Unit 5.INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. Read and translate the text, pay special attention to the words in bold:
Inverse trigonometric functions
The inverse trigonometric functions (occasionally called cyclometric functions) are the inverse functions of the trigonometric functions with suitably restricted domains. Обернені тригонометричні функції (іноді їх називають циклометричними функціями) є оберненими функціями до тригонометричних функцій із відповідним чином обмеженими областями.
The notations sin−1, cos−1, tan−1, etc. are often used for arcsin, arccos, arctan, etc., but this convention logically conflicts with the common semantics for expressions like sin2(x), which refer to numeric power rather than function composition, and therefore may result in confusion between multiplicative inverseandcompositional inverse. Позначення sin−1, cos−1, tan−1 тощо часто використовуються для arcsin, arccos, arctan тощо, але ця конвенція логічно суперечить загальноприйнятій семантиці для таких виразів, як sin2(x), які посилаються на числові потужність, а не композиція функції, і тому може призвести до плутанини між мультиплікативним зворотним і композиційним зворотним.In computer programming languages the functions arcsin, arccos, arctan, are usually called asin, acos, atan. Many programming languages also provide the two-argument atan2 function, which computes the arctangent of y / x given y and x, but with a range of (−π, π].
У мовах програмування функції arcsin, arccos, arctan зазвичай називаються asin, acos, atan. Багато мов програмування також надають функцію atan2 з двома аргументами, яка обчислює арктангенс y / x за заданими y і x, але з діапазоном (−π, π].
When measuring in radians, an angle of θ radians will correspond to an arc whose length is rθ, where r is the radius of the circle. Thus, in the unit circle, "the arc whose cosine is x" is the same as "the angle whose cosine is x", because the measurement of the length of the arc of the circle is the same as the measurement of the angle in radians.
При вимірюванні в радіанах кут θ радіан відповідатиме дузі, довжина якої дорівнює rθ, де r — радіус кола. Таким чином, в одиничному колі «дуга, косинус якої дорівнює x», є таким самим, як «кут, косинус якого дорівнює x», тому що вимірювання довжини дуги кола є таким самим, як вимірювання кута в радіан.
Since none of the six trigonometric functions are one-to-one, they are restricted in order to have inverse functions. Therefore the ranges of the inverse functions are proper subsets of the domains of the original functions.Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не є однозначною, вони обмежені, щоб мати зворотні функції. Тому діапазони обернених функцій є власними підмножинами областей визначення вихідних функцій.
For example, using function in the sense of multivalued functions, just as the square root function
could be defined from that y2 = x, the function y = arcsin(x) is defined so that sin(y) =x. There are multiple numbers y such that sin(y) = x; for example, sin(0) = 0, but also sin(π) = 0, sin(2π) = 0, etc. It follows that the arcsine function is multivalued: arcsin(0) = 0, but also arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, etc. When only one value is desired, the function may be restricted to its principal branch. With this restriction, for each x in the domain the expression arcsin(x) will evaluate only to a single value, called its principal value. These properties apply to all the inverse trigonometric functions. Наприклад, використовуючи функцію в сенсі багатозначних функцій, так само як функцію квадратного кореня можна визначити з того, що y2 = x, функція y = arcsin(x) визначається так, що sin(y) =x. Є кілька чисел y таких, що sin(y) = x; наприклад, sin(0) = 0, але також sin(π) = 0, sin(2π) = 0 тощо. З цього випливає, що функція арксинуса є багатозначною: arcsin(0) = 0, але також arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π тощо. Якщо потрібно лише одне значення, функція може бути обмежена її головною гілкою. З цим обмеженням для кожного x у домені вираз arcsin(x) матиме лише одне значення, яке називається його головним значенням. Ці властивості застосовуються до всіх обернених тригонометричних функцій.The principal inverses are listed in the following table. Основні зворотні фактори наведені в наступній таблиці.
| Name | Usual notation | Definition | Domain of x for real result | Range of usual principal value (radians) | Range of usual principal value (degrees) |
| arcsine | y = arcsin x | x = sin y | −1 ≤ x ≤ 1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 | −90° ≤ y ≤ 90° |
| arccosine | y = arccos x | x = cos y | −1 ≤ x ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0° ≤ y ≤ 180° |
| arctangent | y = arctan x | x = tan y | all real numbers | −π/2 < y < π/2 | −90° < y < 90° |
| arccotangent | y = arccot x | x = cot y | all real numbers | 0 < y < π | 0° < y < 180° |
| arcsecant | y = arcsec x | x = sec y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π | 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180° |
| arccosecant | y = arccsc x | x = csc y | x ≤ −1 or 1 ≤ x | −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 | -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90° |
If x is allowed to be a complex number, then the range of y applies only to its real part. Якщо x може бути комплексним числом, то діапазон y застосовується лише до його дійсної частини.
| |
3. Work in pairs. Answer the questions:
1) What is the inverse trigonometric function? (The inverse trigonometric functions (occasionally called cyclometric functions) are the inverse functions of the trigonometric functions with suitably restricted domains.)
2) How are the functions arcsin, arccos, arctan called in computer programming languages?( In computer programming languages the functions arcsin, arccos, arctan, are usually called asin, acos, atan. Many programming languages also provide the two-argument atan2 function, which computes the arctangent of y / x given y and x, but with a range of (−π, π].)
3) What are the principal inverses?( Therefore the ranges of the inverse functions are proper subsets of the domains of the original functions.)
4. Are the statements below true (T) or false (F)?
1) false The inverse trigonometric functions are the inverse functions of the algebraic functions with suitably restricted domains.
2) true Many programming languages also provide the three-argument atan2 function.
3) false When measuring in radians, an angle of θ radians will correspond to an arc whose length is rθ, where r is the diameter of the circle.
4) true Since none of the six trigonometric functions are one-to-one, they are restricted in order to have inverse functions.
5) false When only one value is desired, the function may be restricted to its principal value.
1) false Обернені тригонометричні функції є оберненими до алгебраїчних функцій з відповідним чином обмеженими областями визначення.
2) true Багато мов програмування також забезпечують функцію atan2 із трьома аргументами.
3) false При вимірюванні в радіанах кут θ радіан відповідатиме дузі, довжина якої дорівнює rθ, де r — діаметр кола.
4) true Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не є однозначною, вони обмежені, щоб мати обернені функції.
5) false Якщо потрібне лише одне значення, функція може бути обмежена своїм головним значенням.
2. Find in the text the English equivalents of the followingwords and phrases:
| обернені тригонометричні функції; | inverse trigonometric functions |
| обмежена область; | restricted domains |
| інверсія стосовно множення; | inversion in relation to multiplication |
| корінь квадратний; | square root |
| комп’ютерна мова програмування; | computer programming languages |
| довжина дуги; | arc length |
| радіус кола; | radius of the circle |
| з відношенням один до одного (1:1); | with a ratio of one to the other (1:1) |
| кратне число; | multiple |
| обмеження. | restriction |
3. Give the Ukrainian equivalents of the followingwords and phrases:
| the measurement of the angle, | вимірювання кута, |
| to correspond to, | відповідати, |
| principal value, | основна вартість, |
| the range of, | діапазон, |
| two-argument atan2 function, | функція atan2 з двома аргументами, |
| multivalued function, | багатозначна функція, |
| restricted domain, | обмежений домен, |
| length, radian, | довжина, радіан, |
| numeric power. | числова потужність. |
4. Fill in the gaps with the suitable words according to the text:
1) The inverse trigonometric functions (occasionally called cyclometric functions) are the inverse functions of the trigonometric functions with suitably restricted domains
2) When measuring in radians, an angle of θ radians will correspond to an arc whose length is rθ, where r is the radius of the circle.
3) Therefore the ranges of the inverse functions are proper subsets of the domains of the original functions
4) When only one value is desired, the function may be restricted to its principal branch.
5) If x is allowed to be a complex number, then the range of y applies only to its real part.
5. Translate into English:
1. Обернені тригонометричні функціїі – це обернені функції тригонометричних функцій з відповідно обмеженою областю. The inverse trigonometric functions are the inverse functions of the trigonometric functions with suitably restricted domains.
2. Існує шість обернених тригонометричних функцій: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс та арккосеканс. There are six inverse trigonometric functions: arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent, arcsecant, and arccosecant.
3. Функція арксинуса є багатозначною. The arcsine function is multivalued.
4. Ці властивості стосуються всіх обернених тригонометричних функцій. These properties apply to all the inverse trigonometric functions
5. Корінь квадратний даної функції
можна знайти з функції y2 = x.the square root function could be defined from that y2 = x,6. Did you know that…
Among all shapes with the same area circle has the shortest perimeter
Curves of infinite length may enclose finite areas.
Falsity implies anything.
There is order in chaos.
Sets may be thick, thin and normal.
Ви знали, що…
Серед усіх фігур з однаковою площею коло має найкоротший периметр
Криві нескінченної довжини можуть охоплювати скінченні області.
Фальшивість передбачає будь-що.
У хаосі є порядок.
Комплекти можуть бути товстими, тонкими та нормальними.
7. Enjoyyourself:
dance moves – танцювальні рухи;
crap - нісенітниця, дурниця.