Тема 3 Системи рівнянь з трьома змінними Визначники третього порядку

Ім'я файлу: СВ_3_СистРівнянь3зм.doc
Розширення: doc
Розмір: 482кб.
Дата: 01.05.2023
скачати
Пов'язані файли:
які води входять до складну водних ресурсів країни.docx
Ілона реферат.docx

Алгебра і теорія чисел. Аналітична геометрія

Елементи лінійної алгебри

Модуль 1

Тема 1.3.2. Системи рівнянь з трьома змінними

Визначники третього порядку.
Розв’язування системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за формулами Крамера.
Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

1. Визначником n-го порядку квадратної числової матриці А порядку п називають число, яке знаходиться з елементів матриці А за певним правилом і позначають |А|, або ∆, або det A.

Правило знаходження визначника 3-го порядку:

Визначник третього порядку знаходять за формулою

₍₁₎

Кожен доданок у правій частині (1) має 3 множники з різних рядків та стовпців. Три перших доданка із знаком (+) є добутками елементів головної діагоналі і елементів вершин трикутників з основами паралельними головній діагоналі (дивись схему малюнок 1 ). Три останні доданки у правій частині (5) мають від'ємний знак. Вони є добутками елементів неголовної діагоналі та елементів вершин трикутників із основами паралельними неголовній діагоналі (мал. 1 ).

Мал. 1.

Ця схема обчислення визначника третього порядку називається правилом Саруса. Існують також інші схеми обчислення визначника 3-го порядку.

Приклад 1. Обчислити визначник

Розв'язування. Згідно з формулою (1) одержимо

Для обчислення визначників порядку п > 3 використовують алгебраїчні доповнення.

Означення 1. Мінором M_ij елемента a_ij визначника п-го порядку називається визначник (п - 1) порядку, який одержуємо з визначника |А| шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент a_ij.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням А_ij елемента a_ij визначника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1)^i+j , тобто (6)

Приклад 2. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів a₂₁ та a₃₃ визначника

Розв'язування. Алгебраїчні доповнення до елементів a₂₁ та a₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно. Згідно з означенням 4

; (2)

Мінори M₂₁ та M₃₃ знайдемо згідно з означенням 3:

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (2), одержимо шукані алгебраїчні доповнення А₂₁= -13 та А₃₃= 5.

Тепер можемо сформулювати правило обчислення визначника п –го порядку.

Правило. Визначник п-го порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

У випадку використання і-го рядка це правило математично можна записати так

(3)
Рівність (3) називають розкладом визначника за елементами і-го рядка. Визначник можна розкласти і за елементами k-го стовпця (k = 1, 2, ..., n).

Отже, обчислення визначника п-го порядку зводиться до обчислення визначників (п - 1) порядку шляхом розкладу визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Приклад 3. Знайти визначники третього порядку:

а)

;

б)

в)

2. Теорема. Система n рівнянь з n невідомими, визначник якої відмінний від 0, завжди має розв’язок і притому єдиний. Він знаходиться таким чином: значення кожного з невідомих дорівнює дробу, знаменник якого є визначник системи, а чисельник отримується з визначника системи заміною стовпця коефіцієнтів при вихідному невідомому на стовпець вільних членів.

Нехай дано систему n лінійних рівнянь з n – невідомими .

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃+ … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃+ … + a_2nx_n = b₂

………………………………….

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃+ … + a_nnx_n = b_n
Запишемо основну матрицю і матрицю-стовпець вільних членів

a₁₁ a_{12 . . .}a_1n b₁

a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

A = …………… , B = …

a_n1a_n2 . . . a_nn b_n
Визначник основної матриці

a₁₁ a_{12 . . .}a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………

a_n1a_n2 . . . a_nn
Нехай

Запишемо визначники матриць, отримані з основної, заміною відповідно першого, другого, n- го стовпців стовпцем вільних членів.

b₁ a_{12 . . .}a_1n a₁₁ b₁ a_1na₁₁ a_{12 . . .}b₁

 X ₁= b₂ a₂₁ … a_2n X ₂= a₂₁ b₂ a_{2n ……..} X _n = a₂₁ a₂₂ … b₂

…… ……… … ……… ……………

b_na_n2 . . . a_nn a_n1b_n a_nn a_n1a_n2 . . . b_n

Тоді формули Крамера для розв’язку системи n-лінійних рівнянь з n – невідомими запишуться так

x₁ ₌ X ₁_,x₂ ₌ X ₂_{, ….. ,}x_n ₌ X _n

  

або x_i ₌ X _I_, де i = 1,2,…, n.

1) Якщо  =0 і хоча б один з визначників Х _і відмінний від 0, то система не має розв’язків і є несумісна.

2) Якщо  =0 і всі Х _і =0, то система має безліч розв’язків або жодного.

Приклад 1.

3x + 2y + z = 3

5x - 2y – 2z = 3

x + y – z = -2

Р

озв’язування .

3 2 1

= 5 -2 -2 = 3 · (-2) · (-1) + 2 · (-2) · 1 + 5 · 1 · 1 – 1 · (-2) · 1 – 2 · 5 · (-1) – 1· (-2) · 3 =

1 1 -1 = 6 – 4 +5 + 2 + 10 +6 = 25

3 2 1

_x= 3 -2 -2 =3 · (-2) · (-1) + 2 · (-2) · (-2) + 3 · 1 · 1 – 1 ·(- 2) · (-2) –2 · 3 · (-1) –1 ·

-2 1 -1 (-2)·3= 6 +8 +3 -4 +6 +6 = 25

3 3 1

_y= 5 3 -2 = 3 · 3 · (-1) + 3 · (-2) · 1 + 5 · (-2) · 1 – 1 · 3 · 1 – (-2) · (-2) · 3 – 3 · 5 · (-1) =

1 -2 -1 = -9 – 6 -10 -3 -12 + 15 = - 25

3 2 3

_z= 5 -2 3 = 3 · (-2) · (-2) + 2 · 3 · 1 + 5 · 1 · 3 – 3 · (-2) · 1 – 3 · 1 · 3 – 2 · 5 · (-2) =

1 1 -2 = 12 +6 +15 +6 -9 +20 = 50
За формулами Крамера маємо :

X = _x/ = 1 ; y=_y/ = -1 ; z = _z/ = 2
Приклад 2. Розв’язати систему за формулами Крамера:

1)

розв’язок дістанемо за формулами, маємо:

3. При розв’язуванні систем лінійних рівнянь використовують також метод Гаусса (метод послідовного виключення невідомих). Він полягає в наступному: систему рівнянь приводять до еквівалентної їй системи з трикутною матрицею (системи називаються еквівалентними, якщо множина їх розв’язків співпадає). Ці дії називають прямим ходом. З одержаної трикутної системи змінні знаходять за допомогою послідовних підстановок (зворотний хід).

При виконанні прямого ходу використовують наступні перетворення:

множення або ділення коефіцієнтів вільних членів на одне і те ж число;
додавання і віднімання рівнянь;
перестановку рівнянь системи;
виключення з системи рівнянь, в яких всі коефіцієнти при невідомих і вільні члени рівні нулю.

Використовуючи метод Гауса, розв’язати систему рівнянь

Розв’язування. Переставимо третє рівняння на місце першого:

Запишемо розширену матрицю:

Щоб в 1-у стовпці отримати a₂₁ = а₃₁ = 0, помножимо 1-ий рядок спочатку на 3, а потім на 2 і віднімемо результати з 2-й і 3-й рядків:

Розділимо 2-й рядок на 8, одержані результати помножимо на 3 і віднімемо з 3-го рядка:

Запишемо нову еквівалентну систему, якій відповідає розширена матриця:

Виконуючи зворотний хід, за допомогою послідовних підстановок знаходимо невідомі:

О

тже, отримаємо відповідь: (1; 2; 3).
Розв’язати методом Гаусса систему лінійних рівнянь

Розв’язування. Складемо розширену матрицю системи:

Послідовно помножимо 1-й рядок на 3 і 2 і віднімемо результати з 2-й і 3-й рядків, а з 4-й рядки віднімемо 1-у:

Віднімемо 2-й рядок послідовно з 3-й і 4-й:

Відкинувши нульові рядки, одержимо матрицю

Р

озділимо другий рядок на 5:

Ця розширена матриця відповідає системі рівнянь

Але ми знаємо, що система двох рівнянь з чотирма невідомими має нескінченну множину розв’язків.
Питання для самоперевірки:

Що називається визначником системи?
Як отримується визначник, що позначається _п?
Запишіть формули Крамера для системи лінійних рівнянь і виведіть їх.
Значення якого визначника впливає на існування розв’язку за формулами Крамера?
Який з вище описаних методів розв’язання систем лінійних рівнянь має ширшу сферу застосування, тобто є більш загальним? Чому?
В якому випадку можна використовувати формули Крамера?
В чому полягає метод Гаусса?

	Вправи

1. Розв’язати системи лінійних рівнянь методом Гаусса:

2. Розв’язати системи лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера:

1)	2)

3. Розв’язати методом Крамера системи рівнянь :

1. 2x + 5y = 3 2. 2x + 3y = 7 3. 5x + 3y = 7

4x +10 =6 4x – 5y = 2 10x + 6y = 2

5

x + 8y + z = 2 5. 2x – 3y + z = -7 6. 2x – 7y + z = -4

3x -2y + 6z = -7 x + 4y + 2z = -1 3x + y – z = 17

2x + y – z = -5 x – 4y = -5 x – y + 3z = 3
Відповіді : 4. (-3;2;1) ; 5. (-1;1;-2) ; 6. (5;2;0)

4. Розв’язати методом Гауса наступні системи рівнянь:

ðññð¼ð¾ñð³ð¾ð»ñð½ð¸ðº 40

Вища математика

© Усі права захищені
написати до нас