1   2   3
Ім'я файлу: курсач.docx
Розширення: docx
Розмір: 251кб.
Дата: 14.12.2020
скачати

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………………..3

  1. КВАДРАТНЕ РІВНЯННЯ……………………………………………….....5

    1. Означення та види квадратних рівнянь………………………….…….5

    2. Способи розв’язання квадратних рівнянь……………………………..5

  2. ВИВЧЕННЯ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ В ОСНОВНІЙ ШКОЛІ……15

    1. Аналіз програми вивчення рівняння в основній школі………………15

    2. Розробка методичних матеріалів………………………………………18

  3. ВИСНОВОК…………………………………………………………………25

  4. Список використаної літератури……………………………………...……26

ВСТУП

Актуальність роботи. Рівняння є однією з найважливіших тем в курсі алгебри. На вивчення рівнянь в шкільному курсі математики відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Рівняння в шкільному курсі займають значне місце, вперше з ними учні знайомляться ще в початковій школі, коли вчаться розв’язувати рівняння через знаходження невідомих компонетів дій. Уже в 6 класі учні знайомляться з властивостями рівнянь і вчаться за їх допомогою розв’язувати нескладні рівняння. В курсі алгебри 7 класу учні набувають навичок розв’язання лінійних рівнянь, а програма 8 класу передбачає вивчення теми «Квадратні рівняння»

Квадратні рівняння мають широке застосування в шкільному курсі математики. За допомогою різних видів квадратних рівнянь розв’язують рівняння інших типів ( дробові, раціональні, ірраціональні, тригнометричні, логарифмічні, показникові), текстові задачі, квадратні нерівності. Квадратні рівняння застосовують для розкладання квадратного тричлена на множники, в старшій школі їх використовують для дослідження функції. Тому учні повинні вміти розв’язувати квадратні рівняння, при чому мати варіативність для цих дій.

Автором даної роботи обрана тема «Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики», так як вона актуальна в сучасному світі; це пояснюється тим, що рівняння широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.

Мета даної курсової роботи: вивчення та розв’язок квадратних рівнянь у шкільному курсі математики, основні помилки при розв’язуванні квадратних рівнянь.

Об’єкт дослідження: Методика вивчення квадратних рівнянь у шкільному курсі математики

Предмет дослідження: види та способи розв’язання квадратних рівнянь.

Методи дослідження:

- бібліографічний метод (аналіз літератури з теми дослідження);

- метод класифікації і метод якісного аналізу.

Структура і обсяг роботи: Робота складається із вступу, двох розділів, висновку і списку використаної літератури. У першому розділі ми знайомимося з поняттям квадратного рівняння та способами його розв’язання. В другому розділі ми аналізуємо програму вивчення рівнянь в основній школі, розробляємо методичні матеріали.

Загальний обсяг роботи 26 сторінок, з них 1 - списку використаної літератури.

  1. КВАДРАТНЕ РІВНЯННЯ

    1. Означення та види квадратних рівнянь

Квадратним рівнянням називається рівняння виду , де х – невідоме, a, b, c – деякі числа, причому

Числа a, b, c – коефіцієнти квадратного рівняння: а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член. Якщо , рівняння називається зведенним.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів b або с дорівнює 0, рівняння називається
неповним.

Види неповних квадратних рівнянь

1.Якщоb=0, с = 0,квадратне рівняння на­буває вигляду ах2=0і має один корінь х=0.

2.Якщо с=0, b 0, квадратне рівняння набу­ває вигляду ах2 +bх = 0.Розв'язуючи його, маємо: х(ах+b)= 0;х = 0або ах +b = 0.

Рівняння має два корені: x1=0 і х2 = .

3.Якщо b=0, с 0, квадратне рівняння набу­ває вигляду ах2 +с= 0.

Якщо квадратне рівняння має два корені:

Якщо квадратне рівняння не має коренів.

1.2. Способи розв’язання квадратних рівнянь

Вивчивши історію походження квадратних рівнянь було отримано таку інформацію: рівняння 2-го степеня вавилонські математики вміли розв’язувати ще 4 тис. років тому. Згодом їх також розв’язували у Китаї та Греції.

Математики Греції розв’язували квадратні рівняння геометрично. Наприклад Евклід – при допомозі ділення відрізка в середньому і крайньому відношеннях. Особливу увагу квадратним рівнянням приділив Мухамед аль-Хорезмі (IX ст.) Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540 – 1603). Теорему тепер називають його ім’ям, але від’ємних коренів він не розглядав.

Сучасні способи розв’язування квадратних рівнянь поширилися завдяки працям Рене Декарта( 1596 – 1650) та Ісаака Ньютона (1643-1727).

1.Розкладання квадратного тричлена рівняння на множники.

З цим способом учні знайомляться в шкільному курсі алгебри 8 класу. Він заснований на «способі угруповання» при розкладанні многочленів на множники і дозволяє досить швидко розв’язувати квадратне рівняння.

Якщо і – корені квадратного тричлена , то

Приклад 1. Розкласти на множники квадратний тричлен

Розвязання: квадратне рівняння має два рівних корені . Тому

Висновок: спосіб не складний і зрозумілий, ним може користуватися будь-який учень.

2. Виділення повного квадрата.

Метод виділення повного квадрата заснований на використанні формул:

та

Виділення повного квадрата – це таке тотожне перетворення, за якого заданий тричлен представляється у вигляді – суми або різниці квадрата двочлена та деякого числового або буквеного вираження.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розвязання: Розкладемо многочлен на множники методом виділення повного квадрата. Для застосування першої формули необхідно отримати вираз

Тому додамо й віднімемо від многочлена число 4, щоб виділити повний квадрат.









Застосуємо формулу різниці квадратів:







x+5=0 x+9=0

x=-5 x=-9

Висновок: спосіб виділення повного квадрата вимагає знання формул скороченого множення і гарних обчислювальних навичок (в разі, якщо коефіцієнти раціональні числа).

3. Застосування формул коренів квадратного рівняння.

Корені квадратного рівняння ax2+bx+c = 0(a 0)

знаходять за формулою Вираз b2 – 4ac називається дискримінантом і позначається буквою D.

Кількість коренів

1. Якщо D<0, рівняння не має коренів.

2. Якщо D= 0, рівняння має один корінь:

3. ЯкщоD>0, рівняння має два корені:

Для квадратних рівнянь із парним другим коефіцієнтом зручніше користуватися форму­лою, наведеною нижче.

Позначимо Тоді для маємо

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання:



4. Розвязання рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Теорема 1 (Вієта).Якщо незведене квадрат­не рівняння ах2+bx+c = 0має два корені, то

Якщо зведене квадратне . рівняння х2+ рх+q = 0 має два корені, то

х1+ х2=- р; xlx2 = q.

Коли рівняння має один корінь, його мож­на вважати за два рівних: х12. Тоді для незведеного квадратного рівняння 2х1= для зведеного 2х1= - p,



Для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади

Знайти суму й додаток коренів рівняння,
1) Зх2-5х+2 = 0;

D = 25-3.2.4 = 1 — додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.

Отже, х12=5/3; , х1 х2=2/3.

2) х2+Зх+10=0;

D = 9 - 40 = -31 — від'ємне число.

Рівняння не має дійсних коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.

Теорема 2 (обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел х1 і х2дорівнюють відповідно р і q, то х1 і х2 є коренями рівняння х2+pх+q=0.

Із теореми Вієта випливає, що цілі розв'язки рівняння х2+pх+q=0 є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників qкоренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв'язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.

Під час розв'язування треба також враховувати такі висновки з теореми Вієта

  1. Якщо q <0, х1 і х2 мають різні знаки.

  2. Якщо q>0, х1 і х2 обидва від'ємні чи обидва додатні. Знак суми х1 і х2 є протилежним до знака р.

Приклад. . За теоремою Вієта:

х1 х2=-9; х1+ х2 =8; 9 = 1.9 = 3.3. Очевидно, що 8 = 9+(-1).

Відповідь: х1 = -1; х2 = 9.
Приклад 4. Розв’язати квадратне рівняння .

Розв’язання.

За теоремою Вієта: .

5. Графічний спосіб розв’язування квадратного рівняння.

Якщо в рівнянні , з лівої частини перенести другий і третій члени многочлена в праву частину, то отримаємо: . Розглянемо дві функції: і Графік першої - парабола, що проходить через початок координат. Графік другої - пряма. Можливі такі випадки взаємного розташування графіків функцій: перетин двох графіків, два графіка торкаються один до одного , два графіка не мають спільних точок.

Графічний розв’язок квадратного рівняня

мал.1 мал.2 мал.3

Розглянемо три випадки розв’язку квадратних рівнянь:

а) розв’яжемо графічно рівняння , (мал.1). Відповідь:

б) рівняння , (мал.2). Відповідь:

в) рівняння , (мал.3). Відповідь: коренів немає.

6. Розв’язування задач, що зводяться до квадратних рівнянь.

Типи задач: на рух, на роботу, на суміші.

При розв’язанні задач за допомогою рівнянь діють за таким алгоритмом:

1) Позначають деяку невідому величину буквою.

2) Складають буквений вираз за умовою задачі.

3) Складають рівняння на основі буквеного виразу та умов задачі.

4) Розв’язують одержане рівняння. Надають величині, яку позначали буквою, знайденого значення.

5) Перевіряють результат на відповідність умовам задачі.

6) Записують відповідь щодо шуканих величин.

Зазвичай у задачах ідеться не про математичні об’єкти. Такі задачі називають прикладними. Тоді складають математичну модель задачі, у якій ідеться про математичні поняття.

Розв’язання прикладних задач методом математичного моделювання складається з трьох етапів:

- формування математичної моделі задачі;

- розв’язання відповідної математичної задачі;

- аналіз одержаних результатів.

Слід звернути увагу!

У прикладних задачах, коли йдеться не про математичні об’єкти, величини набувають додатних значень. Оскільки квадратне рівняння може мати і від’ємні корені, слід на початку розв’язання задачі встановлювати умову на змінну і перевіряти на виконання умови знайдені корені рівняння.

Задача 1. Військовому тлумачу для прибуття до місця проведення переговорів з іноземцями необхідно було проїхати 30км. Проте, виїхавши на 3хв пізніше, наміченого терміну, він рухався на коні зі швидкістю більшою на 1км/год і прибув вчасно. Визначити швидкість, з якою рухався військовий тлумач.

Розв’язок: Нехай км/год – швидкість, з якою повинен був рухався військовий тлумач, швидкість з якою він рухався, час який він повинен був витратити на дорогу, час який він витратив на дорогу. За умовою задачі він витратив на 3 хв менше, 3хв = , тому до зазначеного часу додамо ще ці 3 хвилини і отримаємо той час який був запланований.

За умовою , звідки





, не задовольняє умову задачі





Відповідь. .

Задача 2.Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?

Розв’язання:

Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно (х + 6) днів. Це означає, що за один день перша бригада виконає , а друга — частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працюючи разом, виконують всього завдання.

Складемо й розв'яжемо рівняння:



За теоремою Вієта: х1=6, х2=-4. Корінь х = -4 не задовольняє умову задачі, тому що час — число додатне.



Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.

7.Квадратні рівняння з параметрами

Як показує практика, у завданнях ЗНО, на олімпіадах з математики пропонуються завдання з параметром. Старшокласники, які навчаються на підготовчих курсах при університетах, теж зустрічаються із завданнями такого роду. Але в шкільному курсі, як правило, недостатньо уваги приділяють таким задачам. Природньо, що у дітей виникають труднощі. Наведемо декілька прикладів, щоб показати методи розв’язування рівнянь з параметрами.

Розв’язування рівнянь – одне з основних завдань алгебри, а рівнянь з параметрами – це ще й складне завдання.

Приклад. При яких значеннях параметра а рівняння має один дійсний корінь?

Розв'язання
Зведемо рівняння до квадратного за допомогою підстановки

Тоді

D =

Якщо тобто

то = 4,



Якщо то ,

Якщо , то I щоб дане рівняння мало один корінь, потрібно, щоб тобто

рівняння має один корінь

У складніших випадках такий спосіб розв'язання завдання досить громіздкий. Для спрощення розв’язування завдань такого типу пропонується наступна теорема.

  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас