Ім'я файлу: Спектральна теорія - реферат. Шершень Д.А..doc
Розширення: doc
Розмір: 204кб.
Дата: 16.05.2020
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Факультет комп'ютерних наук, фізики та математики

Кафедра алгебри, геометрії та математичного аналізу


Реферат
На тему:

«Спектральна теорія»
Виконав: студент 121-М групи

Спеціальності Математика – інформатика

Шершень Дмитро Анатолійович


Херсон 2020

Зміст





ВСТУП 4

Дана робота присвячена спектральної теорії операторів. В окремому розділі більш детально розглядається спектральна теорія компактних операторів. Найважливішими завданнями цієї теорії є твердження про приведення досліджуваних операторів до так званого діагонального вигляду - спектральні теореми, твердження про властивості спектра і власні значення. 4

Мета даної роботи – розглянути спектральну теорією операторів, зокрема, спектральну теорією для компактних операторів. 4

Дана робота складається з трьох розділів: 4

1) Лінійний оператор; 4

2) Спектральна теорія операторів; 4

3) Спектральна теорія компактних операторів. 4

У першому розділі розглядається поняття лінійного оператора, лінійні перетворення, сполучений і самосопряженний оператор. 4

У другому розділі розглядається поняття спектра оператора, теорема для замкнутого лінійного оператора, спектральний радіус, поняття про обмежені оператори і компактні оператори. 4

У третьому розділі розглядаються безліч значень компактного оператора, власні значення компактного оператора. У кожному розділі наводяться приклади. 4

1 ЛІНІЙНИЙ ОПЕРАТОР 5

1.1ПОНЯТТЯ ЛІНІЙНОГО ОПЕРАТОРА 5

1.2ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ 5

2 СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ ОПЕРАТОРІВ 7

2.1 СПЕКТР ОПЕРАТОРА 7

2.2 ПОНЯТТЯ ПРО ОБМЕЖЕНИЙ ОПЕРАТОР 8

3 СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ КОМПАКТНИХ ОПЕРАТОРІВ 9

3.1 МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА 9

3.2 ВЛАСНЕ ЗНАЧЕННЯ КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА 10

ВИСНОВОК 12



ВСТУП

Дана робота присвячена спектральної теорії операторів. В окремому розділі більш детально розглядається спектральна теорія компактних операторів. Найважливішими завданнями цієї теорії є твердження про приведення досліджуваних операторів до так званого діагонального вигляду - спектральні теореми, твердження про властивості спектра і власні значення.

Мета даної роботи – розглянути спектральну теорією операторів, зокрема, спектральну теорією для компактних операторів.

Дана робота складається з трьох розділів:

1) Лінійний оператор;

2) Спектральна теорія операторів;

3) Спектральна теорія компактних операторів.

У першому розділі розглядається поняття лінійного оператора, лінійні перетворення, сполучений і самосопряженний оператор.

У другому розділі розглядається поняття спектра оператора, теорема для замкнутого лінійного оператора, спектральний радіус, поняття про обмежені оператори і компактні оператори.

У третьому розділі розглядаються безліч значень компактного оператора, власні значення компактного оператора. У кожному розділі наводяться приклади.




1 ЛІНІЙНИЙ ОПЕРАТОР

    1. ПОНЯТТЯ ЛІНІЙНОГО ОПЕРАТОРА



Функцію, множину значень якої належить поле скалярів, називають функціоналом.

Взагалі функція може бути визначена не всьому гільбертовом просторі, а лише на деякій його підмножині. Цю підмножину називають областю визначення функції. Множиною значень функції називають ту множину, в яку ця функція відображає свою область визначення. Для зручності будемо позначати область визначення через D, гільбертовий простір який їй належить, через Н1, множину значень – через R а простір який їй належить через Н2.

Визначення 1.1 Оператор (перетворення) L називається лінійним, якщо його область визначення D є лінійним підпростором (щільним чи ні) і він лінійний на D

L( x + y)= Lx + Ly (1.1).

Множина лінійного оператора являється лінійним підпростором.

    1. ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ



Визначення 1.2 Графіком G (T) лінійного перетворення Т називається підпростір у добуткі підпросторів Н1 Н2, утворений за правилом

G(T) = (1.2).

Визначення 1.3 Лінійне перетворення Т називається замкнутим, якщо його графік функції замкнутий в Н3. Інакше замкнутість оператора Т можна визначити так: нехай xn D(T), xn x, Tхn у. Тоді x D(Т) і Тх = у.

Слід відзначити, що, як правило, диференціальні оператори замкнуті. Цей факт і визначає необхідність розгляду класу замкнутих операторів.

Визначення 1.4 Лінійне перетворення Т називається обмеженим, якщо D = Н1 і

sup =M< (1.3).

Визначення 1.5 Нормою лінійного обмеженого перетворення T називається число

sup (1.4)

Лінійне перетворення обмежено, якщо воно безперервно на початку координат. Тоді воно безперервно в кожній точці. Обмежене лінійне перетворення - безперервно.

Нехай Т1, Т2 - лінійні обмежені оператори, відображаючі простір Н1 в Н2. Тоді ясно, що сума T1 + Т2 також є лінійним обмеженим оператором. Крім того,

(1.5)

В силу визначення ( T)x= Тх, де елемент поля скалярів, отже, оператор Т обмежений. Отже, безліч всіх лінійних обмежених операторів утворює лінійний простір, а норма оператора є нормою на цьому просторі.

2 СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ ОПЕРАТОРІВ

2.1 СПЕКТР ОПЕРАТОРА



У додатках часто виникає така задача: заданий оператор Т, знайти елемент х такий, що Тх = у, де елемент у заданий. У загальному випадку безліч рішень можуть виявитися або пороміжними, або містити занадто багато елементів. Можна розглянути більш загальну задачу: знайти елемент х такий, що х—Тх=у, де - скаляр. Важливість розгляду цього завдання обумовлена ​​тим, що вона тісно пов'язана зі структурою самого оператора. Можливо, що читач має деякі знання про вектори матріці. Спектральна теорія операторів розглядає питання, пов'язані з цими поняттями, але вже для більш широкого класу операторів. Надалі гільбертовий простір розглядається над полем комплексних чисел.

Визначення 2.1 Нехай Т - замкнутий лінійний оператор, що відображає простір Н в собі. Комплексне чісло називається власним значенням оператора Т, якщо існує елемент х. з Н такий, що Тх = х; при цьому елемент х (передбачається, що його норма дорівнює 1) називається власним вектором, відповідним . Безліч всіх власних значень оператора Т утворює його точковий спектр.

Якщо комплексне число Х не належить точному оператору Т, то, безперечно, можна визначити оператор ( I – T)-1: х= ( I — Т) yв тому і тільки в тому випадку, якщо у= –Тх.

Зворотній оператор ( I—Т) лінійний. Але для нас важливо знати умови, при виконанні яких зворотній оператор ( I–Т) неприливний. Для цього необхідно , щоб множина значень оператора ( I–Т) співпадала зі всіма просторами Н. Для замкнутих операторів ця умова виявляється і достатньою, і цим в значній мірі пояснюється інтерес до замкнутих операторів.

2.2 ПОНЯТТЯ ПРО ОБМЕЖЕНИЙ ОПЕРАТОР



Теорема 2.1 Нехай Т – обмежений оператор, відображаючий простір Н в собі. Тоді р(T) , якщо | |>r, где r = lim . Число r > 0 називається спектральним радіусом оператора Т.

Доведення. Основний крок заклечається в доказі збіжності ряда

(2.1)

Для всіх | |>г. Це слідує із того факта, що мажоруючий ряд
(2.2)

Абсолютно сходиться при |z|> lim . Як наслідок, ряд сходиться по нормі простору L(H,H). Більш того, маємо так що

( I – T)( )=( )( – T)=( ) (2.3)


3 СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ КОМПАКТНИХ ОПЕРАТОРІВ

3.1 МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА



Спектральна теорія характеризує спектри і резольвітні множини операторів. Дослідження інтегральних операндів по суті еквівалентно вивченню інтегральних задач.

За своїми властивостями компактні оператори близькі до кнцевомірних(матричних) операторів. Крім того, вони відіграють велику роль в додатках. Нехай Т компактний оператор, що відображає простір Н в себі. Тоді, якщо простір безкінцевомірний, то нуль повинен належати спектру, оскільки тотожний оператор Т-1Т не є компактним. Слід згадати, що в подальший простір розглядається над полем комплексних чисел.

Лема 3.1 Для любого 0 множина значень оператора I– Тзамкнута.

Доведення. Нехай {уп} збігаючи послідовність із множини значень оператора ( I— T), т. е. yn= хn– Тхп. Положимо М = {х: х=Тх}.

Тоді М – замкнутий підпростір Н. Позначимо через Р оператор проектування на підпростір М і положим zn=хп–Рхп. Припустимо, що ||zn|| . Нехай

, (3.1).

В силу збіжності {уп}послідовність hnзбігається до нуля. Так як|| ||=1, переходячи до послідовності, можна вважати, що { }слабо збігається до елемента z. Однак маючи на увазі рівність ТР= Рсправедливе співвідношення

n= (hn + T n)/ (3.2).

Звідси, в силу сильної збіжності T nдо T nслідує, що послідовність { n}сильно сходиться до z. Далі = T і || || = 1.

Однак це неможливо, оскільки елементи nналежать M .Таким чином, послідовність {||zn||} обмежена. Тому, переходячи до послідовності, можна вважати що {zn} – слабо збігаюча послідовність. Із рівності zn = (yn+ Tzn)/ як і раніше, слідує, що послідовність {zn} сходиться сильно. Позначена через z відповідну межу, отримаємо, що z=Tz+ у,де у – межа послідовності {уп}.Лема доказана.

3.2 ВЛАСНЕ ЗНАЧЕННЯ КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА



Лема 3.3 Припустимо, що нульове комплексне число належить спектру оператора Т. Тоді є власним значенням оператора Т *.

Доведення. Виконуючи попередню лему, отримуємо, що множина значень оператора ( I–Т)не співпадає з усім простором. Так як множина значень оператора ( I–Т)замкнута, то існує ненульовий елемент у такий, що для любого х Н справедлива рівність [ х–Тх, у] = 0, або [х, у–Т*у] = 0. Таким чином є власним значенням оператора Т. Із вказаних лем слідує наступна теорема.

Теорема 3.1 Нехай - нульове комплексне число. Тоді або є власним значенням оператора Т, або воно належить його резольвент ній множині. (Це твердження називається альтернативою Фредгольма.)

Доведення. Досить показати, що якщо число належить спектру оператора Т, то воно є власним значенням. Якщо не належить спектру T і не є власним значенням, то безліч значень оператора ( I-Т) не збігається з усім простором. Згідно з попередньою лемою це означає, що є власним значенням сполученого оператора T *. Застосовуючи лему 2.3 ще раз, отримаємо, що є власним значенням оператора T ** = T. Теорема доведена.

Лемма 3.4 Простір власних функцій, які відповідають ненульовим власним значенням, кінцевомірні.

Доведення. Нехай - ненульове власне значення. Припустимо, що відповідний простір власних функцій нескінечномірний. Нехай {ек}— ортонормальний базис цього підпростору. Тоді Tek = ek, і тому [Tek, ek] = . Але послідовність {Tek} має сильно сходитись до нуля, що неможливо.

ВИСНОВОК



У цій роботі були розглянуті лінійні оператори, спектральна теорія операторів і, зокрема, спектральна теорія компактних операторів.

Найбільш вивченим класом теорії операторів є теорія компактних операторів, але, не дивлячись на це, залишається простір для дослідження і вивчення більш докладно.

Рішення ряду важливих завдань спектральної теорії пов'язано з теорією аналітичних функцій. Справа в тому, що основні об'єкти, що характеризують спектральну задачу для оператора, такі як резольвента, власні значення оператора і інші, є аналітичними функціями спектрального параметра в певних областях.





скачати

© Усі права захищені
написати до нас