Відділ освіти Долинської РДА
| Секція «Математика» НТШ КЗ Центр дитячої та юнацької творчості Долинської районної ради |
Рівняння з параметрами
| Виконав: Коваленко Едуард Васильович учень 9 класу, слухач секції «Математика» НТШ КЗ «ЦДЮТ Долинської райради» Керівник секції «Математика» НТШ КЗ ЦДЮТ Бурлаченко Олександр Васильович |
2017 р
Зміст
Вступ…………………………………………………………..3
Розділ І. Методи розв’язування рівнянь,
що містять параметр………………………………………..3
Розділ ІІ. Способи розв’язування рівнянь
з параметрами……………………………………5
2.1. Лінійні рівняння з параметрами……………………5
2.2 Раціональні рівняння з параметрами………………7
2.3.Квадратні рівняння з параметрами………………...10
2.4.Графічний спосіб розв’язування
рівнянь з параметрами……………………………….12
2.5. Рівняння, що містять невідому й
параметр під знаком модуля……………………….. 14
Висновок……………………………………………………...16
Список використаних джерел……………………………….17
Вступ
Дана робота присвячена дослідженню розв’язування рівнянь з параметрами. Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури.
Дана тема є цікавою і важливою, оскільки охоплює питання, які залишаються актуальними і в теперішній час. Це пов’язано з тим, що кожне рівняння з параметрами представляє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких має має бути отримано рішення. Такі завдання пропонуються на різних математичних конкурсах, а також на зовнішньому незалежному оцінюванні.
Мета моєї роботи - навчитися вирішувати рівняння з параметрами і познайомити учнів із методами вирішення аналогічних завдань.
Завдання роботи:
1. Самому навчитися вирішувати рівняння з параметрами різних видів.
2. Ознайомити учнів з в спосіб вирішення аналогічних рівнянь.
3.Викликати інтерес учнів до подальшого вивченню завдань із параметрами.
Основними результатами роботи є:
розглянуті методи розв’язування рівнянь з параметрами;
наведена достатня кількість розв’язаних найпоширеніших типів рівнянь з параметрами.
Розділ І. Методи розв’язування рівнянь,
що містять параметр
Рівнянням з параметрами називається математичне рівняння, вигляд та розв'язок якого залежить від значень одного або декількох параметрів. Розв'язати рівняння з параметром означає, що потрібно навести у відповіді сімейство розв’язків відносно невідомої величини(невідомих величин) для всіх можливих розглядів сталих величин ( параметрів).
Методи розв’язування:
аналітичний;
графічний.
При розв’язуванні рівнянь аналітичним способом можна сформулювати деякі загальні положення, дотримання яких дає певні орієнтири в процесі досліджень. А саме:
Встановлюють ОДЗ змінної, а також ОДЗ параметрів.
Виражають змінну через параметри.
Для кожного допустимого значення параметра знаходять множину всіх коренів даного рівняння. Якщо параметрів кілька, то множину коренів шукають, звичайно, для певного співвідношення між параметрами.
Досліджують особливі значення параметра, при яких корені рівняння існують, але не виражаються формулами, які отримали.
Розв’язувати рівняння з параметрами графічним способом
зручно за таким алгоритмом:
Знаходимо область допустимих значень рівняння.
Виражаємо
як функцію від х.У прямокутній системі координат будуємо графік функції
=f(х) для тих значень х, які входять в область допустимих значень даного рівняння. Знаходимо точки перетину прямої
=с, де с є (-∞;+∞) з графіком функції =f(х). Якщо пряма =с перетинає графік =f(х), то знаходимо абсциси точок перетину. Для цього досить розв’язати рівняння =f(х) відносно х.Записуємо відповідь.
Розділ ІІ. Способи розв’язування рівнянь з параметрами
2.1.Розв’язування лінійних рівнянь з параметром
Для розв’язування рівнянь з параметрами слід користуватись розв’язуванням найпростішого лінійного рівняння ах =b:
1) якщо а ≠0, то при будь – якому значенні b рівняння
ах =b має єдиний корінь х =
;2) якщо а =0, b ≠0, то рівняння ах =b коренів не має;
3) якщо а =0 і b =0, то рівняння ах =b має безліч коренів.
Цей висновок можна проілюструвати за допомогою блок – схеми:
Розв’язати рівняння з параметрами означає з’ясувати, при яких значеннях параметрів рівняння має корені і знайти їх ( як правило, залежно від параметрів, тобто розв’язування рівняння повинно супроводжуватись дослідженням).
Приклад 1. Розв’язати рівняння ах - 3 = b залежно від параметрів а і b.
Розв’язання. Виконавши у рівняння ах-3 = b тотожні перетворення, дістанемо: ах = b+3.
якщо а≠0, то х =
при будь – якому b;якщо а =0, то при b= -3 рівняння набуває вигляду 0х=0, тобто коренями рівняння є всі числа;
якщо а=0 і b≠-3, дістанемо 0х = b +3 ≠0, така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.
Відповідь. 1)при а ≠0 і будь – якому b х =
; 2)при а =0 і b = -3 корені рівняння – всі числа;
3)при а=0 і b≠0 коренів немає.
Приклад 2. Розв’язати рівняння :
(а-1)(а+1)х – а -1 =0 залежно від а.
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді: (а-1)(а+1)х = а+1.
Добуток (а-1)(а+1) дорівнює нулю при а =1 або
а = -1, тому розглянемо такі випадки:
1)при а = 1 рівняння набуває вигляду 0х = 2, яке коренів не має;
2)при а = -1 дістанемо рівняння 0х =0, корені якого є всі числа;
3)при |а| ≠1 (а-1)(а+1) ≠0, тому
х =
.Відповідь: при |а| ≠1,
; при а = -1, корені рівняння – всі числа;
при а = 1 – коренів не має.
2.2 Раціональні рівняння з параметрами
Означення. Рівняння вигляду
,де f1(x), f2(x)…..fn(x), g1(x), g2(x)…..gn(x) – раціональні вирази відносно змінної х, називається раціональним.
Щоб розв’язати раціональне рівняння потрібно:
знайти спільний знаменник всіх дробів рівняння;
помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник;
розв’язати отримане рівняння;
відкинути корені, за яких спільний знаменник перетворюється в нуль.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
.Розв’язання. Маємо 2(ах-1) = 3(5х-а), звідки
(2а-15)х = 2-3а.
Якщо =
то рівняння має вигляд 0х = -
. Це рівняння, а отже, і дане рівняння не мають розв’язків.Якщо а ≠
то рівняння має єдиний корінь х = 
Визначимо при яких значеннях а знайдений корінь задовольняє рівняння, тобто знайдемо область визначення.
Область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння, визначається рівняннями:
5х-а ≠0 та ах -1 ≠0. При х =
дістанемо
Звідси10-15а -2а2+15а ≠0 та 2а-3а2-2а+15 ≠0, а≠
Відповідь: якщо а ≠
та а≠
, рівняння має єдиний корінь х = якщо а =
рівняння не має коренів.Приклад 4.Розв’язати рівняння
відносно х.Розв’язання. ОДЗ:
після зведення дробів до спільного знаменника, перейдемо до лінійного рівняння відносно х.ах + ах – х = 4а2 – 1, х(2а – 1) = 4а2 – 1.
Якщо а =
, то рівняння набуває вигляду 0∙ х = 0 і має безліч коренів.
При а ≠
х = 2а + 1. Враховуючи ОДЗ параметра, запишемо відповідь.
Відповідь. При а =
х – будь – яке число; при а ≠
, а ≠ 0; а≠ 1 х = 2а + 1; при а = 0, а = 1 коренів немає.
Приклад 5. Розв’язати рівняння:
.Розв’язання. Допустимими значеннями параметра
є ≠ 0. Областю допустимих значень невідомого х є значення х ≠ 0 і х ≠ ± 2. Помножимо обидві частини заданого рівняння на спільний знаменник дробів:
х (х2-4). Після спрощень одержимо рівняння х2 + (
– 2 ) х - 2 2 - 4 = 0, (1)яке є еквівалентним заданому при
≠ 0, х ≠ 0, х ≠ ± 2;З рівняння (1) знайдемо ті значення параметра
, за яких невідома х набуватиме значення х = 0 або х = ± 2. Підставляючи ці значення у (1) матимемо:– якщо х = 0, то
= 0 або = -2;– якщо х = 2, то
= -1 або = 0;– якщо х = -2, то
= -4 або = 1. Отже, рівняння (1) еквівалентне заданому рівнянню при
≠ 0, ≠ ± 1, ≠ -2, ≠ -4. Тому при ≠ 0, ≠ ± 1; ≠ -2, ≠ -4 корені початкового рівняння можна визначити, розв’язавши рівняння (1): х1 = -2
і х2 = + 2 при ≠ 0 ≠ ± 1, ≠ -2, ≠ -4.Розглянемо задане рівняння при
= ± 1, = -2, = -4(якщо
= 0 задане рівняння не має змісту).Якщо
= 1, то задане рівняння має тільки один корінь х = 3.Відповідно х = 1 якщо
= -1;х = 4 якщо
= -2;х = 8 якщо
= -4.Відповідь: якщо
= 1, то х = 3;якщо
= -1, то х = 1;якщо
= -2, то х = 4;якщо
= -4, то х = 8;якщо
≠ 0, ≠ ± 1, ≠ -2, ≠ -4, тох1 = -2
; х2 = + 2.Приклад 6. За яких значень k рівняння
не має дійсних коренів?Розв’язання. Очевидно, що при k= -3 і при х = k рівняння не має змісту. Нехай k ≠ -3 і х ≠k. Зведемо дроби до спільного знаменника і помножимо рівняння на цей знаменник.
Матимемо (х - k)2 = (k + 3)(k - 4).
Оскільки (х - k)2 > 0, то рівняння не має коренів, якщо
(k + 3)(k - 4)
0, тобто якщо k є 
.Відповідь: k є
.Приклад 7. При яких значеннях параметра рівняння
має один розв’язок?
Розв’язання. Областю допустимих значень рівняння є множина дійсних чисел, крім 3 і -1. На цій множині дане рівняння рівносильне рівнянню:
2х2 +х ( 1 –
) + ( – 3 ) = 0х1 = 1; х2 = 0,5 (
– 3 )Щоб задане рівняння мало тільки один корінь (х = 1) необхідно і достатньо, щоб другий корінь (х2) співпадав або з х1 або з числами 3 чи -1.
Звідси: 0,5 (
– 3 ) = 1 = 50,5 (
– 3 ) = -1 = 10,5 (
– 3 ) = 3 = 9 .Відповідь: якщо
= 5; = 1; = 9, то рівняння має один корінь.2.3 Квадратні рівняння з параметрами
Означення. Рівняння вигляду
х2+
х+с =0, де х – невідома змінна, , ,с – вирази, що залежать тільки від параметрів і ≠0, називається квадратним рівнянням з параметрами.Допустимими будемо вважати тільки ті значення параметрів, при яких
, і с – дійсні числа. У зв’язку з необхідністю виконання умови ≠0 в квадратних рівняннях доводиться розбивати розв’язування на декілька етапів вже на першому кроці.Приклад 8. Розв’язати рівняння: (
+1)х2+2 х+ -2=0.Розв’язання.
1). Якщо
+1= 0 тобто = -1, то задане рівняння буде мати вигляд: -2х – 3 = 0, тобто х =-
2). Якщо
+1≠0 ( ≠ -1), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого D=4( +2). Тому розглянемо три випадки:а) якщо D=0, тобто 4(
+2) = 0, то = -2 i х = -2;б) якщо D<0, тобто 4(
+2) < 0 ( < -2), то коренів немає;в) якщо D>0: 4(
+2) > 0; > -2 і ≠ -1, тобто-2 <
< -1 і > -1, то квадратне рівняння має два різні корені: х1=
; х2=
Відповідь: якщо
=-1, то х=- ; якщо
≠-1 і ≥-2, то х=
;Приклад 9. При яких значень параметра а рівняння
2
х2-4( +1)х+4 +1=0 має єдиний розв’язок?Розв’язання. Оскільки в умові не сказано, що рівняння є квадратним, то спочатку розглянемо випадок
=0, тобто рівняння -4х+1=0, яке має один розв’язок х =
.Решту значень а отримаємо з умови D=0:
D=16(
+1)2-4.2 . (4 +1),2
2-3 -2=0; 1= - і 2 =2.Відповідь: при а = -
або а = 0; 2.Приклад 10. Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких рівняння ( +1)х2-(1-2 )х+ +1=0 має два різні корені.Розв’язання. Оскільки за умовою задане рівняння має два різних корені, то воно є квадратним, отже,
+1≠0. Знайдемо дискримінант: D=(1-2 )2-4( +1)2 = -12 – 3.Щоб рівняння мало два різні корені, дискримінант повинен бути додатним, тобто -12
– 3 > 0, < - ( ≠-1).Тоді: х1=
х2=
Відповідь: при
є (-∞;-1)∪(-1;- ).Приклад 11. При якому значенні параметра
один з коренів рівняння х2-(2
+1)х+ 2+2=0 вдвічі більший від іншого?Розв’язання. За теоремою Вієта та умовою задачі отримуємо систему рівнянь:
Підставляючи значення х1 з третього рівняння в перше та друге, одержимо:
Отже, 2(
)2 = а2 + 2;8
2 + 8 + 2 = 9 2 + 18;а2 - 8
+ 16 = 0;(
-4)2 = 0; = 4Відповідь: при
= 4.2.4 Графічний спосіб розв’язування рівнянь з параметрами
Суть методу полягає в тому, що задачу зводять до з’ясування взаємного розташування графіків рівнянь що містять параметри по відношенню до графіків рівнянь які у своєму складі не містять параметрів. Розглянемо конкретні приклади.
Приклад 12. Скільки спільних точок мають графіки функцій у = х2 –2х + 2, у =2а + 1 залежно від параметра а ?
Розв’язання. Графіком першої функції є парабола, другої - пряма яка паралельна осі х або з нею співпадає. Вершина параболи - точка (1;1). З рисунку видно, що при 2a + 1 < 1, тобто при а < 0 графіки не мають точок перетину ; при а = 0, єдина точка перетину ; при а > 0, дві точки перетину.
x
y
y=x2-2x+2
y=2a+1
1
1
O
Приклад 13.Скільки спільних точок мають множини D1 = {(x;y):x,y є R, |x| + |y| =1}; D2 = {(x;y): x,y ∈ R, |y| = |x – a|}.
Розв’язання. Графіком першого рівняння є квадрат, другого – дві взаємно перпендикулярні прямі, що проходять через точку (а;0). З рисунку маємо: при а = -1 або а = 1 спільними для
двох множин будуть дві суміжні сторони квадрата; при -1•а•1 множини мають чотири спільні точки; при інших значеннях а множини не мають спільних точок.
у
х
1
1
-1
-1
О
а
Приклад 14. Знайти всі значення параметра а, для яких система
має рівно два розв’язки.
Розв’язання. Графіком першого х
y
О
рівняння при а≠-1 є коло,
а другого – дві паралельні прямі , які знаходяться на однаковій відстані від початку координат. Квадрат цієї відстані
дорівнює 7. Система рівнянь буде
мати два розв’язки у випадку, коли прямі
дотикаються кола, тобто коли виконується умова: 2(1+а) =14 ⇔ а = 2,5.
Відповідь: а = 2,5.
2.5 Рівняння, що містять невідому й параметр
під знаком модуля
Означення. Абсолютною величиною, або модулем, числа а (позначають|а|) називають саме число
, якщо >0, число – , якщо <0, і нуль, якщо = 0, тобто.|
| =
Основні методи розв’язування:
алгебраїчний
графічний.
Приклад 15.Розв’язати рівняння: | х –
| = 3х - 1.Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності систем:
і 
х - 3х = -1 +
-х - 3х = -1- -2х =
- 1 -4х = -1 - 
Розглянемо нерівність 3х – 1
.а) 3
б) 3
3 - 3
3 + 3 
-3
3 
Якщо
=
, то х1 =х2 =
.Відповідь:
, якщо ;
, якщо 
.Приклад 16. Розв’язати рівняння: | х +
| = | 2х – |.Розв’язання. Так як, обидві частини рівняння невід’ємні, то піднесемо їх до квадрату. Одержимо:
( х +
)2 = ( 2х – )2х2 + 2х
+ 2 = 4х2 - 4х + 2х2 - 4х2 + 2х
+ 4х = 0-3х2 + 6
х = 03х2 - 6
х = 03х ( х – 2
) = 03х = 0 або х - 2
= 0х = 0 х = 2
.Відповідь: 0; 2
.Приклад 18.Визначити кількість коренів рівняння | 2 | х | -1 | =
залежно від параметра .Розв’язання. Побудуємо графіки функцій у = | 2 | х | -1| та у =
.Проведемо дослідження за допомогою графіків.
у = .1 у =
.
у = .Відповідь: якщо
< 0, то рівняння немає коренів;якщо
= 0, то рівняння має два корені;якщо
є ( 0;1), то рівняння має чотири корені;якщо
= 1, то рівняння має три корені;якщо
> 1, то рівняння має два корені.ВИСНОВОК
Дана робота цікава тим, що знання набуті мною під час роботи знадобляться мені, як для участі у математичних конкурсах, так і в підготовці до ЗНО.
Під час виконання роботи, розглянуто основні прийоми і методи розв’язання окремих видів рівнянь з параметрами. Розглянуто розв’язки вісімнадцяти прикладів. Методи розв’язування рівнянь з параметрами поділено на дві групи: алгебраїчні і графічні. Для кожної з груп наведено основні прийоми і методи розв’язування .
Результатами даної роботи можуть користуватися учні 8-9 класів при підготовці до різних математичних конкурсів.
Список використаних джерел
1. Апостолова Г.В.,.Ясінський В. В. Перші зустрічі з параметром.- К.:ТОВ «Факт»,2004р.
2. Горнштейм П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – К.: РИА »Текст»; МП»ОКЛ», 1992.–290с.
3. Доманська І.П., Зеліско Г.В., Стахів Л.Л. Рівняння з параметрами: Методичні рекомендації.- Львів: Видавн. центр ЛДУ ім. І. Франка, 2005.
4. Кушнир И.А. Шедеври шкільної математики. т.1, т.2. –
К.: «Астарта», 1995.–510с.
5. Сержук С.В. Рівняння з параметрами // Математика в школах України,
№ 17-18, 2004.