1 2 3 Ім'я файлу: математика.docx Розширення: docx Розмір: 292кб. Дата: 27.01.2022 скачати Пов'язані файли: Концепції реалізації адміністративно-територіальної реформи пере куликов версия для меня1.docx история.docx bobkov.doc 619097.rtf ВАРИАНТ №3 Задача 33 Даны векторы a1(1;3;5), a2(-2;-1;-1), a3(4;-2;4), b(-7;3;-1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор b нельзя разложить по данному базису. Вычислим определитель матрицы:
∆ = 1*((-1)*4 - (-2)*(-1)) - (-2)*(3*4 - (-2)*5) + 4*(3*(-1) - (-1)*5) = 46 Определитель матрицы равен ∆ =46 Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство: X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3 Запишем данное равенство в координатной форме: (-7;3;-1) = α(1;3;5) + α(-2;-1;-1) + α(4;-2;4) Используя свойства векторов, получим следующее равенство: (-7;3;-1) = (1α1;3α1;5α1;) + (-2α2;-1α2;-1α2;) + (4α3;-2α3;4α3;) (-7;3;-1) = (1α1 -2α2 + 4α3;3α1 -1α2 -2α3;5α1 -1α2 + 4α3) По свойству равенства векторов имеем: 1α1 -2α2 + 4α3 = -7 3α1 -1α2 -2α3 = 3 5α1 -1α2 + 4α3 = -1 Решаем полученную систему уравнений методом Крамера. Ответ:
b = a1 + 2a2 -a3 Задача 43 Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(-5,2,2) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=3•(3•(-3)-4•2)-1•(-2•(-3)-4•(-1))+5•(-2•2-3•(-1))=-66 Итак, определитель -66 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(3•(-3)-2•4)=-17
∆1,2=-(-2•(-3)-(-1•4))=-10
∆1,3=(-2•2-(-1•3))=-1
∆2,1=-(1•(-3)-2•5)=13
∆2,2=(3•(-3)-(-1•5))=-4
∆2,3=-(3•2-(-1•1))=-7
∆3,1=(1•4-3•5)=-11
∆3,2=-(3•4-(-2•5))=-22
∆3,3=(3•3-(-2•1))=11 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
1 2 3 |