Тема «Моделі систем масового обслуговування»

Ім'я файлу: Тема 7.docx
Розширення: docx
Розмір: 177кб.
Дата: 30.09.2021
скачати
Пов'язані файли:
Уроки з наскрізними лініями.doc
COVID19 практическая.docx
1-29_об'єднані!!!.docx
Практична робота №4, 3-А ЛС(11).pdf

Тема 7. «Моделі систем масового обслуговування»

Основи знань про черги, іноді називані теорією черг або теорією масового обслуговування, становлять важливу частину теорії управління виробництвом. Черги - звичайне явище. Вони можуть носити форму очікування ремонту автомобіля в центрі автосервісу або очікування студентами консультації в професора. У таблиці перераховані деякі приклади виникнення черг у системах масового обслуговування:

Ситуація	Очікуючі у черзі	Процес обслуговування
Супермаркет	Покупці	Прийом касиром платні
		за покупки
Приймальня лікаря	Пацієнти	Прийом лікарем
Комп’ютер	Комютерні програми	Виконання	програм
		процесором
Телефонна компанія	Абоненти	Виконання	заказів на
		міжміські переговори

Моделі черг (як і лінійне програмування, моделі управління запасами, методи мережного аналізу проектів) використовуються й у сфері управління матеріальним виробництвом, і в сфері обслуговування. Аналіз черг у термінах довжини черги, середнього часу очікування, середнього часу обслуговування й інших факторів допомагає нам краще зрозуміти принципи організації системи обслуговування. Очікування пацієнта в приймальні лікаря й очікування лагодження зламаного дриля в ремонтній майстерні мають багато загального з погляду управління процесом обслуговування. Обидва процеси використовують людські ресурси й ресурси встаткування для задоволення потреб клієнтів.

Професійний менеджер, ухвалюючи рішення щодо удосконалюванні системи масового обслуговування, оцінює зміни, що виникають у витратах на функціонування системи й у витратах, пов'язаних з очікуванням клієнтів. Можна найняти велика кількість співробітників, які будуть швидко обслуговувати клієнтів. Так, адміністратор супермаркету може зменшити черги в каси, збільшуючи у години-пік кількість продавців і касирів. Для роботи в касах банків або аеропортів у години-пік можуть бути притягнуті додаткові співробітники. Однак зниження часу очікування звичайно сполучено з витратами на створення й оснащення робочих місць, з оплатою праці додаткового персоналу. Ці витрати можуть бути досить значні.

Можна заощадити на трудовитратах. Але тоді клієнт може не дочекатися обслуговування або втратити бажання повернутися ще раз. В останньому випадку система масового обслуговування буде зазнавати втрат, які можна назвати витратами очікування. У деяких системах обслуговування, наприклад у швидкій допомозі, витрати, пов'язані із тривалим очікуванням, можуть виявитися надзвичайно високими. Основний економічний принцип

66

удосконалювання систем масового обслуговування складається в оцінці загальних очікуваних витрат, що включають витрати на обслуговування й втрати, які несе система в результаті очікування клієнта.

Після того як ви виконаєте завдання, пропоновані в цьому розділі, ви будете вміти визначати й використовувати для економічного аналізу наступні поняття:

•система масового обслуговування;

•заявка;

•черга;

•темп надходження заявок;

•темп обслуговування;

•середній час, що заявка проводить у черзі;

•середня довжина черги;

•середній час, що заявка проводить у системі обслуговування;

•середнє число клієнтів у системі обслуговування;

•витрати функціонування системи обслуговування;

•витрати очікування.

Теоретичні відомості Класифікаційні ознаки систем масового обслуговування.

У системах масового обслуговування розрізняють три основних етапи, які проходить кожна заявка:

1)поява заявки на вході в систему;

2)проходження черги;

3)процес обслуговування, після якого заявка залишає систему.

На кожному етапі використовуються певні характеристики, які варто обговорити перш, ніж будувати математичні моделі.

Характеристики входу:

1)число заявок на вході (розмір популяції);

2)режим надходження заявок у систему обслуговування;

3)поводження клієнтів.

Число заявок на вході. Число потенційно можливих заявок (розмір популяції) може вважатися або нескінченним (необмежена популяція), або кінцевим (обмежена популяція). Якщо число заявок, що надійшли на вхід системи з моменту початку процесу обслуговування до будь-якого заданого моменту часу, є лише малою частиною потенційно можливого числа клієнтів, популяція на вході розглядається як необмежена. Приклади необмежених популяцій: автомобілі, що проходять через пропускні пункти на швидкісних дорогах, покупці в супермаркеті й т.п. У більшості моделей черг на вході розглядаються саме необмежені популяції.

Якщо кількість заявок, які можуть надійти в систему, порівняно із числом заявок, що вже перебувають у системі масового обслуговування, популяція вважається обмеженою. Приклад обмеженої популяції: комп'ютери, що належать конкретної організації й надходять на обслуговування в ремонтну майстерню.

Режим надходження заявок, у систему обслуговування. Заявки можуть надходити в систему обслуговування відповідно до певного графіка (наприклад, один пацієнт на прийом до стоматолога кожні 15 хв, один автомобіль на конвеєрі кожні 20 хв) або випадковим образом. Появи клієнтів вважаються випадковими, якщо вони незалежні друг від друга й точно непередбачені. Часто в задачах масового обслуговування число появ в одиницю часу може бути оцінене за допомогою пуассонівського розподілу ймовірностей. При заданому темпі надходження (наприклад, два клієнти в годину або чотири вантажівки у хвилину) дискретний розподіл Пуассона описується наступною формулою:

де р (х) — ймовірність надходження х заявок в одиницю часу;

х— число заявок в одиницю часу;

λ — середнє число заявок в одиницю часу (темп надходження заявок); е = 2,7182 - основа натурального логарифма.

Відповідні значення ймовірностей р(х) неважко визначити за допомогою таблиці пуассонівського розподілу. Якщо, наприклад, середній темп надходження заявок - два клієнти в годину, то ймовірність того, що протягом години в систему не надійде ні однієї заявки, дорівнює 0,135, ймовірність появи однієї заявки - близько 0,27, двох - також близько 0,27, три заявки можуть з'явитися з ймовірністю 0,18, чотири - з ймовірністю близько 0,09 і т.д. Ймовірність того, що за годину в систему надійдуть 9 заявок або більше, близька нулю.

На практиці ймовірності появи заявок, зрозуміло, не завжди підкоряються пуассонівському розподілу (вони можуть мати якийсь інший розподіл). Тому потрібно проводити попередні дослідження для того, щоб перевірити, що пуассонівський розподіл може служити гарною апроксимацією.

Поводження клієнтів. Більшість моделей черг ґрунтується на припущенні, що поводження клієнтів є стандартним, тобто кожна вступник у систему заявка встає в чергу, чекає обслуговування й не залишає систему доти, поки її не обслужать. Інакше кажучи, клієнт (людина або машина), що встала в чергу, чекає доти, поки він не буде обслужений, не залишає черга й не переходить із однієї черги в іншу.

Життя значно складніше. На практиці клієнти можуть покинути чергутому, що вона виявилася занадто довгою. Може виникнути й інша ситуація: клієнти чекають своєї черги, але з якихось причин ідуть необслуженими. Ці випадки також є предметом теорії масового обслуговування, однак тут не розглядаються.

Характеристики черги:

1)довжина;

2)правило обслуговування.

Довжина черги. Довжина може бути обмежена або не обмежена. Довжина черги (черга) обмежена, якщо вона за якимись причинами (наприклад, через фізичні обмеження) не може збільшуватися нескінченно. Якщо черга досягає свого максимального розміру, то наступна заявка в систему не допускається й відбувається відмова. Довжина черги не обмежена, якщо в черзі може перебувати будь-яке число заявок. Наприклад, черга автомобілів на бензозаправці.

Правило обслуговування. Більшість реальних систем використовує правило «першим прийшов — першим пішов» (FIFO — first in, first out). У деяких випадках, наприклад у прийомному спокої лікарні, на додаток до цього правила можуть установлюватися різні пріоритети. Пацієнт із інфарктом у критичному стані, очевидно, буде мати пріоритет в обслуговуванні в порівнянні з пацієнтом, що зламав палець. Порядок запуску комп'ютерних програм - інший приклад установлення пріоритетів в обслуговуванні.

Характеристики процесу обслуговування:

1)конфігурація системи обслуговування (число каналів і число фаз обслуговування);

2)режим обслуговування.

Конфігурація системи обслуговування. Системи обслуговування різняться по числу каналів обслуговування. Звичайна кількість каналів можна визначити як число клієнтів, обслуговування яких може бути почате одночасно, наприклад: число майстрів у перукарні. Приклади одноканальної системи обслуговування: банк, у якому відкрите єдине віконце для обслуговування клієнтів, або ресторан, що обслуговує клієнтів в автомобілях. Якщо ж у банку відкрито кілька віконець для обслуговування, клієнт очікує в загальній черзі й підходить до першому вікну, що звільнилося, то ми маємо справу із багатоканальної однофазовою системою обслуговування. Більшість банків, також, як поштові відділення й авіапарки, є багатоканальними системами обслуговування.

Інша характеристика — число фаз (або послідовних етапів) обслуговування одного клієнта. Однофазовими є такі системи, у яких клієнт обслуговується в одному пункті (на одному робочому місці), потім залишає систему. Ресторан для обслуговування автомобілів, у якому офіціант одержує гроші й приносить замовлення в автомобіль, являє приклад однофазової системи. Якщо ж у ресторані потрібно зробити замовлення в одному місці, оплатити його в іншому й одержати їжу в третьому, то ми маємо справу із багатофазовою (три фази) системою обслуговування.

На мал. 1 наведені системи обслуговування різної конфігурації.

Режим обслуговування. Як і режим надходження заявок, режим обслуговування може характеризуватися або постійним, або випадковим часом обслуговування. При постійному часі на обслуговування будь-якого клієнта затрачається однаковий час. Така ситуація може спостерігатися на автоматичній мийці автомобілів. Однак більш часто зустрічаються ситуації, коли час обслуговування має випадковий розподіл. У багатьох випадках можна припустити, що час обслуговування підкоряється експонентному розподілу з функцією розподілу

F(τ) = p(t< τ) =1 – е–τµ, де р (t < τ) — ймовірність того, що фактичний час t обслуговування заявки не перевищить заданої величини τ;

( - середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу; е = 2,7182 - підстава натурального логарифма.

Рис. 1

Параметри моделей черг. При аналізі систем масового обслуговування використовуються технічні й економічні характеристики.

Найбільше часто використовуються наступні технічні характеристики:

1)середній час, що клієнт проводить у черзі;

2)середня довжина черги;

3)середній час, що клієнт проводить у системі обслуговування (час очікування плюс час обслуговування);

4)середнє число клієнтів у системі обслуговування;

5)ймовірність того, що система обслуговування виявиться незайнятою;

6)ймовірність певного числа клієнтів у системі.

Серед економічних характеристик найбільший інтерес уявляють наступні:

1)витрати очікування в черзі;

2)витрати очікування в системі;

3)витрати обслуговування.

Моделі систем масового обслуговування. Залежно від сполучення наведених вище характеристик можуть розглядатися різні моделі систем масового обслуговування.

Тут ми ознайомимося з декількома найбільш відомими моделями. Всі вони мають наступні загальні характеристики:

а) пуассонівський розподіл ймовірностей надходження заявок; б) стандартне поводження клієнтів;

в) правило обслуговування FIFO (першим прийшов — першим обслужений);

г) єдина фаза обслуговування.

I. Модель А — модель одноканальної системи масового обслуговування

М/М/1 з пуассонівським вхідним потоком заявок і експонентним часом обслуговування.

Найбільше часто зустрічаються задачі масового обслуговування з єдиним каналом. У цьому випадку клієнти формують одну чергу до єдиного пункту обслуговування. Припустимо, що для систем цього типу виконуються наступні умови:

1.Заявки обслуговуються за принципом «першим прийшов — першим обслужений» (FIFO), причому кожний клієнт очікує своєї черги до кінця незалежно від довжини черги.

2.Появи заявок є незалежними подіями, однак середнє число заявок, що надходять в одиницю часу, незмінно.

3.Процес надходження заявок описується пуассонівським розподілом, причому заявки надходять із необмеженої множини.

4.Час обслуговування описується експонентним розподілом ймовірностей.

5.Темп обслуговування вище темпу надходження заявок.

Нехай ( - число заявок в одиницю часу; ( - число клієнтів, що обслуговуються в одиницю часу; п — число заявок у системі.

Тоді система масового обслуговування описується рівняннями, наведеними нижче.

Формули для опису системи М/М/1:

— середнє число клієнтів у системі;

- середній час обслуговування одного клієнта в системі (час очікування плюс час обслуговування);

- середнє число клієнтів у черзі;

- середній час очікування клієнта в черзі;

- характеристика завантаженості системи (доля часу, протягом якого система зайнята обслуговуванням);

- ймовірність відсутності заявок у системі;

— ймовірність того, що в системі перебуває більш ніж

kзаявок.

II. Модель В — багатоканальна система обслуговування M/M/S. У багатоканальній системі для обслуговування відкриті два канали або більш. Передбачається, що клієнти очікують у загальній черзі й звертаються в перший канал, що звільнився, обслуговування.

Приклад такої багатоканальної однофазової системи можна побачити в багатьох банках: із загальної черги клієнти звертаються в перше віконце, що звільнилося, для обслуговування.

У багатоканальної системі потік заявок підкоряється пуассонівському закону, а час обслуговування — експонентному. Прихожий першим обслуговується першим, і всі канали обслуговування працюють в однаковому темпі. Формули, що описують модель В, досить складні для використання. Для розрахунку параметрів багатоканальної системи обслуговування зручно використовувати відповідне програмне забезпечення.

Для багатоканальної системи з необмеженою чергою повинне

r

виконуватися умова n < 1, де r — параметр завантаження системи (середнє число зайнятих каналів), п — мінімальна кількість каналів, при якому черга не буде рости нескінченно. У противному випадку граничні ймовірності існувати не можуть.

Формули для опису системи M/M/S:

— ймовірність того, що система вільна;

— ймовірність того, що в системі перебуває п заявок;

- ймовірність того, що заявка виявиться в черзі;

72

- середнє число зайнятих каналів;

- середнє число заявок у черзі;

- середнє число заявок у системі;

- час знаходження заявки в черзі;

- час знаходження заявки в системі.

III. Модель С— модель із постійним часом обслуговування M/D/1. Деякі системи мають постійне, а не експоненційно розподілений час

обслуговування. У таких системах клієнти обслуговуються протягом фіксованого періоду часу, як, наприклад, на автоматичній мийці автомобілів. Для моделі С с постійним темпом обслуговування значення величин Lq і Wq удвічі менше, ніж відповідні значення в моделі А, що має змінний темп обслуговування.

Формули, що описують модель ІЗ:

— середня довжина черги;

- середній час очікування в черзі;

- середнє число клієнтів у системі;

- середній час очікування в системі. IV. Модель D — модель із обмеженою популяцією.

Якщо число потенційних клієнтів системи обслуговування обмежено, ми маємо справу зі спеціальною моделлю. Таке завдання може виникнути, наприклад, якщо мова йде про обслуговування устаткування фабрики, що має п'ять верстатів.

Особливість цієї моделі в порівнянні із трьома розглянутими раніше в тім, що існує взаємозалежність між довжиною черги й темпом надходження заявок.

V. Модель Е — модель із обмеженою чергою. Модель відрізняється від попередніх тем, що число місць у черзі обмежено. У цьому випадку заявка, що прибула в систему, коли всі канали й місця в черзі зайняті, залишає систему необслугованою, тобто одержує відмову.

Як окремий випадок моделі з обмеженою чергою можна розглядати модель із відмовами, якщо кількість місць у черзі скоротити до нуля.

Порівняльна характеристика різних моделей систем масового обслуговування наведена в наступній таблиці:

Мо-	Назва (технічне	Приклад	Число	Числ	Розподілення	Розподілення	Кіль-	Порядок
дель	найменування)		каналів	о фаз	часу	часу	кість	проходже-
					надходження	обслуговуван	клієнтів	ння черги
А	Проста система	Довідкове				Экспоненці-	Необме-	FIFO
А	Проста система	бюро в	Один	Одна	Пуассонівське	Экспоненці-	Необме-	FIFO
	(M/M/I)	магазині				альне	жене
		магазині

В	Многоканальна	Касы аэро-	Декіль	Одна	Пуассонівське	Экспоненці-	Необме-	FIFO
В	система	Касы аэро-	Декіль	Одна	Пуассонівське	Экспоненці-	Необме-	FIFO
	(M/M/S)	флоту	ко			альне	жене
	(M/M/S)
С	Рівномірне	Автомати-	Один	Одна	Пуассонівське	Постій-не	Необме-	FIFO
С	обслуговування	Автомати-	Один	Одна	Пуассонівське	Постій-не	Необме-	FIFO
	(M/D/I)	чна мийка					жене
	(M/D/I)
	Обмежана по-	Літаки				Экспоненці-	Обмеже
D	Обмежана по-	невеликої	Один	Одна	Пуассонівське	Экспоненці-	Обмеже	FIFO
	пуляцыя	авіакомпа				альне	не
		нії
	Обмежана	Кількість	Декіль			Экспоненці-	Обмеже
Е	Обмежана	посадкови		Одна	Пуассонівське			FIFO
Е	довжина	посадкови		Одна	Пуассонівське			FIFO
	черги	х місць в	ко			альне	не
	черги	перукарні
		перукарні

Приклад 1. Обслуговування автомобілів.

Механік автосервісу може замінити масло в середньому в трьох автомобілях протягом години (тобто в середньому на одному автомобілі за 20 хв). Час обслуговування підкоряється експонентному закону. Клієнти, що бідують у цій послузі, приїжджають у середньому по двох у годину, відповідно до пуассонівського розподілу. Клієнти обслуговуються в порядку прибуття, і їхнє число не обмежене. Розрахуйте основні характеристики системи обслуговування.

Рішення. На основі вихідних даних одержуємо:

( = 2 машини в годину - кількість машин, що надходять протягом години; ( = 3 машини в годину - кількість машин, що обслуговуються протягом

години;

машини - середня кількість машин, що перебувають у системі;

- середній час очікування в системі;

машини - середня кількість машин, що очікують у черзі;

- середній час очікування в

черзі;

- доля часу, протягом якого механік зайнятий;

- ймовірність того, що в системі немає жодного клієнта.

Ймовірності того, що в системі перебуває більш ніж k машин:

Примітка. При k = 0 значення ймовірності дорівнює 1 – P0;

при k = 1 існує 44,4% шансів на те, що в системі перебуває більше однієї машини, і т.д.

Приклад 2. Зіставлення витрат.

Після того як ми одержали основні характеристики системи обслуговування, часто буває корисним провести її економічний аналіз. Як ми вже відзначали, задачам менеджера є зіставлення зростаючих витрат на поліпшення обслуговування й витрат, що знижуються, пов'язаних з очікуванням. Розглянемо цей випадок, доповнивши умову приклада 1.

Власник автосервісу встановив, що витрати, пов'язані з очікуванням, виражаються в зниженні попиту внаслідок незадоволеності клієнтів і рівні 100 грн. за годину очікування в черзі. Визначите загальні витрати функціонування автосервісу.

Рішення. Тому що в середньому кожна машина очікує в черзі 2/3 години (Wq) і в день обслуговується приблизно 16 машин (λ8 = 2 машини в годину

протягом 8-вартового робочого дня), загальне число годин, що проводять у черзі всі клієнти, дорівнює

Отже, витрати, пов'язані з очікуванням, становлять

100 *10 23 =1066 грн в день

Інша важлива складова витрат власника автосервісу - зарплата механіка. Припустимо, що він одержує 70 грн. у годину, або 560 грн. у день. Отже, загальні витрати становлять

1066 + 560 = 1626 грн. день.

Приклад 3. Утилізація відходів.

Компанія «Утиль» збирає й утилізує алюмінієві відходи й скляні пляшки. Водії автомобілів, що доставляють сировину для вторинної переробки, очікують у черзі на розвантаження в середньому 15 хв. Час простою водія й автомобіля оцінюється в 600 грн. у годину.

Новий автоматичний компактор може обслуговувати контейнеровози з постійним темпом 12 машин у годину (5 хв на одну машину). Час прибуття контейнеровозів підкоряється пуассонівському закону з параметром ( = 8 автомобілів у годину. Якщо новий компактор буде використовуватися, то амортизаційні витрати складуть 0,3 тис. грн. на один контейнеровоз. Чи варто використовувати компактор?

Рішення. Витрати на простій одного автомобіля в черзі за одну їздку в системі без компактора становлять

W q * 6 = 14 * 6 =1,5 тис.грн

У системі з компактором час очікування в черзі при ( = 8 автомобілів у годину й ( = 12 автомобілів у годину буде дорівнює

Витрати на простій автомобіля в черзі в цьому випадку складуть

W q * 6 = 112 * 6 = 0,5 тис.грн

Скорочення часу простою привело до скорочення витрат на простій одного автомобіля за одну їздку на суму в 1,5 - 0,5 = 1 тис. грн.

За умови, що витрати по експлуатації компактора на один контейнеровоз становлять 0,3 тис. грн., загальні витрати складуть 0,5 + 0,3 = 0,8 тис. грн.

Система з компактором дає економію в 1,5 - 0,8 = 0,7 тис. грн. Таким чином, компактор використовувати треба.

Тести для самоконтролю

Задача 1. Одна робітниця обслуговує тридцять ткацьких верстатів, забезпечуючи їхній запуск після розриву нитки. Модель такої системи масового обслуговування можна охарактеризувати як:

1) багатоканальну однофазову з обмеженою популяцією;

2)одноканальну однофазову з необмеженою популяцією;

3)одноканальну багатофазову з обмеженою популяцією;

4)одноканальну однофазову з обмеженою популяцією;

5)багатоканальну однофазову з необмеженою популяцією.

Задача 2. У теорії масового обслуговування для опису найпростішого потоку заявок, що надходять на вхід системи, використовується розподіл ймовірностей:

1)нормальне;

2)експонентне;

3)пуассонівське;

4)біноміальне;

5)ніщо з вищевказаного не є вірним.

Задача 3. У теорії масового обслуговування передбачається, що кількість заявок у популяції є:

1)фіксованим або змінним;

2)обмеженим або необмеженим;

3)відомим або невідомим;

4)випадковим або детермінованим;

5)ніщо з вищевказаного не є вірним.

Задача 4. Двома основними параметрами, які визначають конфігурацію системи масового обслуговування, є:

1)темп надходження й темп обслуговування;

2)довжина черги й правило обслуговування;

3)розподіл часу між заявками й розподіл часу обслуговування;

4)число каналів і число фаз обслуговування;

5)ніщо з вищевказаного не є вірним.

Задача 5. У теорії масового обслуговування для опису часу, затрачуваного на обслуговування заявок, звичайно використовується розподіл ймовірностей:

1) нормальне;

2)експонентне;

3)пуассонівське;

4)біноміальне;

5)ніщо з вищевказаного не є вірним.

Задача 6. Ремонт комп'ютерів, що вийшли з ладу, на економічному факультеті здійснюють три фахівці, що працюють одночасно й незалежно друг від друга. Модель такої системи масового обслуговування можна охарактеризувати як:

1)багатоканальну з обмеженою популяцією;

2)одноканальну з необмеженою популяцією;

3)одноканальну з обмеженою популяцією;

4)одноканальну з обмеженою чергою;

5)багатоканальну з необмеженою популяцією.

Задачі для розв’язування

Задача 1. Система банку «Автодор» дозволяє клієнтові робити деякі банківські операції, не виходячи з машини. Ранком у робочі дні прибуває в середньому 24 клієнта в годину. Прибуття клієнтів описується законом Пуассона. Час обслуговування розподілений експоненціально із середньою швидкістю обслуговування 36 клієнтів у годину.

Визначите наступні характеристики системи: середнє число клієнтів у черзі; середнє число клієнтів у системі; середній час очікування;

середній час, що клієнт проводить у системі. Визначити:

1.Скільки клієнтів у середньому прибуває за 5 хв?

2.Які ймовірності того, що рівно 0, 1, 2, 3 клієнта прибудуть за 5 хв?

3.Якщо протягом 5 хв прибуває більше 3 клієнтів, то виникає проблема перевантаженості системи. Яка ймовірність виникнення такої проблеми?

4.Які ймовірності того, що час обслуговування складе: а) не більше 1 хв; б) не більше 2 хв; в) більше 2 хв?

5.Яка ймовірність того, що клієнтові, що прибуває, потрібно чекати обслуговування?

6.Які ймовірності того, що в системі перебуває: а) 0 клієнтів; б) 3 клієнта; в) більше 3 клієнтів?

Задача 2. Автосервіс вирішив найняти механіка для того, щоб він міняв старі покришки на нові. На це місце є два кандидати. Один з них має обмежений досвід і може бути найнятий за 7 дол. у годину. Очікується, що цей механік зможе обслуговувати 3 клієнта в годину. Інший механік більше досвідчений, він у стані обслужити 4 клієнта в годину, але його можна найняти на роботу за 10 дол. у годину. Клієнти прибувають зі швидкістю 2 клієнти в годину. Компанія оцінює витрати по очікуванню клієнтами своєї черги в 15 дол.

угодину. Припускаючи пуассонівський розподіл прибуття й експонентне - час обслуговування, визначите:

середній час, що клієнт проводить у черзі; середню довжину черги;

середній час, що клієнт проводить у системі обслуговування; середнє число клієнтів у системі обслуговування;

ймовірність того, що система обслуговування виявиться вільною за умовами наймання одного або іншого механіка.

Визначити:

1.Якого механіка варто найняти, щоб забезпечити менші сукупні

витрати?

2.Які мінімальні сукупні витрати?

Задача 3. «АйПетрі» - маленький магазин з одним прилавком. Припустимо, що покупці прибувають у магазин за законом Пуассона із середньою швидкістю 15 покупців у годину. Час обслуговування розподілений

экспоненціально, середня швидкість обслуговування - 20 покупців у годину. Розрахуйте:

середній час, що покупець проводить у черзі; середню довжину черги; середній час, що покупець проводить у магазині; середнє число покупців у магазині;

ймовірність того, що в магазині не виявиться покупців.

Власник магазина встановив, що витрати, пов'язані з очікуванням, виражаються в зниженні попиту й рівні 2 дол. за одну годину очікування. Він вирішив обмежити середній час очікування обслуговування п'ятьма хвилинами. Можна спробувати досягти цього, реалізувавши одну з наступних альтернатив:

А. Найняти продавця, який би виконував замовлення, у той час як касир розраховується з покупцем (годинна оплати кожного — 3 дол.). Це дозволить збільшити середню швидкість обслуговування до 30 покупців на годину.

В. Найняти другого касира (годинна оплати — 3 дол.), тим самим створивши в магазині двоканальну чергу (середня швидкість обслуговування — 20 клієнтів у годину для кожного працівника).

Визначити: Яку альтернативу варто вибрати?

Задача 4. У верхньому плині Дніпра побудована нова станція по обслуговуванню річкових судів. Суди прибувають за законом Пуассона із середньою швидкістю 5 судів на годину. Час обслуговування розподілений экспоненціально із середньою швидкістю обслуговування 10 судів на годину. У середньому витрати по простої річкового судна становлять 100 дол./год, а витрати по обслуговуванню доку - 75 дол./ч.

Визначити:

1.Яка ймовірність того, що док буде порожній?

2.Яке середнє число судів у черзі?

3.Яке середній час очікування обслуговування?

4.Яке середній час перебування в доці?

5.Адміністрація станції розглядає можливість введення в лад ще одного доку з тією же швидкістю обслуговування. Є чи в цьому необхідність?

Задача 5. «Велика кишеня» - невеликий супермаркет в одному з районів міста. Покупці прибувають у магазин за законом Пуассона із середньою швидкістю 15 чоловік у годину. На виході із супермаркету працює один касовий апарат, і обслуговує його один касир. Час, витрачений на розрахунки із клієнтом, розподілене експоненціально й у середньому дорівнює 3 хв.

Власник магазина вирішив придбати другий касовий апарат з метою скорочення часу, проведеного клієнтами в черзі, для чого необхідно найняти другого касира. Годинна оплати касира - 2 дол. Витрати, пов'язані з очікуванням

учерзі, приводять до зниження споживчого попиту й оцінюються в середньому в 3 дол. за годину.

Визначити:

1.Чи є необхідність у придбанні другого касового апарата з погляду економічного ефекту? (Амортизаційні відрахування від придбаного касового

апарата й витрати на його обслуговування зневажно малі, тому в розрахунках їх можна не враховувати.)

2. Придбання третього касового апарата приведе до подальшого скорочення черги, але є чи в цьому необхідність із погляду економічного ефекту?

Задача 6. Підприємство швидкого харчування обслуговує клієнтів, що прибувають на автомашинах за законом Пуассона із середньою швидкістю 24 машини в годину. Час обслуговування розподілений експоненціально. Клієнти роблять своє замовлення, а потім від'їжджають, щоб оплатити й одержати замовлене. Щогодини, що клієнт проводить у черзі, оцінюється в 25 дол. Оплата службовцем дорівнює 6,5 дол. На годину. Крім зарплати для забезпечення роботи кожного з каналів треба витрачати 20 дол. у годину.

Розглядаються наступні можливі конфігурації системи:

А. Одноканальна система з одним що служить, виконуючі замовлення й приймає оплату. Середній час обслуговування клієнта - 2 хв.

В. Одноканальна система з одним службовцем, що виконує замовлення, і іншим службовцем, що приймає оплату. Середній час обслуговування - 1,25 хв.

С. Двоканальна система із двома службовцями, кожний з яких виконує замовлення й приймає оплату. Середній час обслуговування - 2 хв для кожного з службовців.

Для кожної конфігурації системи визначите: ймовірність того, що в системі немає машин; середнє число машин у черзі; середній час очікування обслуговування; середній час перебування в системі; середнє число машин у системі;

ймовірність того, що знову прибулій машині прийде чекати. Визначити: Який з варіантів вимагає менших витрат?

Задача 7. Механіки компанії «Автосервіс» прибувають на головний склад за запчастинами із середньою швидкістю 4 механіки у хвилину. Зараз на складі один працівник. Кожний механік у середньому перебуває на складі 4 хв. Знайдіть:

середнє число клієнтів у системі; середній час обслуговування одного клієнта в системі; середнє число клієнтів у черзі.

Досвід використання двох працівників на складі показав, що час очікування механіком своєї черги знизилося. Визначите для двоканальної системи:

середнє число клієнтів у системі; середній час обслуговування одного клієнта в системі; середнє число клієнтів у черзі.

Механік одержує 1200 грн. у годину, а працівник відділу запчастин - 720 грн. у годину.

Визначити: Яка із двох систем (одноканальна або двоканальна) більше економічна?

Задача 8. Автоматична мийка машин може обслужити 10 машин на годину. Машини прибувають за законом Пуассона із середньою швидкістю 24 автомашини за 8-вартовий робочий день. Система одноканальна.

Визначити:

1.Чому дорівнює середнє число автомобілів у черзі?

2.Чому дорівнює середній час очікування?

3.Яку частину робочого часу система зайнята?

Задача 9. Компанія «Жалюзі додому» вирішила довести число своїх машин до 8. Президент компанії цікавиться, чи варто в цьому випадку наймати на роботу другого механіка в допомогу до одного наявного. Середня швидкість прибуття на ремонт дорівнює 0,05 рази на годину для кожної машини, середня швидкість обслуговування - 0,5 машини на годину. Кожний механік одержує 20 дол. у годину, а вартість простою машини становить 80 дол. на годину.

Розрахуйте наступні операційні характеристики, якщо компанія залишає єдиного механіка:

ймовірність того, що всі машини працюють і механік простоює; середнє число машин, що очікують ремонту,; середнє число машин у системі (машини в черзі й на обслуговуванні); середній час очікування початку ремонту;

середній час знаходження в системі (очікування й ремонт). Використовуючи комп'ютерну програму, розрахуйте ті ж характеристики

для випадку із двома механіками.

Визначити: Скільки механіків варто найняти з економічної точки зору? Задача 10. У розпорядженні магазина перебуває 10 вантажівок.

Вантажівки прибувають у магазин у випадковому порядку протягом дня для навантаження-розвантаження. Кожна вантажівка прибуває на обслуговування двічі за 8-вартовий робочий день. Середня швидкість обслуговування - 4 вантажівки в годину. Потік вантажівок описується пуассонівським розподілом, час обслуговування - експонентним. Визначите:

ймовірність того, що жодна вантажівка не очікує навантаженнярозвантаження;

середнє число вантажівок у черзі; середнє число вантажівок біля магазина (вантажівки в черзі й на

навантаження-розвантаження); середній час очікування в черзі.

Задача: Які витрати варті по функціонуванню системи, якщо в годину витрати на кожну вантажівку рівні 50 дол., а на роботу з вантажівками - 30 дол.?
скачати