Системи числення. Правила переведення цілих та дробових чисел з однієї СЧ в іншу СЧ
1.1 Загальна характеристика систем числення
1.2 Двійкова система числення
1.3 Переведення чисел з однієї позиційної системи в іншу
1.4 Різновиди двійкових систем
1.1 Загальна характеристика систем числення
Система числення – це сукупність позначення прийомів і правил запису числа цифровими знаками. Найбільш відома десяткова система числення, де для представлення чисел використовують цифри від 0 до 9. Числа виникли в глибокій давнині як засіб підрахунку предметів оточуючого середовища. Існує безкінечна кількість способів запису чисел, проте при застосуванні на практиці системи числення повинні мати наступні властивості:
- можливість представлення будь-якого числа в даному форматі;
- однозначність представлення чисел;
- простота виконання операцій над числами.
Системи числення діляться на непозиційні та позиційні, головна відмінність між якими являється в способі визначення значення символу (цифри) в числі.
В непозиційних системах числення значення символу не залежить від його положення в числі. Нехай
- запис числа системі числення D, 
- символи системи, вони складають базу 
Тоді число може бути представлене у вигляді:
(1.1)Як слідує з рівняння (1.1), для запису числа використали К символів.
. Очевидно, що в таких системах кількісний еквівалент будь-якої цифри постійний і залежить тільки від її графічного образу.Вираз (1.1) характерний для системи числення, яка виникла в Древньому Єгипті в ХХХ столітті до н.е. Кожен символ зображується нерогліфом (від грецького «священна різьба»). Тому ці системи були названі нерогріфічними. Найбільш відомою системою числення являється римська, в якій є знаки I, V, X, L, C, D, M. Вони відповідають числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 відповідно.
В римській системі перші числа натурального ряду від 1 до 10 записуються наступним чином I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.
На відміну від (1.1) в римській системі використана, як принцип складання, так і розкладання. Так символ І, поставлений зліва от старшого знака (V, X), зменшує його значення на одиницю. В той же час, символ І, поставлений справа від старшого розряду (V, X), збільшує його значення на одиницю. Цей же принцип діє для будь-якої пари знаків. Так, число 1954 представляється МСMLIV, де CM=900, а IV=4.
Другим представником класу непозиційних систем являється алфавітна система. Найбільш відома грецька система, виникла близько 500 р. до н.е. в Міллеті. Тут для представлення чисел використовувались всі букви алфавіту і деякі старі, вийшовши з вжитку букви.
Непозиційні системи числення мають ряд недоліків:
- відсутність нуля
- безкінечне число символів
- виняткова складність арифметичних операцій.
В позиційних системах числення значення кожної цифри визначається як її виглядом, так і місцем (позицією) в числі. Алфавіт позиційних систем мають обмежене (кінцеве) число символів, що являють цифри. Найбільш відомою є десяткова система , що має алфавіт(базу) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} і основні 10. Наприклад, число 222 включає 3 однакових цифри, та їм відповідають різні значення. Самому лівому символу відповідає число
наступному – число 
і, на кінець, самому правому – число 
Цю залежність можна виразити формулою: 
(1.2)Символ 10 (1.2) означає, що число записано в десятковій системі числення.
В загальному випадку число в позиційній системі записується у вигляді:
(1.3)При цьому окрема позиція у виглядів числа називається розрядом, а номер позиції – номером розряду. В загальному випадку число
можна задати загальним випадком:
(1.4)Цей поліном можна представити скорочено в вигляді:
(1.5)Існують системи числення, основна яких відмінна від 10. Як правило, люди використовували для підрахунку пальці. В цьому зв’язку історично існувала 5 система числення (одна рука), десяткова (пальці двох рук), 12 система, 20 система числення (пальці двох рук і ніг). Першою відомою позиційною системою була 60-річна, виникла в древньому Вавилоні близько 2500 років до н.е. Десятинна система була створена в Індії близько VII століття, при цьому нуль появився тільки в IX столітті. Індійські цифри були позичені арабськими купцями, о від них цифри потрапили у Європу.
Нехай для представлення будь-якого розряду числа використовуються цифри
, де р- основні системи числення. Тоді число, записане у вигляді (1.3), відповідає виразу:
(1.6)Видно, що р=10 з виразу (1.5) і (1.6) адекватні. Представлені (1.6) відповідають однорідній системі числення, у якій засновані однаково для всіх розрядів. В загальному випадку кожному розряду
може відповідати своя основа 
. Це характерне для неоднорідних систем числення, де кількість допустимих символів може бути різноманітне для різних розрядів. Прикладом неоднорідної системи числення являється система підрахунку часу, для якої молодший розряд
(секунди), другий (хвилини) 
секунд, третій (години) 
хвилини, четвертий (доба) 
години, п’ятий (роки) 
діб. Так час в три роки, 15 діб, 13 годин, 39 хвилин, 28 секунд можна визначити наступним чином:
Далі будемо розглядати тільки однорідні позиційні системи числення і будемо їх називати їх просто «системи».
При записі правильних дробів позиції нумеруються в наступному порядку: -1, -2, … . При цьому ваги розрядів будуть негативними. Наприклад дріб
представляються у виді виразу
(1.7)Мішані дроби також можна представити у вигляді поліномів:
(1.8)де р- основа системи числення. Вираз (1.8) відповідає лінійному запису числа А:
і його значення визначається за формулою:
(1.9)В табл.. 1.1. наведені вигляд перших 16 чисел в різних системах числення.
Вираз (1.9) можна використовувати для знаходження десяткових значень числа, представлених в будь-якій системі числення. При цьому степені основ визначаються за правилом десяткової системи. Наприклад, число
можна представити у вигляді (1.9) і знайти, що:
Табл. 1.1
Представлення чисел в деяких системах числення
-
P=10
P=2
P=5
P=8
P=16
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
10
2
2
2
3
11
3
3
3
4
100
4
4
4
5
101
10
5
5
6
110
11
6
6
7
111
12
7
7
8
1000
13
10
8
9
1001
14
11
9
10
1010
20
12
А
11
1011
21
13
B
12
1100
22
14
C
13
1101
23
15
D
14
1110
24
16
E
15
1111
30
17
F
Арифметичні операції в системі з основою р виконуються по правилам цієї системи. Наприклад, правила для складення (a+b) чисел в 5 системі представлені на рисунок. 1.1.
На основі таблиці (1.1.(а)) можна построїти таблицю для виконання операцій множення чисел a*b (Рисунок. 1.2).
-
bb↓
aa→
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
10
2
2
3
4
10
11
3
3
4
10
11
12
4
4
10
11
12
13
-
bb↓
aa→
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
-1
0
1
2
3
2
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
4
-4
-3
-2
-1
0
Рисунок (1.1) Виконання операції додавання (а) і віднімання (б) в системі р=5
-
b↓
a→
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
11
13
3
0
3
11
14
22
4
0
4
13
22
31
Рисунок 1.2 Виконання операції множення в системі числення р=5
Множення а * b отримані на основі багаторазового складання, використовуючи правила, представлені на рис. 1.1 (а). Наприклад, результат множення 4 x 3 отриманий таким чином: 4+4 =13+4=10+(3+4)=10+12=22.
Правила виконання основних операцій можуть бути отримані для будь-якої системи числення. Для цього необхідно побудувати відповідні таблиці. Правила подання на рис. 1.1 і рис. 1.2 можна використовувати для додавання і множення багаторозрядних 5 чисел. Наприклад, знайдемо результат операцій (а+b), (а-b) i а х b для чисел 235 і 145 (рис. 1.3). 23
23 23
1 2 3