ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 19
з дисципліни «Вища математика»
ТЕМА: Визначений інтеграл та його застосування у сфері економіки. Теорема Ньютона–Лейбніца. Основні методи інтегрування.
МЕТА:
поглибити й розширити знання студентів про визначений інтеграл;
закріпити навички знаходити визначений інтеграл;
показати його місце і значення при розв’язуванні задач економічного змісту;
учити бачити єдину математичну модель у різних ситуаціях, складати її в нестандартних умовах;
вчити студентів досліджувати й оцінювати соціальні явища засобами математики;
бачити необхідність планування майбутнього;
допомогти сформувати особисте ставлення до діяльності, яка вимагає математичних знань.
І. Визначений інтеграл
Визначеним інтегралом від неперервної на [а; b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницею F(b) - F(a), де F(x) - одна з первісних для функції.
При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну, для якої С = 0.
Геометричний зміст визначеного інтеграла.
Якщо f(х)
0, х є [а,b] , то 
чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції f(x), і прямими х=а, х=b, у=0. Тобто S= .ФормулаНьютона-Лейбніца.
Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл, є формула Ньютона-Лейбніца.
тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межі інтегрування.І. Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування.
Приклад 1.
Приклад 2.
Приклад 3.
Приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
=
.Приклад 7.
=
=
.Приклад 8.
Метод заміни змінної.
При обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної (способом підстановки) визначений інтеграл перетворюється за допомогою підстановки
у визначений інтеграл відносно нової змінної t. При цьому старі межі інтегрування змінюють відповідно новими межами інтегрування 
, які знаходяться з вихідної підстановки.Теорема. Нехай потрібно обчислити інтеграл
, де 
- неперервна на проміжку [а;b] функція. Візьмемо і вважатимемо, що функція 
задовольняє умови:1)
визначена і неперервна в деякому проміжку [
];2)
є [а,b], коли tє [ ];3)
= а, 
= b;4) існує неперервна похідна
, t є [
], то
Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому немає потреби вертатись до початкової змінної.
ІI. Обчисліть визначені інтеграли, використовуючи заміну змінної.
Приклад 1.
.Приклад 2.
Обчислити
-
х
0
t
0
1
Приклад 3.
=
= 
= 
Приклад 4.
►
Приклад 5
►
Приклад 6.
Приклад 7.
=Приклад 8.
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Теорема. Якщо функції
та 
- функції від х, що мають неперервні похідні, то
Приклад 1.
Приклад 2.
+
=
Приклад 3.
=
Приклад 4.
Приклад 5.
Приклад 6.
ІІ. Використання поняття визначеного інтегралу в економіці
Уся історія математики, починаючи з її виникнення, пов’язана з економічним життям тогочасного суспільства. Геометрія з’явилась з потреб земельних відносин у Єгипті, десяткове числення виникло як відповідь на ускладнення фінансових відносин у середні віка, полегшуючи банківські операції. Вибуховий розвиток промисловості у кінці ХІХ сторіччя викликав бурхливе зростання економічних відносин і необхідність появи відповідного математичного апарату. Інтегральне числення має багатий математичний апарат для моделювання й дослідження процесів, що відбуваються в економіці. Глобалізація зачіпляє усі сфери життя людства і це відзеркалюється на розвитку науки – математика все більше інтегрується у економіку і дозволяє досягти значних успіхів. Математика зараз є невід’ємною частиною економіки, яка створює алгоритми розв’язання тих чи інших невідкладних питань. Поєднання математики і ІТ технологій пронизує усі економічні дослідження. На початку ХХ сторіччя виникла потреба у теоретичних дослідженнях економічних процесів. Отже, за допомогою визначеного інтеграла в економіці можна виконувати обчислення, які є достатньо простими (для людини, яка знає математику), не вимагають використання складних понять у процесі аналізу і дозволяють розв’язувати складні задачі аналітичного і прогностичного характеру. Застосування визначеного інтеграла допомагає вивчати економіку, маючи знання з математики. Серед задач, у яких використовується визначений інтеграл, є задачі обчислення і аналізу споживчих надлишків, ринкової рівноваги та ін..
1. Продуктивність праці характеризується функцією
в залежності від часу t, тоді об’єм продукції за інтервал часу від t1 до t2 виражається формулою:
Приклад. Визначити об’єм продукції, що виробляє робітник за 4-угодину робочого дня, якщо його продуктивність праці характеризується функцією:
Розв’язання
Розв’яжемо задачу при к = 1
Он-лайн обчислення в програмі wolframalpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(4%2F(4%D1%85%2B1)%2B1,+x%3D3..4
б) Он-лайн обчислення в програмі symbolab
http://ru.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/%5Cint_%7B3%7D%5E%7B4%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cleft(4x%2B1%5Cright)%7D%2B1%5Cright)dx%3D
в) Он-лайн обчислення
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate1/
2. Визначення загального обсягу випущеної продукції
Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).
Тоді загальний обсяг продукції Q за час від
до
обчислюється за допомогою визначеного інтегралу
.Приклад. Знайти загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції, якщо
, 
.
а) Он-лайн обчислення в програмі wolframalpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(10*exp(0.1*x),+x%3D0..5
б) Он-лайн обчислення в програмі symbolab
http://ru.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator/%5Cint_%7B0%7D%5E%7B5%7D%20%5Cleft(10%5Ccdot%20exp%5Cleft(0.1%5Ccdot%20x%5Cright)%5Cright)dx%3D
в) Он-лайн обчислення
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate1/
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate1/
3. Визначення коефіцієнта Джинні
Для моделювання розподілів доходів суспільства, майна домогосподарств, часток ринку для окремих підприємств галузі, природних ресурсів окремих країн використовують розподіл Лоренца, який він запропонував у 1905 році.
Коефіціє́нт Джи́ні — показник нерівності розподілу деякої величини, що приймає значення між 0 і 1, де 0 означає абсолютну рівність (величина приймає лише одне значення), а 1 позначає повну нерівність. Найбільш відомим коефіцієнт є як міра нерівності доходів домогосподарств деякої країни чи регіону. Коефіцієнт Джині для доходів домогосподарств є найпопулярнішим показником економічної нерівності в країні.
Коефіцієнт Джині найпростіше визначити за допомогою кривої Лоренца, що зображує частку величини y, що зосереджується на x% популяції з найменшим значенням цієї величини.
Наприклад, для розподілу доходів точка (20%, 10%) буде лежати на кривій Лоренца, якщо сукупний дохід двадцяти найбідніших домогосподарств рівний десяти відсоткам сукупного доходу усіх домогосподарств. Коефіцієнт Джині рівний відношенню площі області утвореної кривою Лоренца і прямою повної рівності (прямою під кутом 45°) до площі трикутника утвореного прямою повної рівності і прямими y = 0 та x =1. На рисунку перша область позначена сірим кольором, трикутник є об'єднанням фігур сірого і синього кольорів. Якщо позначити площі відповідних фігур 'A' і 'B', то можна записати формулу G=A/(A+B). Оскільки A+B = 0,5 то також справедлива формула G = 2· A = 1 — 2 · B.
Якщо весь дохід є рівномірно розподілений, то крива Лоренца збігається з прямою повної рівності і значення коефіцієнта Джині рівне нулю.
Приклад. a) Крива Лоренца деякої країни має вигляд
. Знайти коефіцієнт Джинні цієї країни.Розв’язання:
Із визначення коефіцієнта Джинні випливає, що для кривої Лоренца
б) Для кривої Лоренца
маємо такий коефіцієнт Джинні:
.в) Відома функція кривої Лоренца:
,де х – частка населення, у - частка доходів населення. Обчислити коефіцієнт Джині (рівняння ОА
):
Розв’язання
Тоді коефіцієнт Джинні буде:
4. Обчислення дисконтованого значення грошових потоків
Аналіз доходності фінансових ринків вимагав розробку алгоритму дисконтування. Дисконтування є єдиною методикою, яка порівнює вартість різних об‘єктів у часі. Дисконтування приводить теперішню вартість до майбутньої. Теперішня вартість майбутніх грошей обчислюється за формулою
,де r - ставка відсотка.
Останню формулу для невеликих значень можна записати у вигляді
,оскільки ln(1+r)»r (справді, ln1,03=0,0296; ln1,05=0,0488; ln1,08=0,077 ).
Нехай деяка фірма здійснює потік інвестицій FV1, FV2,…, FVn в моменти часу t1, t2,…,tn=T. Тоді дисконтована (чиста) теперішня вартість NPV потоку інвестицій представляє собою суму
У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі Di =ti-ti-1 - малі, де t0=0; i=1,…,n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку ( n®¥; всі Di®0; послідовність значень FV1=FV(t1), FV2=FV(t2),…, FVn=FV(T) описує деяка функція FV(t), 0£t£T ) перетворюється в інтеграл
.Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV(t)=100-10t . Ставка відсотка r = 10% (r = 0,1). Довжина періоду інвестування T = 5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку.
Розв’язання:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(100-10*x)*exp(-0.1*x),+x%3D0..5
Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку:
.http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(100-10*x),+x%3D0..5
Приклад. Капіталовкладення задаються функцією
Визначити дисконтований дохід за 3 роки при відсотковій ставці І = 8%.
Розв’язання:
Якщо К=2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(10%2B2*x)*exp(-0.08*x),+x%3D0..3
5. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача
А). Відомо, що попит на деяку продукцію задається функцією:
,де q - кількість товару ( шт.),
р – ціна одиниці товару (грн.),
причому рівновага на ринку даного товару досягається при :
Знайти величину споживчого надлишку.
Величина споживчого надлишку визначається формулою:
Розв’язання
Б). Відомо, що функція попиту на деяку продукцію має вигляд:
Функція пропозиції цієї ж продукції має вигляд:
.Знайти величину споживчого надлишку при купівлі даного товару.
Розв’язання
Знайдемо рівноважну ціну:
Знайдемо обернену функцію до функції
:
. Маємо: