СЕРЕДНІ
Приклад № 1
Є такі дані про розподіл робітників за тривалістю відпустки:
| Тривалість відпустки, дн. | Число працівників, % |
| 15 | 48 |
| 18 | 30 |
| 24 | 22 |
Знайдіть середню арифметичну та моду.
Розв’язок
дані згруповані то використовують середньозважену арифметичну 17.88
Мода – це величина, що найчастіше зустрічається.
В нашому випадку Мо=15.
Приклад № 2
Розрахувати середню продуктивність праці двох робітників та середній час, витрачений на виготовлення однієї деталі, які зробили одну й ту ж роботу, але з різною швидкістю: перший- зі швидкістю 120 деталей за годину, другий – 90 деталей за годину, застосовуючи формулу середньої гармонійної простої.
Розв’язок
Продуктивність праці є відношення загального обсягу продукції до кількості робітників, або обсяг продукції на час виконання
Оберемо середню гармонійну просту
Відповідь: середня продуктивність 102,857 деталей на годину .
Приклад № 3
Наведено дані по трьох заводах, що виробляють одноіменну продукцію:
| Номер заводу | 2018 рік | 2019 рік | ||
| Витрати часу на одиницю продукції, год. | Виготовлено продукції, тис. шт. | Витрати часу на одиницю продукції, год. | Витрати часу на всю продукцію, год. | |
| 1 | 2 | 2.0 | 1.8 | 3960 |
| 2 | 2.5 | 5.0 | 2.3 | 11500 |
| 3 | 2.2 | 3.0 | 2.0 | 6400 |
Обчисліть середні витрати часу на одиницю продукції по трьох заводах в 2018р.та 2019 р.
Вказати які види середніх необхідно використати. Порівняйте отримані величини.
Розв’язок
Середні витрати часу на одиницю продукції – це відношення загального часу на виробництво продукції до загальної кількості виробленої продукції.
2018 - Виберемо середню арифметичну зважену, тому що дана сама ознака і також є потреба враховувати різну кількість виготовлених виробів
2019 - Оберемо середню гармонійну зважену, тому що якщо витрати часу на всю продукцію поділити на витрати часу на одиницю продукцію, то ми отримаємо кількість виготовленої продукції.
Приклад № 4
У комерційному банку сума кредиторської заборгованості на початок кожного кварталу складає, млн. грн. :
01.01 – 31; 01.04 – 37, 01.07 – 43; 01.10 – 40; 01.01 наступного року – 33. Скільки складає середньоквартальна сума кредиторської заборгованості. Зробіть висновок.
Розв’язок
Як слідує із даних задачі, а само значення дані на моменти часу, то необхідно використовувати середню хронологічну.
Середня хронологічна показує, яким рівнем у середньому характеризується даний динамічний ряд і розраховується за формулою
Тут є потреба в використанні хронологічної середньої тому, що дані на якись моментчасу. Та відрізки між даними рівні.
Середньоквартальна сума кредиторської заборгованості 38 млн.грн.
Приклад № 5
Проведена мала вибірка з партії фенів для визначення тривалості їх служби. Результати наступні:
| № фена | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| дні | 1450 | 1400 | 1370 | 1530 | 1400 | 1380 | 1270 | 1420 | 1100 |
Скільки складає мода та середній термін тривалості їх служби? Зробіть висновок.
Розв’язок
Мо́да — значення випадкової величини, що трапляється найчастіше в сукупності спостережень. Відповідь: Mo =1400
Середня арифметична проста
| 1450 | 1400 | 1370 | 1530 | 1400 | 1380 | 1270 | 1420 | 1100 |
Приклад № 6
Наведені такі дані про виробництво продукції за зміну
| Номер робітника | Виготовлено деталей за зміну, шт. | Номер робітника | Виготовлено деталей за зміну, шт. |
| 01 | 16 | 06 | 17 |
| 02 | 17 | 07 | 18 |
| 03 | 18 | 08 | 20 |
| 04 | 17 | 09 | 21 |
| 05 | 16 | 10 | 18 |
Визначити середній змінний виробіток продукції.
Розв 'язок:
У наведеному прикладі варіююча ознака - випуск продукції за зміну. Числові значення ознаки називаються варіантами.
Середній змінний виробіток продукції визначаємо за формулою середньої арифметичної простої:
Приклад № 7
За даними розподілу робітників цеху за розміром зарплати визначити середню заробітну плату робітника цеху:
| Місячна заробітна плата, грн. | Кількість робітників |
| 17500 | 2 |
| 9530 | 4 |
| 8560 | 8 |
| 7590 | 20 |
| 6620 | 16 |
Розв'язок:
Вихідна інформація наведена у вигляді дискретного варіаційного ряду розподілу, де місячна заробітна плата це варіанти (х), а кількість робітників - частоти (f). Для визначення середньої заробітної плати скористаємося логічною формулою визначення середнього заробітку відповідно до економічного змісту цього показника:
Звідси середню заробітну плату одного робітника визначаємо за середньої арифметичної зваженої:
Приклад № 8
Професорсько-викладацький склад навчального закладу, поділяється за стажем роботи таким чином:
| Стаж роботи, років | Кількість працівників |
| до 5 | 28 |
| 5-10 | 36 |
| 10-15 | 52 |
| 15-20 | 40 |
| 20-25 | 22 |
| 25-30 | 14 |
| Більше 30 | 10 |
| Разом | 202 |
Визначити середній стаж роботи професорсько-викладацького складу.
Розв'язок:
Логічна формула для визначення середнього стажу роботи буде мати вигляд:
Сумарний стаж роботи визначається як сума добутків стажу роботи та чисельності працівників, але за умовою задачі стаж роботи в кожній групі наведений не одним числом, а у вигляді інтервалу "від- до", тобто кожна група ряду розподілу має мінімальне і максимальне значення ознаки (закриті інтервали), перша група має тільки максимальне значення і остання група має тільки мінімальне значення (відкриті інтервали). Середній стаж роботи слід обчислювати за формулою середньої арифметичної зваженої, але попередньо значення ознаки треба замінити одним числом. Таким числом може бути середня арифметична проста з мінімального та максимального значень інтервалу.
Для відкритих інтервалів умовно величина інтервалу першої групи дорівнює величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останньої групи - величині інтервалу попередньої групи У нашому прикладі відсутнє мінімальне значення стажу робот першій групі визначається таким чином: величина інтервалу наступної групи дорівнює 5 (10 - 5), при такому інтервалі мінімальне значення в першій групі буде дорівнювати 0. Максимальне значення стажу роботи для останньої групи визначаємо, виходячи з величини інтервалу попередньої групи 30 - 25 = 5. Таким чином, інтервал останньої групи буде від 30 до 35 років. Отже:
x1= (0 + 5): 2 = 2,5
хг=(5 + 10):2 = 7,5
x3 = (10 + 15):2 = 12,5
x4 = (15 + 20): 2=17,5
x5 = (20 + 25): 2 = 22,5
x6 = (25 + 30): 2 = 27,5
x7 = (30 + 35): 2 = 32,5
Для визначення середнього стажу роботи побудуємо робочу таблицю.
Розрахунок середнього стажу роботи
| Стаж роботи, років | Кількість працівників, f | Центр інтервалу х | xf |
| до 5 | 28 | 2,5 | 70 |
| 5-10 | 36 | 7,5 | 270 |
| 10-15 | 52 | 12,5 | 650 |
| 15-20 | 40 | 17,5 | 700 |
| 20-25 | 22 | 22,5 | 495 |
| 25-30 | 14 | 27,5 | 385 |
| Більше 30 | 10 | 32,5 | 325 |
| Разом | 200 | | 2895 |
Подальший розрахунок середнього стажу роботи здійснюємо за формулою середньої арифметичної зваженої:
Приклад № 9
Визначити середню ціну одиниці продукції, якщо відомі наступні дані:
Дані про вартість продукції
| Варіант завдання 1 та 2 | Варіант завдання 1 | Варіант завдання 2 | |
| Продукція | Ціна, грн., хi | Сума реалізації, тис., грн., wi | Кількість реалізованих одиниць, fi = wi / xi |
| А | 30 | 600 | 20 |
| Б | 20 | 1000 | 50 |
| В | 35 | 350 | 10 |
| Загалом | | 1950 | 80 |
Розв'язок:
Варіант завдання 1
Середня ціна одиниці продукції дорівнює сумі реалізації діленою на кількість реалізованих одиниць. Сума реалізації (чисельник) – відома, а кількість реалізованої продукції (знаменник) – невідома. У такому разі, середню ціну одиниці продукції визначають по формулі середньої гармонійної зваженої:
Якби для розрахунку ми використовували середню арифметичну просту, то отримали б невірний результат:
.Варіант завдання 2
1 2 3