Ім'я файлу: LaTex.docx
Розширення: docx
Розмір: 62кб.
Дата: 17.01.2021

Для градієнта знайдено розв’язання в точці отримуємо значення . Прирівнюючи його експериментально встановленому значенню термічного градієнта біля поверхні Землі , приходимо до рівності , що містить початкову температуру u, температуру схолонувши за час t, поверхні , коефіцієнт температуропровідності і сам час відшукання t1 першочергово розжареної до температури u1 Землі. Підставляючи в цю рівність значення (температура плавлення горних порід), , а також значення , що відповідає середньому експериментальному оприділяючому коефіцієнту температуропровідності, отримаємо для продовження процесу охолодження Землі значення . Таке представлення про вік Землі не погоджується з геологічними даними: . До останнього значення можна наблизитися, уточнюючи математичну модель охолодження Землі безпосередньо введенням в рівняння (110) джерел тепла, обумовлених радіоактивним розпадом [4]. Однак для такої точної задачі важко використовувати перетворення Больцмана.

Повертаючись до крайової задачі для нелінійного рівняння (109), відмітимо, що функція в тих випадках, коли її не вдається знайти аналітично, може бути знайдена за допомогою чисельного інтегрування. Розглянемо в якості прикладу, випадок лінійної залежності від u:
. Початково-краєва задача про розігрів на півпростору з такою залежністю коефіцієнта теплопровідності від температури записується у вигляді:



де – постійний коефіцієнт температуропровідності. Після попередньої зміни масштабу часу і шкала значень температури перетворення Больцмана , трансформує початково-краєву задачу (115) в доточкову краєву задачу



відносно функції .

На рисунку12.2 наведено результати чисельного розв’язання цієї кураєвої задачі для різних значень параметра [I].

2. Загальне перетворення подібності

В ряді випадків для нелінійного диференціального рівняння часткових похідних з двома незалежними змінними

(117)

вдається отримати сім’ю розв’язків способом приведення їх до звичайних диференціальних рівнянь за допомогою одночасного перетворення незалежних до залежних змінних:

(118)

Тут А і В – довільні постійні, а g, h, k, p i f – функції, підібрані як розв’язок нелінійних диференціальних рівнянь. Розглянуте вище перетворення Больцманає частковим випадком такого перетворення
. Нарівні з перетворенням незалежних змінних це перетворення включає також розділення змінних. На прикладі квазілінійного рівняння теплопровідності ми бачили, як перетворення Больцмана трансформує рівняння в частинні похідні і в звичайне нелінійне диференціальне рівняння. Нижче розглянемо випадки, коли загальне перетворення подібності (118) дозволяє досягнути такої ж мети.

а) Теплові хвилі

При випромінюванні високотемпературних процесів необхідно враховувати залежність коефіцієнтів теплоємності і теплопровідності від температури. Потужність теплових джерел можить також залежати від температури, якщо наприклад, тепло виділяється в процесі хімічної реакції. В результаті отримаємо для опису розповсюдження тепла квазілінійне рівняння теплопровідності

(119)

де густина рідини ρ прийнята рівно.одиниці. В загальному випадку

.

В неоднорідному середовищі λ і с можуть бути розривними функціями аргументів x i u (для різних речей залежність λ, с від температури залежна). Рівняння виду (119) зустрічається також при вивченні проникнення магнітного поля в середовище, магнітна проникність якого залежить від магнітного поля. За допомогою спеціального функціонального перетворення рівняння (119) приводиться до одного із видів

або . (120)

Так, наприклад перетвореня Кіргофа зворотне йому перетворення трансформує рівняння (119) в друге рівняння (120) з .

Якщо коефіцієнт теплопровідності є степеневою функцією температури – – а коефіцієнт теплопровідності с постійний, то розв’язання початково-краєвої задачі

. (121)

можна отримати скориставшись загальним перетворенням подібності (118). Справді, спираючись , де , отримуємо



, (122)

в силу чого рівняння (121) набуває вигляду

. (123)

Покладаючись в цьому рівнянні , після скорочення на приходимо до звичайного диференціального рівняння для :

. (124)

Дане рівняння потрібно інтегрувати при краєвих умовах , що витікають із початково-краєвих умов (121) в результаті застосування розглянутого перетворення подібності. У випадку краєва задача для рівняння (124) переписується у вигляді

. (125)

де . Нарешті, покладаючи , отримаємо нелінійне рівняння другого порядку

. (126)

Розв’язок цього рівняння, задовольняє краєвій умові , відповідно шукати у вигляді . Так як при цьому , тому, покладаючи , перепишемо рівняння (126) у вигляді частинним розв’язком якого є . Оскільки , то даний розв’язок, очевидний суттєво лише на інтервалі . Щоб отримати розв’язок краєвої задачі (125) на всій півосі , необхідно додатково розглянути краєву задачу

(127)

з краєвою умовою , отримуємо по неперервності із розв’язку . Але в силу даної умови із диференціального рівняння (127) слідує, що , а також всі вищі похідні при рівні нулю. Тому розв’язок можливо бути продовжено на полу вісь
лише тотожним нулем:

Отже, розв’язок краєвої задачі (125) має вигляд . Повертаючись до старих змінних x, t i u, отримаємо розв’язок вихідної початково-краєвої задачі (121) при
:

(128)

Даний розв’язок визначає теплову хвилю, що розповсюджується з кінечною швидкістю , що залежить від степені не лінійності коефіцієнта теплопровідності , а також величин і . Для значень параметрів
розв’язок (128) наведено на рисунку 12.3. Щвидкість розповсюдження теплової хвилі в даному випадку дорівнює 5 . Якщо , то , рівняння (121) в границі стає лінійним, а швидкість розповсюдження теплової хвилі . Незвичайне для процесів розповсюдження тепла кінечне значення швидкості розповсюдження с обумовлюється виключно залежністю коефіцієнта теплопровідності λ від температури u, тобто квазілінійністю вихідного рівняння (121).

в) Рівняння прикордонного слою для стаціонарної площини течії

Розглянемо встановлену течію в’язкої не закипаючої рідини над нерухомою площиною . Будемо вважати,що течія є плоскою, тобто компоненти швидкості n і v не залежать від координати x: , третя компонента швидкості . Крім цього будемо припускати відомим значення швидкості течії на достатньо великій відстані від нерухомої площини . Практично можна вважати, що , де – відома функція x.

Основні рівняння такої течії рідини складаються із одного рівняння Нав’є-Стокса і рівняння неперервності

(129)

де v – кінематична густина. Її потрібно інтегрувати при краєвих умовах , перші два з яких виражають умову прилипання рідини до нерухомої площини . Приведення диференціального рівняння і краєві умови слугують математичною моделлю для опису граничного слою, що виникає при обтікання тіл в одномірному направленому потоці в’язкої незжимної рідини.

Із введенням функції потоку з допомогою відношень друге рівняння (129) виконується автоматично, а рівняння Нав’є-Стокса набуває вигляду

(130)

Нашою першочерговою задачею є перетворення цього рівняння в звичайне диференціальне рівняння. Для цього будемо намагатися об’єднати незалежні змінні x і y одну незалежну змінну η, а також представимо шукану функцію ψ у вигляді (118).

В подальшому зручно перейти до безрозмірних величин, вводячи і розглядаючи характеристичні величини швидкості довжина потоку L, а також число Рейнольдца . В якості нової незалежної змінної приймемо безрозмірну величину , де – підлягає визначенню функції. Замість x будемо розглядати безрозмірну незалежну змінну . Нарешті, залежну змінну шукати у вигляді [9]

, (131)

де – підлягаюча визначенню функція.

Використовуючи представлення для η і ψ, а також , компоненти швидкості



(132)



так як

. (133)

Для другої і третьої похідної , що входять в рівняння (130) аналогічно отримуємо:

, (134)



Підставляючи (132) – (134) в рівняння (130), отримаємо



Після множення (135) на відмінний від нуля множник перегрупування членів остаточно отримаємо

(136)

де

. (137)

Рівняння (136) перетворюється в звичайне диференціальне рівняння

(138)

якщо вважати, що не залежить від , а від x тобто є постійними величинами. Це означає, що , а звідси випливає рівність нулю і права частина рівняння (136). Друга умова намагається задовольняти відповідним підбором що знаходяться в нашому розпорядження функцій . Із (137) легко знайти що

(139)

Якщо , що можливо, оскільки постійні і в нашому розпорядженні, то інтегруючи друге рівняння (139) і відображаючи не існуючу постійну змінну, отримуємо

(140)

Перше рівняння (139) при цьому переписується у вигляді

(141)

Або в силу визначення у вигляді

(142)

Інтегруючи останнє, отримуємо

(143)

Де с – стала інтегрування. Виключаючи із рівнянь (140) і (143), отримуємо можливий вигляд функції

(144)

при умові, що . Так як в силу (144)

(145)

то шукану функцію остаточно можна переписати у вигляді

(146)

де є функція вигляду (144). До визначення (146) безпосередньо приводить і відношення (140), що містить .

Проведені обчислення дозволять завершити, що свідчення нелінійного рівняння з частковими похідними (129) до нелінійного звичайного рівняння (138) за допомогою загального перетворення подібності (131) можливо лише для степеневих функцій вигляду (144), що містять довільні сталі . Додатковийінтерес презентує залежність додаткової функції , що входить в перетворення (131), від характеру течії на , тобто від . Звісно, отримане в результаті застосування загального перетворення подібності рівняння (138) є нелінійним і відносно складним. Вперше воно було виведено В. М. Фокнером і Сільвією Скан [9] (дивіться додаткову літературу до лекції 12).

Повертаючись до кураєвої задачі для рівнянь (129) - (130), відмітимо що перетворення краєвих умов для u і v краєві умови для не викликає труднощів і втілюється за допомогою формул (132). Із (132), покладаючи , отримуємо в силу краєвих умов для u і v, що , а при . Остаточно для визначення отримуємо краєву задачу

. (147)

Ця краєва задача займає одне із центральних місць в теорії прикордонного слою для стаціонарної плоскої течії. Її дослідження присвячена надзвичайно широка література [9].

Із рівнянь (137) слідує, що без обмеження дійсності можна прийняти . Дальше, для фізичного обґрунтування швидкості зручно ввести нові постійні .

При цьому формула (144) для швидкості потенціальної течії перетворюється до вигляду , а перетворення подібності для незалежної змінної y і функції потоку приймає вигляд [9]

. (148)

Складові швидкості u і v визначається через за формулою

. (149)

Функція визначається як розв’язання краєвої задачі (147) з .

Потенційна течія з виникаєпри обтіканні клинка з кутом розчину . Течія над площиною і обтікання плоских пластин відповідає частковий випадок обтікання клиноподібного тіла з і [9]. В останньому випадку для отримуємо краєву задачу

. (150)

Аналітичний розв’язок цієї задачі було отримано Г. Блазиусом за допомогою розкладу в степеневий ряд в околі точки асимптотного розкладу для великих і наступного піднесення в деякий підходящий чином вибраний в точці . Достатньо повні табличні значення були отримані чисельним інтегруванням рівняння Блазиуса (150) за способом Рунге-Кута.

У випадку , який може бути використаний як випадок плоскої течії в звужуючому каналі з плоскими стінками (течія зі стоком), перетворення подібності

(151)

Трансформує рівняння (130)в рівняння для [9]:

. (152)

Приєднані до цього рівняння граничні умови витікають із умов для
і . При цій умові приводить до двох умов і , якщо врахувати, що .

Умова виконується автоматично.

Рівняння (151) можна отримати із рівняння (138), прийнявши . Розглянутий частковий випадокє одним із тих рідких випадків, коли диференціальне рівняння прикордонного шару інтегрується в замкнутій формі. Дісно, помноживши рівняння (151) на і про інтегрувавши його один раз, отримаємо , де a є сталою інтегрування. В силу краєвих умов очевидно, що . Покладаючи , отримуємо , а після інтегрування із врахуванням умови маємо

(153)

Дозволивши це рівняння відносно F і враховуючи, що знаходимо

. (154)

Значення функції в розглянутому випадку не потрібне.
Література

  1. А.Н.Тихонов, А. А. Самарський, Рівняння математичної фізики, Держтехвидання, М., 1996.

  2. W.P. Ames, Monlinear partial differential equations in engineering, v.1. Academic Press, New-York-London, 1965.

  3. W.F.Ames Monlinear partial differential equations in engineering, v.11. Academic Press, New-York-London, 1972.

  4. Г. Карслоу, Д. Егер, Теплопровідність твердих тіл, “Наука”, М. 1964.

  5. Р. Курант, К. Фрідрікс, Надзвукові течії і ударні хвилі, М., 1961.

  6. Л. І. Сідов, Плоскі задачі гідродинаміки і аеродинаміки. М. –Л.,1950

  7. Л. М. Мілн-Томсон, Теоретична гідродинаміка, “Світ”, М., 1964.

  8. G. E. Forsythe, W. R. Wasow, Finite Difference Methods for

  9. Partial Differential Equations, Wiley, New-York, 1960.

  10. Г. Шліхтинг, Теорія прикордонного шару, “Наука”, М., 1974.

скачати

© Усі права захищені
написати до нас