1   2   3
Ім'я файлу: математика.docx
Розширення: docx
Розмір: 292кб.
Дата: 27.01.2022
скачати
Пов'язані файли:
Концепції реалізації адміністративно-територіальної реформи пере
куликов версия для меня1.docx
история.docx
bobkov.doc
619097.rtf


ВАРИАНТ №3


Задача 33

Даны векторы a1(1;3;5), a2(-2;-1;-1), a3(4;-2;4), b(-7;3;-1). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.
Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор b нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

b=

1

3

5

-2

-1

-1

4

-2

4














∆ = 1*((-1)*4 - (-2)*(-1)) - (-2)*(3*4 - (-2)*5) + 4*(3*(-1) - (-1)*5) = 46
Определитель матрицы равен ∆ =46
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1, α2, α3, что имеет место равенство:
X = α1ε1 + α2ε2 + α3ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(-7;3;-1) = α(1;3;5) + α(-2;-1;-1) + α(4;-2;4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(-7;3;-1) = (1α1;3α1;5α1;) + (-2α2;-1α2;-1α2;) + (4α3;-2α3;4α3;)
(-7;3;-1) = (1α1 -2α2 + 4α3;3α1 -1α2 -2α3;5α1 -1α2 + 4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
1 -2α2 + 4α3 = -7
1 -1α2 -2α3 = 3
1 -1α2 + 4α3 = -1
Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.
Ответ:

b =

1

2

-1














b = a1 + 2a2 -a3

Задача 43

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

3

-2

-1

1

3

2

5

4

-3














Вектор B:
BT=(-5,2,2)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=3•(3•(-3)-4•2)-1•(-2•(-3)-4•(-1))+5•(-2•2-3•(-1))=-66
Итак, определитель -66 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:

A=

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33














Тогда:



A11

A21

A31

A12

A22

A32

A13

A23

A33














где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

AT=

3

1

5

-2

3

4

-1

2

-3














Вычисляем алгебраические дополнения.

AT1,1=(-1)1+1

3

4

2

-3














1,1=(3•(-3)-2•4)=-17

AT1,2=(-1)1+2

-2

4

-1

-3














1,2=-(-2•(-3)-(-1•4))=-10

AT1,3=(-1)1+3

-2

3

-1

2














1,3=(-2•2-(-1•3))=-1

AT2,1=(-1)2+1

1

5

2

-3














2,1=-(1•(-3)-2•5)=13

AT2,2=(-1)2+2

3

5

-1

-3














2,2=(3•(-3)-(-1•5))=-4

AT2,3=(-1)2+3

3

1

-1

2














2,3=-(3•2-(-1•1))=-7

AT3,1=(-1)3+1

1

5

3

4














3,1=(1•4-3•5)=-11

AT3,2=(-1)3+2

3

5

-2

4














3,2=-(3•4-(-2•5))=-22

AT3,3=(-1)3+3

3

1

-2

3














3,3=(3•3-(-2•1))=11
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

C=

-17

-10

-1

13

-4

-7

-11

-22

11













  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас