Ім'я файлу: Вивчення тотожних перетворень в загальноосвітній школі..doc
Розширення: doc
Розмір: 120кб.
Дата: 23.05.2021
скачати

Вивчення тотожних перетворень в загальноосвітній школі.
Теоретичні основи тотожних перетворень.
Тотожні перетворення являють собою одну із головних ліній шкільного курсу математики. На їх основі в учнів формується уява про аналітичні методи математики.

До математичних основ тотожних перетворень відносяться:

*означення тотожності і тотожного перетворення;

*розгляд різних наукових підходів до тлумачення тотожних перетворень;

*виділення основних тверджень.

В алгебрі дії над буквеними виразами лише позначаються і можуть бути виконані тільки при виборі чи завданні конкретних числових значень її змінних. При цій умові основою тотожних перетворень є закони арифметичних дій, властивості операцій з 0 і 1 і властивості тотожностей.:

а) А = А; б) А = В <=> В = А; в) (А = В і В = С) => А = С

Тому на основі систематизації відомостей про згадані твердження, нові твердження доводяться.

По строгості доведення тотожності діляться на три типи:

# неповністю строгі міркування, які вимагають використання методу математичної індукції для наданню їм повної строгості;

# повністю строгі міркування, які спираються на основні властивості арифметичних дій і не використовують інших властивостей числової системи;

# повністю строгі міркування, які використовують умовне розв’язання рівнянь виду φ(х) = а, де φ(х) елементарна функція, що вивчається.

Тотожні перетворення виразів в курсі математики середньої школи.
Базисна програма з математики не виділяє тотожні перетворення в одну окрему тему курсу математики середньої школи; матеріал, пов’язаний з тотожними перетвореннями, розосереджений по всім класам, по всьому курсу математики, а саме:

5-6 класи – закони арифметичних дій; застосування законів арифметичних дій для раціональних виразів, розкриття дужок, зведення подібних членів;

7-9 класи – додавання, віднімання і множення многочленів; розкладання многочлена на множники;

10-11 класи (курс В) тригонометричні формули додавання, наслідки із них. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тотожні перетворення виразів, а яких є степені і корні. Логарифмічні тотожності:

alogax = x; loga(xy) = logax + logay;

loga(x / y) = logax - logay;

logaxp = plogax

Тотожні перетворення виразів, в яких є логарифми.

Мета вивчення тотожних перетворень в середній школі така:

* спрощення виразів;

* доведення тотожностей;

* зведення рівнянь і нерівностей до простої форми;

* використання при розв’язуванні задач (і геометричних також) аналітичним методом.
Пропедевтика тотожних перетворень в початковій школі і в 5-6 класах середньої школи пов’язана в першу чергу з вивченням властивостей арифметичних дій і записом їх в буквеному вигляді. До простих перетворень виразів, які вивчаються в 5-6 класах, відносяться розкриття дужок і зведення подібних доданків. Ці перетворення розглядаються в зв’язку з розв’язуванням найпростіших рівнянь.
Поняття тотожності і тотожного перетворення формується за трьох етапною схемою:
1 етап – тотожність для цілих раціональних виразів;
2 етап – тотожність для дробових раціональних виразів;
3 етап – тотожність на множині.
Види тотожних перетворень: тотожні перетворення цілих раціональних виразів, дробово-раціональних виразів, ірраціональних виразів, тригонометричних виразів.

Слід зауважити, що застосовуючи те чи інше тотожне перетворення, необхідно чітко формулювати цільову установку цього перетворення.

Тотожні перетворення складають одну із основних змістовно-методичних ліній шкільного курсу алгебри. Вони є базою для вивчення рівнянь і нерівностей, дослідження функцій і організацій обчислень. Тотожні перетворення знаходять широке застосування в курсах геометрії, алгебри і початків аналізу, фізики, хімії і інших предметів. Від рівня сформованості навичок тотожних перетворень залежить результативність навчання учнів математики і іншим дисциплінам.

В процесі вивчення учні 7-9 класів повинні:

* засвоїти поняття тотожності і саму ідею тотожних перетворень;

* оволодіти умінням виконувати тотожні перетворення цілих, раціональних виразів, нескладних виразів, які містять степені і корні, тригонометричні вирази;

* засвоїти важливу ідею алгебри – ідею підстановки; якщо в тотожності замість змінної підставити вираз, то знову одержимо тотожність (при цьому треба слідкувати за допустимими значеннями змінних);

* навчитися застосувати апарат тотожних перетворень при доведенні алгебраїчних теорем, розв’язанні рівнянь і нерівностей, побудові графіків функцій.

Короткий методичний коментарій вивчення тотожних перетворень в загальноосвітній школі.
- Пропедевтична робота в початковій школі.

- Означення алгебраїчного виразу.

Вправи трьох типів:

* на читання і розуміння смислу буквено-символічного запису об’єктів вивчення;

* на запис об’єктів вивчення в буквено-символічній формі;

* на дії з об’єктами вивчення, записаними в буквено-символічній формі.
Використання буквеної символіки в якості засобу узагальнення вивченого матеріалу. Приклади: запис законів арифметичних дій.

Вправи на формування поняття протилежного числа.

Тотожності, тотожні перетворення алгебраїчних виразів.

Означення тотожності.

Три типи доведення тотожностей за рівнем строгості:

1) Неповністю строгі міркування.

2) Повністю строгі міркування, які спираються на основні властивості арифметичних дій.

Формування навичок простіших тотожних перетворень при виконанні вправ на:

* приведення подібних доданків;

* розкриття дужок і заключення в дужки;

* винесення множника за дужки;

* формули скороченого множення.
3) Повністю строгі міркування, які використовують умови розв’язання рівнянь виду φ(х) = а, де φ(х) елементарна функція, що вивчається.

Робота з тотожностями на різних етапах навчання.

Тригонометричні тотожності:

sin2x + cos2x = 1, tgx*ctgx = 1.

sin(180o - x) = sinx, sin(90o - x) = cosx

cos(180o - x) = -cosx, sin2x = 2sinx * cosx, 1 + tg2x = 1 / cos2x

і ін.

Перетворення дробових виразів.

Деякі означення і властивості степені з цілим показником.

Властивості степені з раціональним показником.

Логарифмічна тотожність logax = lgx / lga
Формування умінь і навичок тотожних перетворень.
Процес оволодіння учнями знаннями, уміннями і навичками по виконанню тотожних перетворень являється складним і тривалим. Він складається із повідомлення нових теоретичних відомостей, показу способів виконання тотожних перетворень і вироблення умінь і навичок. Викладання теоретичного матеріалу при вивченні тотожних перетворень займає значно менше часу, чим відпрацювання умінь і навичок. Важливим методом формування навичок тотожних перетворень є письмові і усні вправи, їх послідовність, а саме: 1) вправи прямого застосування вивченого правила, формули, алгоритму; 2) безпосереднє застосування правила, формули, алгоритму усилюється введенням більш складних числових коефіцієнтів, показників степенів або іншими причинами; 3) задачі, для розв’язання яких від учнів вимагається уміння установлювати зв’язки з раніше вивченими тотожностями, виконувати декілька дій; 4) вивчена формула застосовується для розв’язання різноманітних задач.
Однією з умов ефективності вироблення міцних навичок є правильна організація роботи учнів з системою вправ, яка передбачає чітку постановку мети і планування з алгоритмом, прийомом навчальної діяльності із кожною операцією окремо, правильний темп роботи над виконанням вправ; забезпечення самостійності в роботі учнів шляхом використання роздаткового матеріалу і інших засобів; використання системи усних вправ на кожному уроці; ознайомлення учнів з прийомами самоконтролю при виконанні тотожних перетворень.

Сформовані в учнів навички тотожних перетворень повинні володіти такими якостями: правильністю, усвідомленістю, раціоналістичністю, узагальнюваністю, автоматизмом і міцністю.

Однією із головних причин не сформованості навичок виконання того чи іншого тотожного перетворення раціональних (любих) виразів є дуже швидкий перехід від пробних розгорнутих письмових записів розглянутих алгоритмів і відповідних усних міркувань до згорнутих письмових записів. При цьому учні значну частину часу витрачають не на обдумування суті розглядуваного алгоритму, а на усне виконання більшості розглядуваних раніше перетворень, що неминуче веде до перевантаження уваги, пам’яті і мислення. Частково згорнути записи в міркуваннях необхідно лише в тому випадку, якщо вчитель об’єктивно впевнений, що алгоритм усвідомлений на рівні розгорнутих записів і міркування учнями.

Удосконалення методики формування навиків тотожних перетворень алгебраїчних, тригонометричних виразів: 1) повинно йти в напрямі поступового переходу з початкового рівня елементарних одно крокових завдань на рівень не складних комбінованих вправ і при цьому мати на увазі, що поступове зниження рівня сформованості навичок тотожних перетворень, говорить про недостатню роботу в процесі навчання по підтриманню цих навичок; постійне підтримування навичок тотожних перетворень на даному рівні забезпечує їх міцність через систему усних вправ, математичних диктантів, звернення в разі необхідності до розгорнутих письмових записів і усному їх обґрунтуванню, постійне включення елементарних навичок в комбіновані вправи; 2) ціле направлена робота по попередженню і виправленню помилок (виявлення помилок в процесі вивчення тотожних перетворень виразів, систематизація помилок, вияснення причин виникнення помилок, організація роботи по усуненню помилок).

В шкільних підручниках з математики всі тотожні перетворення вводяться за допомогою правил, які формулюються в стислій лаконічній формі; правило дає складну структуру дії в нерозгорнутому вигляді. В правилах проявляється тенденція як можна скоріше дати учням інструмент вільного виконання відповідного перетворення. Але далеко не всі учні в змозі самі розгорнути правило в необхідну систему дій. Для формування у учнів на високому рівні умінь і навичок виконувати базові тотожні перетворення необхідно посилити алгоритмічний підхід в процесі навчання, який передбачає достатньо тривале застосування розгорнутих форм запису дій. При такому підході алгоритм дії буде включати в себе і повний склад формально-операційних і обґрунтованих знань, що попередить проникнення формалізму в процес пізнання і дуже обмежить можливості здійснення помилок при виконанні тотожних перетворень алгебраїчних виразів.

Для визначення вимоги до рівня складності тотожних перетворень алгебраїчних виразів, до сформованості відповідних умінь і навичок учнів, вчитель може скористуватись такими критеріями: загальноосвітня значущість тотожних перетворень; внутріпредметні потреби шкільної математики і її застосування; потреби суміжних дисциплін і подальшої освіти в вищій школі.

В роботі з класом вчителю необхідно зосередити увагу на основних стандартних перетвореннях. Комбіновані вправи на тотожні перетворення тотожних виразів повинні, як правило, містити дві-три дії.

Для того, щоб домогтися свідомого засвоєння алгоритму учнями, вчитель повинен на перших стадіях його формування відображувати в записах всі етапи. Скорочувати, пропускати деякі етапи в записах і міркуваннях треба поступово, враховуючи індивідуальний темп учня по оволодінню цим алгоритмом.

Формувати алгоритм треба на основі таких прийомів, які б забезпечили у учнів повне розуміння теоретичних обґрунтувань можливості виконання тієї чи іншої дії. Особливу увагу при формуванні базових тотожних перетворень вчитель повинен приділити варіюванню різних випадків, які показали б учням ті об’єкти, до яких дія застосовується, і ті, до яких застосування дії або обмежено або повністю виключено.

Характер вправ, їх послідовність і кількість при формуванні в учнів умінь і навичок проводити тотожні перетворення.

При створенні системи завдань при вивченні тотожних перетворень додержуються принципу – пред’явлення їх від простого до складного з урахуванням необхідності подолання учнями посильних труднощів в створенні проблемних ситуацій.

Перша серія вправ, яка спрямована на відпрацювання уміння виконувати перетворення, повинна бути повністю звільнена від усякого роду труднощів. В кожну нову серію вправ входить рівно один елемент новизни, так як засвоєння забезпечить успішний перехід до наступного етапу. Такий підхід вчителя до групування вправ дозволяє кожний етап засвоєння процедури завершити репродуктивними самостійними роботами.

Тотожні перетворення являють собою одну із основних методичних ліній шкільного курсу алгебри і алгебри і початків аналізу.

Основна задача вчителя – вироблення повноцінних навичок виконання тотожних перетворень. З цією ціллю необхідно дотримуватися таких основних умов:

  • етапність формування знань, умінь і навичок;

  • усвідомлення і запам’ятовування основних алгоритмів (правил);

  • оволодіння вміннями виконувати тотожні перетворення за зразком, в подібній або відмінній ситуації;

  • формування умінь застосовувати алгоритм в нових ситуаціях;

  • різноманітність вправ, правильний підбір і організація роботи з ним;

  • систематична і цілеспрямована робота по виявленню і попередженню типових помилок при виконанні тотожних перетворень, навчання учнів самоконтролю;

  • систематизація і узагальнення знань учнів.


Основні методичні підходи в навчанні тотожним перетворенням.
Перший - від завчання правил тотожних перетворень до вироблення умінь і навичок через велику кількість вправ. Другий – передбачає скорочення їх, розглядання суті і генезису тотожних перетворень і вдумливого виконання їх на вказаній математичній основі доведених раніше властивостей різних виразів.

Однією з основних вимог до створення методики вивчення тотожних перетворень в загальноосвітній школі є створення схем, які ілюструють зв’язок понять за темою, а також обов’язковий перелік здобутих знань. Такими схемами можуть бути наступні, вказані на відповідних рисунках.



Рис. 5.8 Зв’язок понять за темою “Тотожні перетворення

раціональних алгебраїчних виразів”.

Перелік здобутих знань.
Повинні знати:

  • алгебраїчний вираз та раціональний алгебраїчний вираз;

  • коефіцієнт; одночлен і многочлен;

  • числове значення алгебраїчного виразу; упорядкований многочлен;

  • тотожні вирази;

  • тотожні перетворення;

  • подібні члени та їх зведення;

  • функції дужок;

  • розкриття дужок та взяття в дужки;

  • степінь та дії зі степенями з натуральними показниками;

  • дії з одночленами та многочленами;

  • ділення многочлена на одночлен;

  • ділення многочлена на многочлен; формули скороченого множення;

  • розкладання многочленів на множники;

  • способи розкладання многочленів на множники;

  • алгебраїчні дроби;

  • основну властивість алгебраїчного дробу;

  • скорочення дробів;

  • зведення дробів до спільного знаменника;

  • дії з алгебраїчними дробами;

  • квадратний тричлен та виділення в ньому повного квадрата.


Уміти виконувати такі процедури: знаходження числових значень алгебраїчних виразів; зведення подібних членів та упорядкування многочленів; розкриття дужок та взяття в дужки; дії з одночленами і многочленами; алгоритм ділення многочлена на многочлен; розкладання многочленів на множники; дії з алгебраїчними дробами; тотожні перетворення алгебраїчних виразів; виділення повного квадрата з квадратного тричлена.
Перелік здобутих знань.
Повинні знати: корінь n-го степеня; арифметичний корінь n-го степеня; ірраціональні вирази; основну властивість радикала; дії з радикалами: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня; винесення множників за знак радикала; внесення множників під знак радикала; звільнення підкореневого виразу від дробу; подібність радикалів; знищення ірраціональності в знаменнику або в чисельнику дробу; формули складного радикала; степені з нульовим, від’ємними і дробовими показниками; наближення значення кореня у вигляді десяткового дробу.



Рис. 5.9 Зв’язок понять за темою “Тотожні перетворення

ірраціональних алгебраїчних виразів”
Потрібно уміти виконувати такі процедури: дії з радикалами; звільнення від ірраціональності в знаменнику або чисельнику дробу; знаходження наближеного значення кореня; розкладання суми та різниці радикалів за формулами скороченого множення.
Вказані схеми вчитель може використати в двох випадках: для уявлення обсягу вивчення тотожних перетворень в загальноосвітній школі; для проведення систематизації і узагальнення знань, умінь і навичок при заключному повторенні.

Конспект уроку з алгебри 7 клас

Тема: «Тотожні вирази. Тотожні перетворення»

Ціль. Вироблення повноцінних навичок виконання тотожних перетворень у учнів.

Тип уроку. Урок формування вмінь та навиків.
Хід уроку


  1. Перевірка домашнього завдання

Учні, вказані учителем, дають всі означення нової вивченої теми: «Тотожні вирази. Тотожні перетворення».

  1. Актуалізація опорних знань.

(Завдання завчасно записане на дошці)

  1. Чи тотожні вирази:

2а+а і 3а; 7ху-2х і 5у; -3с+9 і 9-3с;

х+2х-3х і 0; 8с-3с і 5с; 4а+х і 5ах


  1. Які з виразів; 2х-у, у-2х+3, 4(у-2х),-у+2х тотожні виразу 2х-у?




  1. Формування умінь та навиків.

Розв’язання вправ. Колективна робота.
№ 219

(Спростити вирази)

а) 2с+3с-5; б) 3х-4х+х; в) 12п-17-2п;

г) 19с-3с+8; д) 63-23р+32р; е) 4х+65-10х
№ 221

(доведіть тотожність)

а) 5х+3х+х=9х; б) 5х-3х-3=х; в) с+2с+3с=6с.
№222

(доведіть тотожність)

а) 2х+3х=х+4х; б) –а+7а=7а-а; в) 5-2а-3=2-2а.
№231

(Спростіть вираз і знайдіть його значення)

а) 12(а-3)+3(а+12), якщо а=0,2;
№ 233-235 (Спростити вирази)
№242

(Заповнити таблицю)


х

-2

-1

0

1

2



















Чи тотожні вирази і х?

№244

(Чи є тотожністю рівність)




  1. Пояснення домашнього завдання

№ 217, 218, 220, 227, 243, 246

  1. Підсумок уроку.


Конспект уроку з алгебри 7 клас

Тема: «Тотожні вирази. Тотожні перетворення»

Ціль. Вироблення повноцінних навичок виконання тотожних перетворень у учнів.

Тип уроку. Урок формування вмінь та навиків.
Хід уроку


    1. Перевірка домашнього завдання

Учні, по списку, зачитують відповіді до завдань нової вивченої теми: «Тотожні вирази. Тотожні перетворення».

2. Актуалізація опорних знань.

(Завдання завчасно записане на дошці)

1)Чи є тотожно рівними вирази:

а) а* і 5ав; б) 6х+5 і 5+6х; в) с-а і а-с;

Відповідь обґрунтувати.

  1. Назвати кілька виразів, які тотожно рівні виразу х+4 х

  2. Пояснити, на основі яких правил та яких властивостей дій здійснено такі тотожні перетворення:

-2в-(а-3в)+5а=-2в-а+3в+5а=-2в+3в-а+5а=(-2+3)*в+(-1+5)*а=в+4а.

    1. Формування умінь та навиків.

Розв’язання вправ. Колективна робота.
№ 177

(Звести подібні доданки)

а) 7с+4с-5; б) 3х-4х+х; в) 12п+72п;

г) 9с+3с-8; д) 3-2р-32р; е) 4х+5- х
№ 179

(розкрити дужки і звести подібні доданки)

а) 5(8а+9)+(4а-5); б) 2(5в-3а)-(1,5в-2а); в) -4(1,2х+1,5у)+4(1,2х+1).
№183

(довести тотожність)

а) (а+в)-(а-в)=2в; б)2(3в-4)+14-6а=6; в)2х-1-5(1-2х)=12х-6.
№190

(Записати у вигляді тотожності твердження)

а) Сума чисел і протилежного йому числа дорівнює нулю;

б) сума числа а й числа, протилежного числу в, дорівнює різниці чисел а і в.

в) квадрат числа дорівнює квадрату модуля цього числа.
№ 196 (розв’язати рівняння)

А) 2(3х-1)-3(2-х)=1; б) 0,2(у-2(у-1)+5)-2у+3=0.
№202

Довести, що сума чотирьох послідовних цілих чисел не ділиться на 4.

4. Пояснення домашнього завдання

№ 178, 180,184, 191, 197, 204.

5. Підсумок уроку.

Використана література
1. Моторіна В.Г. Технологія підготовки вчителя математики до уроку. Навч. посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних навчальних закладів. - Х.: фірма “РЦНІТ”, 1998 - 160с.

2. Моторіна В.Г. Діагностика навчання математики /Засоби навчальної та науково-дослідної роботи: Збірник наукових праць /За заг. ред. проф. С.155-159.

3. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Підручник для 7 кл. загально освіт. навч. закл. - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. – 304 с.: іл.

4. Кравчук Василь, Янченко Галина Алгебра: Підручник для 7 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2007. – 224 с.

План

1.Теоретичні основи тотожних перетворень.

2. Мета вивчення тотожних перетворень в середній школі така:

3. Етапи формування тотожностей та тотожних виразів

4. Тотожні перетворення

5. Основна задача вчителя

6. Основні методичні підходи в навчанні тотожним перетворенням.

7. (I) Конспект уроку з алгебри 7 клас

8. (II) Конспект уроку з алгебри 7 клас
скачати

© Усі права захищені
написати до нас