Задачі 1 – 2 розв'язуються усно, за готовими малюнками.
1. Прямокутний паралелепіпед, сторони основ якого 6 дм і 8 дм, вписано в циліндр з висотою 14 дм. Знайти радіус основи циліндра, площу його осьового перерізу і бічної поверхні, об'єм циліндра.
Відповідь. 5 дм, 140 дм2, 140π дм2, 350π дм3.
Н
авколо конуса, висота якого дорівнює 10
см, описано піраміду, основою якої є ромб з висотою 20 см і гострим кутом 30°. Знайти: а) кут між твірною конуса і площиною його основи;
б) площу бічної поверхні піраміди.
Відповідь. Оскільки піраміду описано навколо конуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахилені до основи під однаковими кутами. Проведемо ΜΝ (твірну конуса, або висоту бічної грані піраміди): ΜΝ
А В , ON — її проекція, отже, ON АВ (за теоремою про три перпендикуляри). ON — радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба, ON = 10 см.< ΜΝΟ — кут між твірною і основою, tg MNO =
, 
=2 · АВ · MN = 2 · 40 · 20 = 1600 (см2). Відповідь, а) 60°; б) 1600 см2.
1. Навколо циліндра, висота якого 15 см, а радіус основи 5 см, описано пряму призму. Основою призми є ромб зі стороною 12 см. Знайти площу осьового перерізу циліндра, об'єми призми і циліндра.
Розв'язання
П
рочитавши умову, учні аналізують зображення ромба, описаного навколо кола (задача 2 усних вправ). Роблять висновок, що діаметр NH не може бути паралельним сторонам AD, BC ромба (мал. до задачі 2, с. 17). Суттєвим є вибір точки N на стороні ромба, яку приймаємо за точку дотику. Вона не може бути серединою відрізка АВ, якщо ромб не є квадратом.Призму описано навколо циліндра, тому площини їх основ збігаються, довжина твірної циліндра дорівнює його висоті і довжині бічного ребра призми. Отже, АА1 = 15 см.
Висотою ромба, що лежить в основі призми, є К1М1 — діаметр кола основи циліндра.
Осьовий переріз циліндра K1KMM1 — прямокутник, КМ=10см, MM1=15см. Площа осьового перерізу S = KM·MM1 = 10 · 15 = 150 (см2). Об'єм призми обчислюємо за формулою V = SoH.
So = AD · KM =12 · 10 = 120 (см2), Vп = 120 · 15 = 1800 (см3).
Об'єм циліндра обчислюємо за формулою Vц = πr2H , де г = O1K1,
Vц = π·25·15 = 375π (см3).
Відповідь. 150см2, 1800см3, 375 π см3.
2. У конус вписано правильну трикутну піраміду. Сторона її основи дорівнює а, кут між площинами основи і бічної грані α . Знайти радіус основи, висоту, твірну, площу осьового перерізу і площу бічної поверхні конуса.
Розв'язання
Учитель звертає увагу учнів на те, що осьовий переріз даного конуса — трикутник, сторонами якого є бічне ребро піраміди, діаметр основи конуса, що проходить через основу цього бічного ребра, і твірна конуса, що проходить через інший кінець цього діаметра, а не висота або апофема піраміди.
П
іраміду вписано в конус, тому площини їх основ і вершини збігаються, МО — висота конуса і піраміди. АР BC , МР BC (за теоремою про три перпендикуляри), ВР = PC, кут між бічною гранню ВМСі основою АВС –< МРО =α.
АО=R=
.Проведемо діаметр АК і сполучимо точку Μ з точкою Κ. Δ АМК — осьовий переріз конуса, AM = МК, його площа
S =
АК· МО = АО· МО = RH .У ΔРМО (<МОР = 90°) ОР =
R =
, МО = ОР tgOPM = tgα.Площа осьового перерізу конуса
.Твірна конуса l = AM =
(з 
ΜΑΟ, <ΑΟΜ =90°).
.Площа бічної поверхні конуса
.Відповідь. R=
; Н== tgα; 
;
; 
.3. Для будівництва школи потрібно привезти 18 плит перекриття, виготовлених із залізобетону, густина якого 2200 кг/м3. Плита має вигляд прямокутного паралелепіпеда шириною 1,3 м, довжиною 4,9 м і висотою 0,2 м. У цій плиті проходять наскрізні (на всю довжину) 6 отворів, діаметр кожного з яких дорівнює 0,16 м. Скільки ходок 10-тонного автомобіля слід замовити для перевезення плит?
Зауваження. Всі обчислення виконувати за правилами дій з наближеними числами, відповідь записати натуральним числом.
Розв'язання
Маса плити обчислюється за формулою т = ρ V . Об'єм прямокутного паралелепіпеда V= 1,3 · 4,9 · 0,2
1,27 (м3). Об'єм циліндричного отвору Vц = πr2Н = 3,14 · 0,082 · 4,9
0,10 (м3). Об'єм плити дорівнює V - 6Vц . Vплити = 1,27 – 6 · 0,10 = 0,67(м3).
Маса плити т = 2200 · 0,67 = 1474 (кг)
1,5 т; 10-тонний автомобіль може перевезти 10 : 1,5 я 6 плит. Для перевезення 18 плит потрібно замовити 3 ходки.Відповідь. З ходки.
IV. Домашнє завдання.
Повторити п. 34 (Площа ортогональної проекції многокутника). Розв'язати задачі:
1. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, плоский кут при вершині — α . Визначити об'єм конуса, вписаного в піраміду.
2. У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої проведено переріз площею S, який утворює з площиною основи кут α . Знайти бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.