Учебное пособие для факультета довузовской подготовки сгау

Составители: Е. А. Ефимов, Л. В. Коломиец
УДК 510.2(075)
Задачи с параметрами: Учебное пособие для факультета довузов- ской подготовки СГАУ /Самарский гос. аэрокосмический университет.
Сост. Е. А. Ефимов, Л. В. Коломиец. Самара, 2006, 64 с.
Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подго- товительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и само- стоятельной работы абитуриентов.
В учебное пособие включены все основные типы задач с параметра- ми, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ,
на централизованном тестировании и Едином государственном экза- мене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарско- го государственного аэрокосмического университета имени академика
С. П. Королева.
Рецензент: Е. Я. Горелова

ВВЕДЕНИЕ
Практика вступительных экзаменов по математике в вузы пока- зывает, что задачи с параметрами представляют для абитуриентов наибольшую сложность. Основная цель пособия — повысить матема- тическую подготовку абитуриентов в рамках школьного курса мате- матики.
Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неиз- вестными величинами в них фигурируют параметры, численные зна- чения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. Ответ в задачах с параметрами,
как правило, имеет развернутый вид: при конкретных значениях па- раметра ответы могут значительно различаться.
В пособии рассмотрены основные методы и идеи решения задач с параметрами. Разбираемые и предлагаемые для самостоятельно- го решения задачи подобраны в соответствии с действующими про- граммами вступительных экзаменов по математике. В основном это задачи, предлагавшиеся на конкурсных экзаменах в СГАУ за по- следние 10 лет, на централизованном тестировании (ЦТ) и Едином государственном экзамене (ЕГЭ).
Пособие охватывает важнейшие темы школьного курса математи- ки: квадратный трехчлен, функции, графики, рациональные и ирра- циональные уравнения и неравенства, системы уравнений, логариф- мические, показательные и тригонометрические уравнения и нера- венства. В ряде случаев опущены промежуточные этапы решения,
которые абитуриент может восстановить самостоятельно. К задачам для самостоятельного решения приведены ответы.
Значения параметров и искомых величин считаются дей- ствительными (вещественными). Кратные корни многочле- нов считаются одним решением, если речь идет о числе кор- ней (решений). Значения параметров, при которых задача не имеет смысла, включены в число тех значений, при ко- торых задача не имеет решений.
Методические пособие предназначено для изучения методов ре- шения задач с параметрами на подготовительных курсах СГАУ, а также будет полезно учащимся старших классов, самостоятельно го- товящихся к конкурсным экзаменам по математике.
4

1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Задача 1.1. (ЦТ) При каком значении параметра a парабола y
= 4ax
2
− 8x + 25

имеет с осью Ox две общие точки?
Решение.
Данный квадратный трехчлен имеет два различных действитель- ных корня, если выполняются условия:
½
4a 6= 0
D
4 = 16 − 100a > 0.
Решением системы является промежуток a ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 4 25 ).
Ответ:
a
∈ (−∞; 0) ∪ (0; 4 25 ).
Задача 1.2. (ЦТ) При каких значениях параметра a квадрат- ный трехчлен y
= (k−1)x
2
+(k+4)x+k+7

можно представить в виде полного квадрата?
Решение.
Квадратный трехчлен ax
2
+ bx + c можно представить в виде a
(x − x
0
)
2
,
если его корни равны x
1
= x
2
= x
0
,
т.е. D = 0. В
данном случае
D
= (k+4)
2
−4(k−1)(k+7) = 0.
Решая последнее уравнение, получим k
= −22 3
и k = 2.
Ответ:
k
= −22 3 ; k = 2.
Задача 1.3. (ЦТ) Найдите значение параметра a, при которых неравенство
(2a+1)x
2
+(a+2)x+ 3 4
>
0
выполняется при всех x.
Решение.
График квадратного трехчлена y = ax
2
+ bx + c расположен не ниже оси Ox при выполнении условий:
½
a >
0
D 6 0.
В данной задаче эти условия имеют вид
½
2a + 1 > 0
(a + 2)
2
− 3(2a + 1) 6 0.
Решением последней системы является a = 1.
Ответ:
a
= 1.
Задача 1.4. (ЦТ) При каких значениях параметра a все корни уравнения ax
2
− 2(a + 1)x + a − 3 = 0

отрицательны?
Решение.
5

При a = 0 уравнение имеет один корень x = −32, который удовлетворяет условию задачи.
Рассмотрим случай a 6= 0. Для того, чтобы оба корня уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно выполнения условий



D >
0
x
1
· x
2
>
0
x
1
+ x
2
<
0.
Применяя теорему Виета, запишем эти условия в виде:







D
4 = (a + 1)
2
− a(a − 3) > 0
x
1
· x
2
= a − 3
a
>
0
x
1
+ x
2
=
2(a + 1)
a
<
0.
Решая эту систему, находим, что a ∈ [−15; 0). Ответ задачи объеди- няет два случая.
Ответ:
a
∈ [−15; 0].
Задача 1.5. (ЦТ) При каких значениях параметра a все корни уравнения ax
2
− (2a + 1)x + 3a − 1 = 0

больше 1?
Решение.
При a = 0 уравнение имеет один корень x = −1, который требованиям задачи не удовлетворяет.
Рассмотрим случай a
6= 0. Заметим, что способ решения за- дачи 1.4. не может быть применим в данном случае, т.к. сравнение суммы и произведения корней с 1 являются необходимыми, но не достаточными условиями.
Опишем общий способ решения подобных задач. Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена f (x)=ax
2
+bx+c были больше чи- сла d, необходимо и достаточно выполнения условий (см. рис.
1
):



D >
0
x в
= −
b
2a > d a
· f(d) > 0.
Аналогично, требование того, чтобы корни были меньше числа d,
означает выполнение условий



D >
0
x в
= −
b
2a < d a
· f(d) > 0.
В данной задаче условия записываются в виде
6

-
6 0
x y
d r
x в
a >
0
-
6 0
x y
d r
x в
a <
0
Рис. 1:



(2a + 1)
2
− 4a(3a − 1) > 0 2a + 1 2a
>
1
a
(a − 2a − 1 + 3a − 1) > 0.
Решая эту систему, находим, что a ∈
³
1; 2 +
√
6 4
i
Очевидно, что тот же результат мы получили бы и решая нера- венство x
1
>
1, где x
1
— меньший корень уравнения, однако такой способ является более сложным.
Ответ:
a
∈
³
1; 2 +
√
6 4
i
Задача 1.6. При каких значениях параметра a корни x
1
и x
2
уравнения
(3a + 2)x
2
+ (a − 1)x + 4a + 3 = 0
удовлетворяют условиям x
1
<
−1 < x
2
<
1 ?
Решение.
Задача равносильна следующей: при ка-
-
6 0
x y
x
1
r x
2
r r
1
r
−1
f
(x)
Рис. 2:
ких значениях параметра a только один
(больший) корень квадратного трехчлена f
(x) = (3a+2)x
2
+(a−1)x+4a+3

принад- лежит интервалу (−1; 1), а другой корень меньше −1?
Из рис.
2
видно, что условием выполне- ния требований задачи является система
½
(3a + 2) · f(−1) < 0
(3a + 2) · f(1) > 0
⇒
⇒
½
(3a + 2)(3a + 2 − a + 1 + 4a + 3) < 0
(3a + 2)(3a + 2 + a − 1 + 4a + 3) > 0.
Решением системы является интервал a ∈ (−1; −23).
Ответ:
a
∈ (−1; −23).
7

Задача 1.7. (СГАУ) Найдите все значения параметра a, при которых неравенство x
2
−2(a−2)x+a−2 6 0
имеет решения и все они являются решениями неравенства x
2
+ 9|x| − 10 6 0 .
Решение.
Второе неравенство лучше решать гра-
-
6 0
x y
r r
1
−1
−10
Рис. 3:
фически (рис.
3
), построив график квад- ратного трехчлена y
= x
2
+ 9|x| − 10
с учетом четности функции (график сим- метричен относительно оси Oy ). Решени- ем второго неравенства является отре- зок [−1; 1].
Первое неравенство будет иметь реше- ния, если D > 0, причем, так как ветви параболы f (x) = x
2
− 2(a − 2)x + a − 2
направлены вверх, решением будет являться отрезок [x
1
; x
2
], где x
1
, x
2
— меньший и больший корни.
По условию задачи нужно записать необходимые и достаточные условия того, что [x
1
; x
2
] ∈ [−1; 1] или
½
x
1
>
−1
x
2 6
1.
Такие условия имеют вид (рис.
4
)
-
6 0
x y
r
−1
r
1
x в
f
(x)
Рис. 4:





D >
0
−1 6 x в
6 1
f
(−1) > 0
f
(1) > 0
или в данном случае







D
4 = (a − 2)
2
− (a − 2) > 0
−1 6 a − 2 6 1
f
(−1) = 1 + 2(a − 2) + a − 2 > 0
f
(1) = 1 − 2(a − 2) + a − 2 > 0
Решением системы является отрезок
£
5 3 ; 2
¤
и одна точка a = 3.
Ответ:
a
∈
£
5 3 ; 2
¤ ∪ {3}.
Задача 1.8. (СГАУ) При каких значениях параметра p отно- шение корней уравнения
2x
2
+ (p − 10)x + 6 = 0

равно 12?
Решение.
Уравнение имеет действительные корни при
D >
0,
причем,
если x
2
= 12x
1
,
то по теореме Виета составим систему
8










D
= (p − 10)
2
− 48 > 0
x
2
= 12x
1
x
1
+ x
2
= −
p
− 10 2
x
1
· x
2
= 62 = 3
⇒









p
2
− 20p + 52 > 0
x
2
= 12x
1 13x
1
=
10 − p
2 12x
2 1
= 3
Решением системы являются значения p = −3 и p = 23.
Ответ:
p
= −3; p = 23.
Задача 1.9. (СГАУ) При каких значениях параметра a уравне- ние x
4
+ (a − 5)x
2
+ (a + 2)
2
= 0

имеет ровно 4 различных действительных корня? При каких значениях параметра эти 4 корня образуют арифметическую прогрессию?
Решение.
Пологая y = x
2
,
получим квадратное уравнение y
2
+ (a − 5)y + (a + 2)
2
= 0.
Первое требование задачи будет выполнено, если это квадратное уравнение имеет 2 различных положительных корня y
1
> y
2
>
0.
Аналогично задаче 1.4 составим систему:



D >
0
y
1
+ y
2
>
0
y
1
· y
2
>
0
⇒



(a − 5)
2
− 4(a + 2)
2
>
0 5 − a > 0
(a + 2)
2
>
0
Решением системы является интервал a
∈ (−9; −2) ∪ (−2; 13).
При этих значениях параметра a корни исходного уравнения будут иметь вид
−
√
y
1
; −
√
y
2
; √y
2
; √y
1
Эти значения образуют арифметическую прогрессию, если раз- ность между ними есть постоянное число:
d
= √y
1
−
√
y
2
= √y
2
− (−
√
y
2
) = −
√
y
2
+ √y
1
Отсюда следует, что √y
1
= 3√y
2
или y
1
= 9y
2
Аналогично зада- че 1.8 составим по теореме Виета систему



y
1
= 9y
2
y
1
+ y
2
= 5 − a y
1
· y
2
= (a + 2)
2
,
решением которой являются числа a = − 5 13 и a = −5.
Ответ:
a
= − 5 13 ; a = −5.
Задача 1.10. При каких значениях параметра a уравнение x
(x
12
− ax
6
+ a
4
) = 0

имеет ровно 5 корней, образующих арифме- тическую прогрессию?
Решение.
Один из корней уравнения очевиден — это x = 0.
9

Положим y = x
6
>
0 при x 6= 0. Тогда уравнение запишется в виде f
(y) = y
2
− ay + a
4
= 0.
Это квадратное уравнение будет иметь различные положительные корни, если выполнены условия:



D
= a
2
− 4a
4
>
0
y в
= a
2 > 0
f
(0) = a
4
>
0.
Решением системы является интервал a ∈ (0; 12). Запишем те- перь условия, при которых корни исходного уравнения образуют арифметическую прогрессию. Пусть y
1
>
0
и y
2
>
0 — корни уравнения после замены. Тогда пятью корнями, образующими ариф- метическую прогрессию, будут значения x вида
−
6
py
2
;
−
6
py
1
;
0;
6
py
1
;
6
py
2
,
где для определенности считаем y
2
> y
1
>
0. Тогда, по свойству арифметической прогрессии, ее разность d
=
6
py
2
−
6
py
1
=
6
py
1
− 0,
откуда
6
py
2
= 2 6
py
1
или y
2
= 64y
1
По теореме Виета из квадратного уравнения y
2
− ay + a
4
= 0
следует:



y
1
· y
2
= a
4
y
1
+ y
2
= a y
2
= 64 y
1
Из этой системы находим y
1
= a
2 8 ;
y
2
= 8a
2
Подставляя эти значения во второе уравнение системы, приходим к равенству
8a
2
+ a
2 8 = a,
откуда a = 8 65 (значение a = 0 не удовлетворяет требованиям задачи).
Ответ:
5 корней при a ∈ (0; 12); при a =
8 65 корни образуют арифметическую прогрессию.
Задача 1.11. (ЦТ) При каких значениях параметра a графики функций y
1
= (x − 4)|x| − 1
и y
2

= a имеют 3 общие точки?
Решение.
Рассмотрим графический способ решения задачи. Построим гра- фик функции y
1
,
которая имеет вид:
y
1
=
½
x
2
− 4x − 1, если x > 0 4x − x
2
− 1, если x < 0
(рис.
5
).
Графиком y
2
= a является прямая, параллельная оси Ox. Из рис.
5
видно, что графики функций y
1
и y
2
будут иметь 3 общие точки, если a ∈ (−5; −1).
10

-
6 0
x y
−1
−5
r r
r
2 2+
√
5
y
1
=(x−4)|x|−1
y
2
=a
Рис. 5:
При a = −1 и a = −5 графики имеют 2 общие точки, при остальных значениях a — одну общую точку.
Ответ:
a
∈ (−5; −1).
Задача 1.12. (ЕГЭ) Найдите число корней уравнения
6x
2
+ 2x
3
− 18x + n = 0
в зависимости от параметра n.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
-
6 0
x y
−10
r
1 54
r
−3
y
1
y
2
=−n
Рис. 6:
2x
3
+ 6x
2
− 18x = −n.
Аналогично задаче 1.11 построим на одном чертеже графики функций y
2
= −n и схематичный график y
1
= 2x
3
+6x
2
−18x Для этого найдем производную:
y
0 1
= 6x
2
+12x−18 и критические точки x
1
= −3 и x
2
= 1.
Исследуя знаки производной, нетруд- но убедиться, что x
1
= −3 — точка максимума, а x
2
= 1 — точка ми- нимума, причем y
max
(−3) = 54;
y min
(1) = −10. Функция y
1
возрастает на интервалах (−∞; −3)
и (1; +∞) и убывает на интервале (−3; 1).
Из рис.
6
видно, что исходное уравнение имеет три корня при
−10 < −n < 54 или −54 < n < 10;
два корня при n = −54 и n
= 10;
один корень при n < −54 и n > 10.
11

Ответ:
При n
∈ (−∞; −54) ∪ (10; +∞) один корень,
при n
= −54 и n = 10
два корня,
при n
∈ (−54; 10)
три корня.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.13. (ЦТ) При каких значениях параметра a квадрат- ный трехчлен y
= ax
2
− (a + 4)x + a + 2

отрицателен при любых значениях x?
Ответ:
a <
− 4
√
3
Задача 1.14. (ЦТ) При каких значениях параметра a квад- ратный трехчлен y
= (a
2
− 1)x
2
+ 2(a − 1)x + 2

не принимает отрицательных значений?
Ответ:
(−∞; −3] ∪ [1; +∞).
Задача 1.15. (ЦТ) При каких значениях параметра a парабола y
= (a + 1)x
2

− 3ax + 4a имеет с осью Ox две общие точки?
Ответ:
(−16 7 ; −1) ∪ (−1; 0).
Задача 1.16. При каких значениях параметра a графики функ- ций y
1
= 2ax + 1 и y
2
= (a − 6)x
2
− 2

имеют только одну общую точку?
Ответ:
a
= ±6; a = 3.
Задача 1.17. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение
(a
2
− 3a + 2)x
2
− (a
2
− 5a + 4)x + a
2
− a = 0

имеет более двух корней?
Ответ:
a
= 1.
Задача 1.18. (ЦТ) При каких значениях параметра a квадрат- ный трехчлен y
= x
2
+ 2(a + 1)x + 9a − 5

можно представить в виде полного квадрата?
Ответ:
a
= 1; a = 6.
Задача 1.19. (ЦТ) При каких значениях параметра a корни квадратного трехчлена y
= ax
2

− 3x + 5 − a положительны?
Ответ:
(0; 1 2 ] ∪ [
9 2 ; 5).
Задача 1.20. (ЦТ) При каких значениях параметра a график квадратного трехчлена y
= ax
2

+ (a − 3)x + a имеет общие точки с положительной полуосью Ox ?
12

Ответ:
a
∈ (0; 1].
Задача 1.21. (ЦТ) При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения
(a − 1)x
2
+ ax + 1 = 0

отрицательны?
Ответ:
a >
1.
Задача 1.22. (ЦТ) При каких значениях параметра a оба корня уравнения
4a
2
x
2
− 8ax + 4 − 9a
2
= 0

больше 3?
Ответ:
(0; 2 9 ).
Задача 1.23. (СГАУ) Найдите все значения параметра a, при которых оба корня уравнения x
2
+ (a − 9)x + a − 1 = 0
различны и больше 1.
Ответ:
a
∈ (4,5; 5).
Задача 1.24. (СГАУ) Найдите все значения параметра a, при которых оба корня уравнения x
2
+ (a − 7)x + a + 8 = 0
различны и больше 2.
Ответ:
a
∈ (23; 1).
Задача 1.25. (ЦТ) При каких значениях параметра b корни уравнения x
2
− 3x + 2b + 3 = 0
удовлетворяют условию
5x
1
+ 3x
2
= 23 ?
Ответ:
b
= −15,5.
Задача 1.26. В уравнении x
2
− 4x + p = 0
найдите значе- ние параметра p, если известно, что сумма квадратов его корней равна 14.
Ответ:
p
= 1.
Задача 1.27. При каких значениях параметра a разность между корнями уравнения
4x
2
− 16x + a
2
− 2 = 0