Ім'я файлу: Спектральный анализ непериодических сигналов.docx Розширення: docx Розмір: 92кб. Дата: 24.04.2020 скачати Спектральный анализ непериодических сигналов Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции S(t), отличной от нуля в промежутке t1t2 как показано на рис.2. Рис.2 Пример непериодического сигнала Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1t2, далее продолжим аналитически S(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию S(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь: . Полученный ряд на участке [t1,t2] будет точно соответствовать нашей функции S(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком [t1,t2], то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции S(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим , ; ; , , где - спектральная плотность сигнала S(t). Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты. Если S(ω) = A(ω) + iB(ω), то - модуль спектральной плотности или амплитудно-частотная характеристика: - фазово-частотная характеристика. Необходимое условие существования спектральной плотности: . Рассмотрим непериодические сигналы при следующих ограничениях: 1. Функция ƒ(t) имеет конечное число max. 2. – существует. Пусть имеется следующая функция: Рис. 10.7 Функция ƒ(t) – имеет конечную продолжительность по времени. Если повторить ƒ(t), получим периодическую функцию: ƒ1(t) = ƒ(t + T), ƒ1(t) = ƒ(t) при t0 ≤ t ≤ t0 + T. Для ƒ1(t) можно дать спектральное описание: где . При T ® имеем: ; ; ; , то есть . Обозначим , при T ® имеем: . F(jω) – это прямое преобразование Фурье для ƒ(t). Периодичность ƒ(t) уже не требуется. при T ® имеем: , то есть для функции ограниченной длительности замена ±T/2 на ± не имеет значения, так как на всем остальном интервале ƒ(t) = 0. , то есть для вычисления комплексной амплитуды любой гармоники периодической последовательности функций ƒ(t), т.е. ƒ1(t), достаточно вычислить F(jωn) непериодической функции, взять ее значение на частоте ωn = n · Ω и умножить на 2/T. Подсчитаем теперь http://peredacha-informacii.ru/ обратное преобразование Фурье для непериодической функции. – модуль от преобразования Фурье назывется спектром. F(jω) – комплексная величина, которую можно записать в виде: ; ; ; , а , где F(ω) – спектр амплитуд; φ(ω) – спектр фаз. Обратное преобразование Фурье может быть записано: sin(ωt – φ) – нечетная функция ω; cos(ωt – φ) – четная функция ω. – другая запись преобразования Фурье. |