Ім'я файлу: Числові ряди ЛК.doc
Розширення: doc
Розмір: 293кб.
Дата: 11.12.2020
скачати
Пов'язані файли:
Maksymenko_Word-formation.docx

Тема 12, 13. Числові знакододатні ряди. Знакозмінні числові ряди.

План.

1. Числові ряди.

2. Означення числового ряду, його суми.

3. Необхідна умова збіжності.

4. Гармонійний ряд.

5. Достатні умови збіжності знакододатних числових рядів: порівняння, граничного порівняння, Даламбера, Коші, інтегральна ознака Коші.

6. Знакозмінні числові ряди.

7. Знакочергуючі числові ряди, ознака збіжності Лейбніца.

8. Абсолютна і умовна збіжності.
1. Числові ряди.

Перетворюючи дріб у десятковий, отримаємо нескінченний періодичний дріб . В розгорнутому вигляді цей запис означає

(1)

Вираз (1) є прикладом числового ряду.
2. Означення числового ряду, його суми.

Означення. Нехай , є послідовність дійсних або комплексних чисел. Вираз

(2)

називається числовим рядом. Числа , називаються членами ряду, загальний член ряду.

Отже ряд – це сума нескінченної кількості доданків, які можна занумерувати натуральними числами. У деяких випадках виразу (2) приписують числовий зміст. Виходячи з ряду (2), утворюють скінченні суми

(3)

які називають частинними сумами ряду (2). Послідовність (3) частинних сум ряду (2) може бути збіжною або розбіжною.

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його частинних сум збіжна, а границю S послідовності називають сумою ряду і пишуть .

Якщо послідовність частинних сум ряду розбіжна, то цей ряд називається розбіжним і ніякої суми йому не приписують.

Дослідимо на збіжність ряд (1). Використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії маємо: ,

,

Отже ряд (1) збіжний і його сума .

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Помічаємо, що

,

тобто, послідовність частинних сум цього ряду розбіжна, а тому, за означенням, розбіжний і ряд .

Якщо в ряді (2) відкинути перші n членів, то отримаємо ряд

(4)

який називається залишком ряду (2) після n – го члена.

Теорема. Ряд і довільний його залишок одночасно збіжні або розбіжні.

Доведення. Позначимо частинні суми ряду (2), – частинні суми ряду (4). Тоді для будемо мати

, де , (5)

тобто послідовності і одночасно збіжні або одночасно розбіжні, оскільки число n фіксоване.

Теорему доведено.

З доведеної теореми випливає, що у випадку збіжності ряду (2)



тобто сума ряду (4) дає точність наближеної формули .
3. Необхідна умова збіжності.

Теорема.(Необхідна ознака збіжності ряду)

Для збіжності ряду необхідно, але не достатньо виконання умови

(6)

Доведення. Нехай ряд збіжний. Тоді

.

Приклад розбіжного ряду , у якого , ( ), показує, що умови (6) недостатньо для збіжності ряду.

Теорему доведено.

Наслідок.(Достатня умова збіжності ряду)

Якщо загальний член ряду (2) не прямує до нуля при , то ряд (2) розбіжний.

Справедливість наслідку випливає з того, що припущення збіжності ряду (2) за попередньою теоремою дає , що суперечить умові наслідку.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Маємо , ( ).

Тому за наслідком даний ряд розбіжний.
4. Гармонійний ряд.

Означення. Ряд виду

(7)

називається рядом геометричної прогресії.

Число q називається знаменником цього ряду. Будемо вважати, що .

Зауважимо, що ряд (7), складений з членів геометричної прогресії, для стислості часто називають геометричною прогресією.

Теорема.Геометрична прогресія (7) є ряд збіжний при і розбіжний при . У випадку збіжності його сума

.

Доведення.



Оскільки при , то і ряд (7) збіжний.

Якщо , то не прямує до нуля при , а тому за наслідком ряд (7) розбіжний.

Теорему доведено.

Означення. Гармонічним називається ряд

. (8)

Теорема. Гармонічний ряд розбіжний.

Доведення. Очевидно, .

Теорему доведено.

Відзначимо, що частинні суми ряду (8) зростають дуже повільно. Так, , .

Узагальненням гармонічного ряду (8) є ряд

(9)

де .

Теорема. Узагальнений гармонічний ряд (ряд Діріхле)

збіжний при і розбіжний при .

Цю теорему приймаємо без доведення.
5. Достатні умови збіжності знакододатних числових рядів: порівняння, граничного порівняння, Даламбера, Коші, інтегральна ознака Коші.

При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з навід’ємними членами, найчастіше користуються такими достатніми умовами (ознаками) збіжності, як ознаки порівняння, ознаки Д’Аламбера і Коші та інтегральна ознака Коші.

Теорема (ознаки порівняння). Нехай задано два ряди з невід’ємними членами

(1)

(2)

і для всіх n виконується нерівність: .

Тоді, якщо ряд (2) збіжний, то збіжний і ряд (1). Якщо ряд (1) розбіжний, розбіжний і ряд (2).

Теорема (гранична ознака порівняння). Якщо задано два ряди з додатними членами

(1)

(2)

Причому існує скінченна, відмінна від нуля границя

, то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Зауваження: При дослідженні рядів за допомогою ознак порівняння необхідно знати , які ряди збіжні, а які розбіжні.

Французький математик Ж. Д’Аламбер (1717-1783) встановив ознаку збіжності рядів, яка носить його ім’я.

Теорема (Ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду існує

. (10)

Тоді при ряд збіжний, при ряд розбіжний. При ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Цю теорему приймаємо без доведення.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. За ознакою Д’Аламбера



тому даний ряд збіжний.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання. За ознакою Д’Аламбера



тому даний ряд розбіжний.

Теорема (Інтегральна ознака Коші). Нехай функція - невід’ємна, неперервна і незростаюча на проміжку . Тоді ряд і невласний інтеграл одночасно збіжні або розбіжні.

Цю теорему приймаємо без доведення.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Розглянемо функцію на проміжку .

Вона невід’ємна, неперервна і спадна, оскільки її похідна

, .

Маємо:

,

тобто невласний інтеграл розбіжний. За попередньою теоремою ряд розбіжний.

6. Знакозмінні числові ряди.

7. Знакочергуючі числові ряди, ознака збіжності Лейбніца.

Нехай задано знакододатний ряд

(11)

Означення. Знакопочерговим рядом називається ряд, знаки членів якого строго чергуються: (12)

де для всіх .

Теорема (Ознака Лейбніца). Ряд (12) збіжний, якщо виконуються такі умови:

1) для кожного ;

2) .

При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена.
8. Абсолютна і умовна збіжності.

Означення: 1. Ряд (12) називається абсолютно збіжним, якщо збігається додатній ряд(11).

2. Ряд (12) називається умовно збіжним, якщо ряд (11) буде розбіжним.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Для цього ряду . Очевидно . Тому за ознакою Лейбніца даний ряд збіжний. Нижче буде показано, що його сума . За попередньою теоремою наближена формула



для має точність . Це означає, що за наближеною рівністю (12) можна обчислювати синуси кутів, що не перевищують з точністю до 0,01.

Із зменшенням x точність формули (12) зростає. Так, для число

.

Отже,

тобто точне значення лежить в інтервалі (0,1735; 0,1737). За таблицями В.М.Брадіса .

Наслідок з теореми Лейбніца. Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (12) його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто

.

Інакше кажучи, модуль n-го залишку rn збіжного ряду (12) не перевищує модуля (n+1)-го члена цього ряду, тобто

.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні. Розглянуті вище ряди, в яких знаки строго чергуються, є окремим випадком знакозмінних рядів. Для знакозмінних рядів справедлива така ознака збіжності.

Теорема. Якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд

Ця теорема показує, що при дослідженні на збіжність знакозмінних рядів можна користуватись ознаками збіжності знакододатних рядів.

ІНФОРМАЦІЙНІ РЕСУРСИ

  1. http://www.alleng.ru/d/math/math152.htm

  2. http://www.knigafund.ru/tags/664

  3. http://www.klex.ru/138

скачати

© Усі права захищені
написати до нас