ТИПИ ЗАДАЧ ТА СПОСОБИ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
У задачах, які будемо розглядати, йдеться про одну, дві або три величини. Кожну задачу можна розв’язати за діями, оперуючи заданими числовими значеннями величин. Це – арифметичний спосіб розв’язування. За умовою задачі також можна скласти рівняння і за його допомогою дістати відповідь до неї. Такий спосіб розв’язування задач називають алгебраїчним.
Задачі з однією величиною
Задача 1 . На полиці стояли книги. Після того, як з полиці взяли 12 книг, а поставили – 9 книг, книг на полиці стало 39. Скільки книг стояло на полиці спочатку?
Розв’язання. Складемо короткий запис даної задачі .
| Було | Взяли | Поставили | Стало |
| ? | 12 кн. | 9 кн. | 39кн. |
1.Арифметичний спосіб.
Кількість книг на полиці змінювали двічі.
1. Скільки книг стояло на полиці перед другою зміною?
39 – 9 = 30 (кн.).
2. Скільки книг стояло на полиці перед першою зміною?
30+12 = 42 (кн.).
Отже, спочатку на полиці стояли 42 книги.
2. Алгебраїчний спосіб.
Задачі з однойменними величинами
Задача 2, На двох полицях стоять 72 книги. Скільки книг на кожній полиці, якщо на другій полиці книг у 2 рази більше, ніж на першій?
Розв’язання. Складемо короткий) запис даних задачі.
1. Арифметичний спосіб. Якщо книги, що стоять на першій полиці, становлять 1 частину, то на другій полиці – 2 такі частини.
1. Скільки частин становлять 72 книги?
1+2 = 3 (част.).
2. Скільки книг припадає на одну частину (стоять на першій полиці)?
72 : 3 = 24 (кн.).
3. Скільки книг стоять на другій полиці?
24 ∙ 2 = 48 (кн.).
Отже, на 1 – й полиці стоять 24 книги, а на 2-й полиці – 48 книг
2. Алгебраїчний спосіб. Нехай х – кількість книг, що стоять на 1 – й полиці, тоді 2х – кількість книг, що стоять на 2-й полиці. Отримаємо рівняння: х + 2х = 72. Розв’яжемо рівняння: 3х = 72, х = 72 : 3, х = 24 (кн.) – на 1 – й полиці. 2х = 2 ∙ 24 = = 48 (кн.) – на 2-й полиці. Отже, на 1 – й полиці стоять 24 книги, а на 2-й полиці – 48 книг.
Задачі з трьома залежними величинами
До цього типу відносять задачі: 1) на вартість; 2) на роботу; 3) на рух. У них одна величина дорівнює добутку двох інших, і цю залежність можна задати формулою. Одну з таких формул ви знаєте – це формула, що виражає закон руху: s = vt. Ви також знаєте, що вартість покупки та обсяг виконаної роботи можна знайти аналогічно. Розглянемо задачі.
Задача 3. За 2 кг яблук і 3 кг груш заплатили 31 грн. Скільки коштує кілограм яблук і скільки – кілограм груш, якщо груші дорожчі за яблука на 2 грн?
Розв’язання. Складемо короткий запис даної задачі.
1. Арифметичний спосіб. Вартість покупки знаходять як добуток ціни на кількість: С = a ∙ n, де a – ціна, n – кількість, С – вартість.
1. На скільки менше коштувала q покупка, якби ціна груш була така ж, як ціна яблук?
2∙ 3 = 6 (грн).
2. Скільки коштувала б покупка, якби ціна груш була така ж, як ціна яблук?
31 – 6 = 25 (грн).
3. Скільки коштує кілограм яблук?
25 : 5 = 5 (грн).
4. Скільки коштує кілограм груш?
5 + 2 = 7 (грy).
Отже, 1 кг яблук коштує 5 грн, а 1 кг груш – 7 грн.
2. Алгебраїчний спосіб. Нехай) х – ціна 1 кг яблук, тоді х + 2 – ціна 1 кг груш. Можемо скласти рівняння: х ∙ 2 + (х + 2) ∙ 3 = 31. Розв’яжемо його: 2х + 3(х + 2) = 31, 2х + Зх + 6 = 31, 5х = 31 – 6, 5х = 25, х = 25 : 5, х = 5 (грн) – ціна 1 кг яблук. Знайдемо ціну груш: х+2 = 5+ 2=7 (грн) – ціна 1 кг груш. Отже, 1 кг яблук коштує 5 грн, а 1 кг груш – 7 грн.
Задачa 4. Необхідно виготовити 24 деталі. Один майстер може виконати завдання за 3 год. Знайдіть час, необхідний для виконання цього завдання другим майстром, якщо за годину він виготовляє на 2 деталі менше, ніж перший майстер.
Розв’язання. Складемо короткий запис даних задачі у вигляді таблиці 20.
1. Арифметичний спосіб. Обсяг виконаної роботи знаходять як добуток продуктивності праці на час: А = р ∙ t, де А – обсяг роботи, р – продуктивність праці, t – час роботи.
1. Яка продуктивність праці 1-го майстра?
24 : 3 = 8 (дет./год).
2. Яка продуктивність праці 2-го майстра?
8 – 2 = 6 (дет./год),
3. Скільки часу потрібно 2-му майстру на виконання роботи?
24: 6 = 4 (год).
Отже, для виконання завдання 2-му майстру потрібно 4 години.
2. Алгебраїчний спосіб. Нехай х 4- час, потрібний 2-му майстру на виконання роботи. Тоді: (24 : 3 – 2) ∙ х = 24. Розв’яжемо рівняння; 6х = 24, х = 24 : 6, х = 4 (год). Отже, для виконання завдання 2-му майстру потрібно 4 год.
Задача 5. Два велосипедисти одночасно виїхали назустріч один одному із сіл, відстань між якими становить 50 км. Зустрілися вони через 2 год. Перший їхав зі швидкістю 12 км/год. Знайдіть швидкість другого велосипедиста.
Розв’язання. Складемо короткий запис даної задачі.
1. Арифметичний спосіб. У задачах на рух скорочений запис може бути у вигляді графічної моделі (мал. 1).
Мал. 1
Шлях знаходять як добуток швидкості на час: s = v ∙ t, де v – швидкість, t – час, s – шлях.
1. Яку відстань проїхав 1 – й велосипедист?
12∙2 = 24 (км).
2. Яку відстань проїхав 2-й велосипедист?
50 – 24 = 26 (км).
3. З якою швидкістю їхав 2-й велосипедист?
26 : 2 = 13 (км/год).
Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.
Дану задачу можна розв’язати арифметичним способом і по – іншому.
1. Чому дорівнює швидкість зближання велосипедистів?
50 : 2 = 25 (км/год).
2. З якою швидкістю їхав 2-й велосипедист?
25 – 12= 13 (км/год).
Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.
2, Алгебраїчний спосіб. Нехай х – швидкість другого велосипедиста. Тоді: 12 ∙ 2 + х ∙ 2 =150. Розв’яжемо рівняння: 24 + 2х = 50, 2х = 50 – 24, 2х = 26, х = 26 : 2, х = 13 (км/год). Отже, швидкість другого велосипедиста 13 км/год.
Зверніть увагу:
1) при зустрічному русі швидкість зближення дорівнює сумі швидкостей учасників руху;
2) при русі в протилежних напрямах швидкість віддалення дорівнює сумі швидкостей учасників руху;
3) при русі в одному напрямі швидкість зближення (чи віддалення) дорівнює різниці швидкостей учасників руху.
Задача 6. Катер проплив 45 км за течією річки і витратив на це 3 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 15 км/год.
Розв’язання. Складемо короткий запис даної задачі.
| Рух | Швидкість | Час | Шлях |
| За течією | 15+? | 3 год | 51 км |
1. Арифметичний спосіб. 1. Чому дорівнює швидкість катера за течією?
51 : 3 = 17 (км/год).
2. Чому дорівнює швидкість течії?
17 – 15 = 2 (км/год).
Отже, швидкість течії річки 2 км/год.
2. Алгебраїчний спосіб. Нехай х – швидкість течії річки. Тоді: (15 + х) ∙ 3 = 51. Розв’яжемо рівняння: 15 + х = 51 : 3, 15 + х = 17, х = 17 – 15, х= 2 (км/год). Отже, швидкість течії річки 2 км/год.
Зверніть увагу:
1) швидкість судна за течією річки дорівнює сумі власної швидкості судна і швидкості течії річки;
2) швидкість судна проти течії річки дорівнює різниці власної швидкості судна і швидкості течії річки.