ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 7 класів
Урок № 45, 46
Тема. Задачі на побудову
https://subject.com.ua/lesson/mathematics/geometry7/45.html
Мета: засвоїти особливості розв’язування задач на побудову, зміст понять «елементарна побудова» та алгоритми розв’язання основних задач на побудову.
Сформувати вміння:
✵ виконувати елементарні побудови із використанням лінійки та циркуля;
✵ відтворювати алгоритми розв’язання основних задач на побудову та виконувати дії, що передбачені цими алгоритмами.
Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.
Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиці.
ХІД УРОКУ
I. Організаційний момент
II. Перевірка домашнього завдання
Якщо домашнє завдання — це самостійна робота, то збираємо зошити на перевірку; для корекції — або попередньо записане на дошці, або роздане у вигляді ксерокопій правильне розв’язання задач самостійної роботи.
III. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку
На цьому етапі доречним буде слово вчителя про практичне застосування геометрії в професійній діяльності людини, наприклад для виконання креслень. Отже, цілком логічним є вивчення питання про розв’язування задач на побудову: їх особливості та способи розв’язання, види найпростіших задач.
Останнє твердження і є по суті формулюванням основної дидактичної мети уроку.
IV. Актуалізація опорних знань
Учні вже знайомі з курсу математики 5 класу з розв’язанням задачі на побудову трикутника за трьома сторонами. Тому перед вивченням нового матеріалу можна звернутись до знань і вмінь, набутих у 5 класі, і запропонувати до розв’язання задачу: «Побудуйте трикутник зі сторонами 2 см, 3 см, 4 см».
Після виконання нескладної побудови аналізуємо, які дії привели до розв’язання задачі, в чому полягає суть розв’язання задачі, чим відрізняється розв’язування цієї задачі від розв’язаних раніше.
V. Засвоєння нових знань
План вивчення нового матеріалу
1°. Що таке задача на побудову.
2°. Елементарні побудови за допомогою циркуля і лінійки.
3°. Опорні задачі на побудову та алгоритми розв’язання основних задач на побудову.
Методичний коментар
Роботу з вивчення нового матеріалу можна провести у формі самостійної роботи учнів з текстом підручника (за алгоритмом роботи з текстом) або за планом (див. вище). Головне, що повинні усвідомити учні:
1) обмеження на побудови, які можна виконувати за допомогою циркуля та лінійки (елементарні побудови);
2) розв’язанням задачі є список послідовних елементарних побудов;
3) основні задачі на побудову можна використовувати як основу для розв’язування більш складних задач, тому хід їх розв’язання слід запам’ятати.
Під час вивчення нового матеріалу звертаємося до таблиці.
Таблиця
VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу
Виконання усних вправ
1. Опишіть, як поділити:
а) даний відрізок на чотири рівні відрізки;
б) даний кут у відношенні 1 : 3.
2. Опишіть, як побудувати:
а) кут 45°; б) кут 135°.
Виконання письмових вправ
1. Дано відрізки a і b, причому a
а) 3a; б) b − a; в) a+2b.
2. Побудуйте трикутник ABC за такими даними:
а)
б) AB = 6 см, BC =10 см, AC = 8 см;
в)
3. Дано трикутник. Побудуйте всі його:
а) медіани;
б) бісектриси;
в) висоти, якщо даний трикутник гострокутний;
г) висоти, якщо даний трикутник тупокутний.
Перед виконанням побудов слід вимагати від учнів виконання аналізу побудови, зокрема, спираючись на список основних задач на побудову, з’ясувати, які із основних задач і в якому порядку слід розв’язати, а потім уже виконувати побудову.
На уроці розв’язуються найпростіші задачі на побудову (хід розв’язання яких визначається означенням або властивістю даної фігури), тому від учнів не вимагається виконувати письмово аналіз, доведення та дослідження.
VIII. Підсумки уроку
Яка із задач не є основною задачею на побудову:
а) побудова кута, що дорівнює даному;
б) побудова середини даного відрізка;
в) побудова відрізка, що вдвічі більший за даний;
г) побудова прямої, яка перпендикулярна до даної прямої?
VIII. Домашнє завдання
Домашня практична робота
1. Дано гострі кути α і β, причому α<β. Побудуйте кут із градусною мірою:
а) 0,5β; б) α+β; в) 2β−α.
2. Побудуйте трикутник ABC за такими даними:
а)
б) AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 6 см;
в)
3. Побудуйте:
а) відрізок, який дорівнює відстані між двома даними паралельними прямими;
б) дотичну, що проходить через дану точку кола.
Джерела:
1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко — Х.: Вид. група «Основа», 2007.— 208 с.
ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 7 класів
Урок № 46
Тема. Задачі на побудову
Мета: домогтися засвоєння учнями схеми розв’язання задач на побудову [метод допоміжного трикутника]; сформувати вміння виконувати дії за загальною схемою розв’язання задач на побудову, що приведуть до побудови шуканої фігури.
Тип уроку: застосування вмінь та навичок.
Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиця «Загальна схема розв’язання задач на побудову».
ХІД УРОКУ
I. Організаційний момент
II. Перевірка домашнього завдання
Зібрати аркуші із виконаною домашньою практичною роботою, прокоментувати за готовими побудовами найскладніші моменти.
III. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку
Для позитивної мотивації вчитель створює проблемну ситуацію: виконавши елементарні побудови (за допомогою циркуля та лінійки), побудувати трикутник за двома сторонами й медіаною, проведеною до однієї з них.
Ставлячи запитання (чи є дана задача основною задачею на побудову, чи можна відразу з’ясувати хід розв’язання задачі і т. д.), вчитель наштовхує учнів на думку про те, що необхідно вивчити загальну схему розв’язання цієї (подібних їй) задачі на побудову, а потім, згідно зі схемою, виконати дії, щоб отримати шукану фігуру.
Після цього вчитель формулює основну мету уроку.
IV. Актуалізація опорних знань
Запитання до класу
1. Поясніть, як побудувати трикутник із даними сторонами.
2. Поясніть, як побудувати кут,що дорівнює даному нерозгорнутому куту.
3. Поясніть, як поділити даний кут навпіл.
4. Поясніть, як провести через дану точку пряму, перпендикулярну до даної прямої.
5. Поясніть, як побудувати серединний перпендикуляр до даного відрізка.
6. Поясніть, як поділити даний відрізок навпіл.
7. Поясніть, як провести через дану точку пряму, паралельну даній прямій.
V. Засвоєння вмінь та навичок
План
1°. Робота із готовим розв’язанням задачі на побудову.
2°. Загальна схема розв’язання задач на побудову.
3°. Розв’язування задач на побудову за загальною схемою.
Методичний коментар
У 7 класі тільки починається робота із формування в учнів умінь розв’язувати задачі на побудову за загальною схемою. Тому основні зусилля слід зосередити на свідомому засвоєнні учнями схеми та на формуванні початкових умінь застосовувати схему на нескладних задачах.
Загальна схема розв’язання задач на побудову
| 1 | Аналіз | Виконання рисунка-ескіза шуканої фігури та встановлення зв ’язку між її елементами і даними задачі. Визначення плану побудови шуканої фігури |
| 2 | Побудова | Здійснення плану, розробленого в ході аналізу |
| 3 | Доведення | Обґрунтування того, що побудована фігура має задану форму, а розміри та розміщення її елементів задовольняють умову задачі |
| 4 | Дослідження | Визначення кількості розв’язків і умов існування шуканої фігури або обґрунтування неможливості її побудови |
Виконання письмових вправ
1. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою та периметром.
2. Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною та кутом при основі.
3. Побудуйте кут 60°.
VI. Підсумки уроку
Які з наведених понять не мають відношення до теми уроку? Чому?
а) Дослідження;
б) побудова;
в) синтез;
г) аналіз.
VII. Домашнє завдання
Домашня практична робота
1. Побудуйте кути 120° і 30°.
2. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою та висотою, проведеною до основи.
3. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і гострим кутом.
Джерела:
1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко — Х.: Вид. група «Основа», 2007.— 208 с.
ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 8 класів
Урок № 25
Тема. Узагальнена теорема Фалеса
Мета: сформувати в учнів поняття про відношення відрізків, пропорційні відрізки; сформувати свідоме розуміння учнями змісту теореми про пропорційні відрізки (узагальнення теореми Фалеса) та ідеї її доведення, а також можливість запису теореми у вигляді двох різних рівностей. Формувати в учнів уміння:
ad
· відтворювати зміст вивчених на уроці тверджень;
· знаходити на рисунку пропорційні відрізки;
· записувати рівність відношень пропорційних відрізків за умовою задачі для знаходження довжин невідомих відрізків;
· використовувати теорему про пропорційні відрізки для розв'язування задачі на побудову четвертого пропорційного відрізка.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Наочність та обладнання: конспект «Теорема Фалеса».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Оскільки урок є першим у другому розділі курсу геометрії 8 класу («Подібність трикутників. Теорема Піфагора»), то на цьому етапі уроку доречно буде надати учням інформацію про:
· орієнтовний план вивчення розділу;
· кількість навчальних годин, що відведено для його вивчення;
· приблизний зміст матеріалу;
· основні вимоги до знань та вмінь учнів;
· приблизний зміст завдань, що будуть винесені на контроль.
(Цю інформацію можна помістити на стенді «Довідково-інформаційний куточок» у кабінеті математики. З метою економії часу запропонувати учням для самостійного ознайомлення у позаурочний час).
ad
II. Перевірка домашнього завдання
Якщо на попередньому уроці було запропоновано учням вдома розв'язання задач контрольної роботи або корекційну роботу тощо), то правильність виконання цієї роботи вчитель перевіряє, зібравши зошити на перевірку (для оцінювання).
III. Формулювання мети і завдань уроку
Для розуміння учнями логіки вивчення матеріалу та з метою створення мотивації навчальної діяльності учнів на уроці пропонуємо їм виконати практичну роботу.
Практична робота
1. Виконайте зображення довільного відрізка АВ. За допомогою циркуля та лінійки поділіть відрізок АВ на дві частини у відношенні 2 : 3. (Точку поділу позначте літерою С). (Зауваження: під час виконання побудови використовуємо теорему Фалеса та алгоритм розв'язання задачі на поділ даного відрізка на п рівних частин.)
2. Виміряйте довжини всіх відрізків ( АВ , АС , СВ , AY , АХ , XY), що утворилися на рисунку 1.
3. Обчисліть значення часток: АС : ВС ; АС : АВ ; AY : XY; AY : АХ. Порівняйте здобуті числа. Що ви помітили? Чи можете ви пояснити здобуті результати?
@ Виконуючи побудови, що відповідають умові задачі 1, учні дістають конфігурацію, подібну до тієї, що зображена на рис. 1.
Після виконання вимірювань та обчислень відповідно до умов завдань 2 і 3 учні мають помітити, що, незалежно від довжини відрізка АВ та градусної міри кута ХАВ і незважаючи на неточність вимірювань, серед здобутих значень часток довжин утворених відрізків є рівні числа, існування яких учні не можуть пояснити. Вчитель пропонує учням порівняти рис.1 із рисунком до теореми Фалеса та знайти однакові й відмінні риси. Після виконання цієї дії учні мають помітити, що, незважаючи на певну схожість (паралельні прямі перетинають сторони кута), випадок на рис. 1 не відповідає повністю умові теореми Фалеса. Таким чином формулюється проблема. Існує необхідність узагальнення теореми Фалеса для випадку, коли паралельні прямі перетинають сторони кута, відтинаючи на одній зі сторін довільні відрізки, а також вираження залежності між здобутими відрізками в алгебраїчній формі. Розв'язування поставленої проблеми є основою метою цього уроку.
IV. Актуалізація опорних знань
Для успішного засвоєння учнями змісту понять «відношення відрізків», «пропорційні відрізки», змісту теореми про пропорційні відрізки (узагальнення теореми Фалеса) та ідеї її доведення, а також розуміння учнями можливості запису теореми у вигляді двох різних рівностей учням слід активізувати знання і вміння щодо означення та властивостей пропорції; змісту теореми Фалеса.
Виконання усних вправ
1. Серед записів:
, ab, a : b, а – b, а + b вибрати ті, які можна назвати відношенням чисел а і b . Що може показувати це відношення?2. Як називається запис
? Як називаються числа а , b , с, d у цьому запису?ad
3. Відомо, що рівність
є правильною. Які із запропонованих нижче рівностей є правильними? Чому?а) ad = bс; b)
; в) 
; г) 
; д) 
.4. а) АК : KB = 2 : 3 (рис. 2). Знайдіть: АК : АВ; ВК : АК; ВК : АВ;
б) ВК : АВ = m : n. Знайдіть АК : ВК; АК : АВ.
5. Знайдіть NH (рис. 3), якщо АВ = 10.
V. Засвоєння знань
План вивчення нового матеріалу
1. Уявлення про зміст понять «відношення відрізків»; «пропорційні відрізки».
2. Теорема про пропорційні відрізки (формулювання та ідея доведення).
3. Побудова четвертого пропорційного відрізка.
@ Як показує досвід, труднощі сприйняття змісту, а звідси застосування узагальненої теореми Фалеса, виникають тому, що учні не розуміють змісту поняття «пропорційні відрізки». Отже, вивчення нового матеріалу слід розпочинати із формування свідомого розуміння учнями поняття пропорційних відрізків із наступним закріпленням його змісту на прикладах.
За такого способу вивчення матеріалу формулювання теореми про пропорційні відрізки є простим узагальненням результатів практичної роботи, тому, перш ніж формулювати твердження теореми, учитель може запропонувати учням самостійно скласти узагальнене твердження (виходячи із рівностей, які учні здобули під час виконання практичної роботи). Вчителю слід наголосити на тому, що виконана побудова не є доведенням твердження (це лише ілюстрація теореми). Учні мають розуміти, що складене твердження має бути доведеним. Оскільки строге математичне доведення узагальненої теореми Фалеса є досить складним для учнів 8 класу, то надається лише ідея доведення твердження теореми про пропорційні відрізки із посиланням на доведену раніше теорему Фалеса. Зауважимо, що, на відміну від традиційного підручника, у новому підручнику формулюється та доводиться твердження для відрізків, які послідовно розташовані на кожній зі сторін кута (за такого підходу до формулювання теореми посилання на теорему Фалеса стає більш зрозумілим).
Що стосується пропорційності відрізків, які мають спільний кінець у вершині кута, то в новому підручнику досить оригінально доведено цей факт через застосування до раніше доведеного твердження однієї із властивостей пропорції.
Після опрацювання поняття пропорційних відрізків та формулювання і доведення теореми про пропорційні відрізки бажано на прикладах закріпити шляхом складання відповідних пропорцій за готовими рисунками розуміння учнями змісту теореми.
Якщо учні добре засвоїли теоретичний матеріал, а також демонструють розуміння змісту теореми та вміння застосовувати його на прикладах, можна на цьому уроці вивчити схему розв'язання базової задачі на побудову четвертого пропорційного відрізка.
VI. Закріплення знань, формування первинних умінь
Виконання письмових вправ
1. Визначте, чи є відрізки завдовжки а і b пропорційними відрізкам с і d , якщо:
а) а = 8 см, b = 24 см, с = 7 см, d = 12 см;
б) а = 9 см, b = 14 см, с = 7 см, d = 18 см.
2. За даними рисунка 4 знайдіть х, якщо а || b.
3. Пряма KM паралельна стороні АС трикутника ABC (рис. 5). Знайдіть відрізок MС , якщо АК = 2 см, KB = 6 см, ВМ = 9 см.
4. Пряма MN паралельна основам трапеції ABCD (рис. 6). Знайдіть сторону CD, якщо AM : AB = 4 : 5, CN = 3 см.
5. Дано відрізки а , b , с. Побудуйте відрізки: 1)
; 2) 
.6. На рис. 7 BE : ЕА = 4 : 6, BD : DC = 6 : 7. Знайдіть відношення СК : КЕ .
VII. Підсумки уроку
На якому з наведених рисунків допущено помилку в зображенні паралельних прямих а і b ?
| 1. |  | 2. |  |
| 3. |  | 4. |  |
VIII. Домашнє завдання
Вивчити теоретичний матеріал.
Розв'язати задачі.
1. За даними рисунка 8 знайдіть х, якщо а || b.
2.
2. Пряма KM паралельна стороні АС трикутника ABC (рис. 5). Знайдіть відрізок МС, якщо АК : KB = 2 : 3, ВС = 10 см.
3. Пряма MN паралельна основам трапеції ABCD (рис. 6). Знайдіть сторону АВ , якщо AM : ND = 3 : 2, CN = 2 см, AM = 9 см.
4*. Дано відрізки а , b , c. Побудуйте відрізки: а)
; б) 
.