поширення лише для неперервних випадкових величин. Отже, за означенням
Врахуємо, що сума вказаних вище ймовірностей дорівнює 1, а кожна з них дорівнює 0,5, і остаточно одержимо формулу для визначення медіани неперервної випадкової величини
