![]() | Ім'я файлу: Сєрий.docx Розширення: docx Розмір: 67кб. Дата: 25.11.2021 скачати Пов'язані файли: 5.docx Лаба 4_РТП_СЗІ_Кліщ Богдан.docx Лаба 5_РТП_СЗІ_Кліщ.docx Тести, статистика праці.docx Реферат Лесько П.В. Авторське право ЕЛЕП-11.docx.doc Індивідуальна нормативне.docx lab2.docx ЦЕРКВА РІЗДВА ПРЕСВЯТОЇ БОГОРОДИЦІ У САМБОРІ.docx ШАБЕЛЬКО КУРСОВА.docx Розраха.docx Сучасні методики здорового харчування.docx Звіт до БД 2.docx звіт_від_ред.docx lab_8_Kravets.docx Сенсорне виховання.doc СПЗ_ЛАБ_1.docx lab5_бд.docx Фізика5 Моя лаба.doc Вебинар англ.docx 5.docx ЛР 3 ФДП.docx Методичка до ПЗ №5-6.doc зразок РГР 2021 (1).docx курсова 1.docx Міністерство_освіти_та_науки_України_PI.docx Контрольна робота Павло Коцаба.docx Метод Баркера.docx Grej_R._S.docx знайомий реферат.docx ОКРО.docx §2. Відношення та їх властивості 41 2) Нехай відношення R зображено графом на рис. 20. Відношення R: а) не є рефлексивним, не є антирефлексивним; б) є симетричним; в) не є транзитивним. ![]() Рис. 20 3) Нехай Р – множина усіх людей. Визначимо відношення Rтак: ![]() ![]() ![]() мо зауважимо, що ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 21 Зауважимо, що вказане відношення відображає наступна булева матриця:
42 Розділ 1. МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ Легко бачити, що відношення R– антирефлек-сивне, несиметричне ( ![]() ![]() ![]() ![]() Надалі вважаємо, що ![]() Доведемо необхідні умови рефлективності та симетричності відношень. Теорема 1. ![]() ![]() Відношення R - рефлексивне тоді та лише тоді, коли відношення ![]() ![]() Доведення. ▼ Якщо ![]() ![]() Нехай тепер ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Навпаки, нехай ![]() ![]() ![]() Теорема 2. ![]() ![]() R – симетричне відношення тоді та лише тоді, коли ![]() Доведення. Необхідність ( ![]() ▼Нехай відношення R симетричне і (а;b) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Достатність ( ![]() Якщо відношення ![]() ![]() ![]() §2. Відношення та їх властивості 43 2.6. Відношення еквівалентності Означення. Відношення Rна множині А називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, си- метричне та транзитивне. Приклади. 1) (), (), ( ![]() ![]() 2) Нехай ![]() ![]() а) ![]() б) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Розглянуте в останнььому прикладі відношення еквівалент- ності називають відношенням конгруентності чисел за модулем m і замість aRb записують: ![]() Означення. Нехай ![]() ![]() ![]() Отже, ![]() ![]() ![]() Приклади. 1) Нехай A = Z, R – відношення екві- валентності, що задається наступним чином: ![]() Легко бачити, що такими класами еквіва- лентності є ![]() ![]() ![]() 44 Розділ 1. МНОЖИНИ ТА ВІДНОШЕННЯ 2) Які класи еквівалентності породжуються в множині Z відношенням конгруентності за мо- дулем 4? Клас еквівалентності елемента 0 містить всі числа bтакі, що ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, що [4] = [0], [5] = [1] і т. д. Не- важко помітити, що довільні два класи екві- валентності або не мають спільних елементів ( ![]() ![]() Отже, відношення конгруентності за модулем 4 розбиває множину Z на 4 класи еквівалент- ності: ![]() 3) Розглянемо множину ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() §2. Відношення та їх властивості 45 Теорема 3. ![]() ![]() Довільні класи еквівалентності за відношенням R або не мають спільних елементів, або збігаються. Доведення. ▼Нехай [a], [b] – два довільні фіксовані класи еквівалентнос- ті за відношенням R. Припустимо, [a] ![]() ![]() Оскільки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Означення. Розбиттям множини А називається така система множин ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 4. ![]() ![]() Довільне відношення еквівалентності, задане на мно- жині А, породжує розбиття цієї множини на класи еквівалентності. Доведення. ▼ Нехай {[a]|a ![]() ![]() Дійсно, якщо ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |