Ім'я файлу: Лекція 9.docx
Розширення: docx
Розмір: 28кб.
Дата: 24.05.2020
скачати
Пов'язані файли:
Pyvovar.docx

Заняття о 10.30

Ідентифікатор 793 5287 6512

Пароль  4vCe7x

Теорема 11.3 (Віталі). Нехай – послідовність інтегрованих функцій, які збігаються до функції майже всюди по мірі на . Якщо і має одностайно абсолютно неперервні інтеграли, то і



Доведення. Зафіксуємо і нехай при деякому виконується (10.4). Із теореми 8.2 випливає, що . Отже, для множин знайдеться таке, що для всіх . За умовою (10.4), при для всіх . За теоремою Фату . Отже, для всіх



Оскільки , то звідси випливає, що
Теорема 11.4 (Лебега про мажоровану збіжність). Нехай – простір з повною мірою , і вимірні розширені функції , , задовольняють умови:

  1. на ;

  2. : , , .

Тоді , , і мають місце



та



Доведення. Функція вимірна як границя -вимірних функцій (з урахуванням повноти міри). Здійснивши граничний перехід у 2, одержимо . Звідки, з урахуванням властивостей 3 та 6 інтеграла Лебега та леми 10.3, маємо .

Легко бачити, що . Застосувавши теорему Фату, одержимо





Тут ми скористались рівністю
(11.3)

Далі, оскільки , то , а, отже,



До послідовностей , застосуємо теорему Фату. З урахуванням леми 10.1, маємо:



і



Звідки,



і, з урахуванням (11.3)



Отже,


12.1. Альтернативні означення інтеграла Лебега



Розглянемо інші означення інтеграла Лебега, які зустрічаються у літературі з теорії міри.

Означення 12.1. Нехай простір з мірою, і – вимірна і невід’ємна на розширена функція, а послідовність простих невід'ємних функцій, таких що , , .

Інтегралом Лебега від по множині називається величина



Еквівалентність означень 9.2 та 12.1 випливає із теореми 10.1. Як і в означенні 9.3, у загальному випадку



Для множини скінченної міри існує ще одне еквівалентне означення інтеграла Лебега [5]:

Означення 12.2.Вимірна функція називається інтегрованою на множині , , якщо існує послідовність простих інтегрованих на функцій , що рівномірно збігаються до і тоді



Для того, щоб означення 12.2 було коректним, потрібно виконання таких умов:

  1. Границя існує для будь-якої послідовності простих функцій , які рівномірно збігаються до на .

  2. При заданій ця границя не залежить від вибору .

  3. При означення 12.2 еквівалентне означенню 9.1.

Для доведення 1 досить скористатися властивостями 1-3 інтегралу від простих функцій



Для доведення 2 припустимо, що для послідовностей простих функцій і , які збігаються рівномір до на . Розглянемо послідовність таку, що , , . Легко бачити, що ця послідовність рівномірно збігається до на і при цьому не має границі, що суперечить 1.

Для виконання умови 3 досить розглянути послідовність , .

Для означення інтегралу по множині нескінченної міри розглядається простір з -скінченною мірою (див. лекція 3).

Послідовність множин , , називається вичерпною, якщо зобразити у вигляді зліченного об’єднання множин скінченної міри:


скачати

© Усі права захищені
написати до нас