Теорема піфагора на площині та в просторі.

Виконала: Корпанюк О.М

Студентка групи 506 (з.ф.н)

Зміст

• 1.1 Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжини катетів.
• Існує три способи її доведення:
• За допомогою додаткових побудов на гіпотенузі і катетах;
• Побудувавши ВDE = ACB так, щоб В є СD;
• Побудувавши CD ┴ AB ;
• Вписавши в ABC коло;
• Побудувавши квадрат CDMN з стороною a+b ;
• Побудувавши на сторонах прямокутного трикутника АВС квадрати ;

1.2 Історичні факти походження теореми Піфагора.

• Піфагор Самосський (бл. 580–500 р.р. до н. е.) – давньогрецький математик і філософ.
• Піфагору приписують доведення теореми, яка має його ім’я. Виявляється, що вона ще до Піфагора була відома єгиптянам, вавілонянам, китайцям та індійцям.
• Німецький історик мате математики Кантор вважає, що рівність 32 + 42 = 52 була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н. е. в часи царя Аменетхета Ι.
• Властивості трикутника з сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н. е., про що засвідчує математична книга Чупей.
• Прокл, який жив у 410 – 485 р. р. у Візантії і Афінах, стверджує, що доведення в "Початках" належать самому Евкліду.
• Відомий голандський математик Ван-дер-Варден прийшов до висновку: "Заслугою перших грецьких математиків, таких, як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, а її систематизація і обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти перетворились в точну науку".

1.3 Розв’язування задач

• Задача3 (задача Леонардо Фібоначчі)
• Дві башти висотою 30 і 40 футів розташовані одна проти другої на відстані 50 футів одна від одної. Між ними знаходиться фонтан, до якого з обох башт злітають два птахи, і , пролітаючи з однаковою швидкістю, прилітають до фонтану в один і той же час. Яка відстань по горизонталі відділяє фонтан від обох башт(рис.1)?

Розв’язання задачі:

• Позначимо АЕ=х, тоді DЕ=50-х. З прямокутних трикутників ВАЕ і СDЕ за теоремою Піфагора маємо : ВЕ2=АЕ2+АВ2, СЕ2=DЕ2+DС2.За умовою ВЕ=ЕС, тоді маємо АЕ2+АВ2= DЕ2+DС2, х2+402=(50-х)2+302, х2+1600=2500-100х+х2+900, 100х=1800, х=18, DЕ=50-18=32. Отже, АЕ=18 футів, DЕ=32 фути.

2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

• Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарно ортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, а тетраедр – прямокутним.
• Теорема (стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратів площ решти граней.

Доведення теореми Піфагора в просторі:

Існує 11 методів доведення теореми Піфагора в просторі. Пропоную розглянути один із них, який на мою думку є найбільш цікавим:

• Теорему Піфагора для прямокутного тетраедра можна розглядати як наслідок теореми косинусів для довільного тетраедра, яка формулюється так: квадрат площі будь-якої грані тетраедра дорівнює сумі квадратів площ інших граней без подвоєних добутків площ цих граней, взятих попарно, на косинус двогранних кутів між ними, тобто:

=++-2cos-2cos-2cos

Продовження доведення теореми Піфагора в просторі: