Ім'я файлу: Пар 9-3 Ознаки зб_жност_ ряду Фур'є.doc
Розширення: doc
Розмір: 221кб.
Дата: 17.12.2021
скачати




Глава 9

Ряд та інтеграл Фур’є
3.Ознаки збіжності ряду Фур’є
Тут і далі через будемо позначати клас усіх - періодичних функцій, інтегрованих за Ріманом на проміжку , і тим самим на будь-якому скінченому проміжку.


Теорема 1.
(Діріхле)




Якщо , тоді




,

(1)




де є частковою сумою ряду Фур’є функції в точці , де








(2)




називається ядром Діріхле.

Доведення.

в першому інтегралі робимо заміну , тоді одержимо в продовженні:

, де



тепер будемо збирати лише дійсну частину виразу, оскільки ліва частина дійсна

, що й треба було довести.

Теорема доведена.


Теорема 2.
(Принцип локалізації Рімана)




Нехай , тоді існує така нескінченно мала послідовність , що залежить від , що




.

(3)

Доведення. Нехай . Враховуючи тотожність

і формулу (3) можемо записати рівність:

. (4)

Оскільки , то ця функція обмежена при . Тому в формулі (4) усі інтеграли крім першого є синус та косинус перетвореннями Фур’є деяких функцій (ці функції треба продовжити нулем на всю дійсну вісь, крім вказаного проміжку), а тому з наслідку з теореми Рімана-Лебега прямують до нуля при , саме їх сума і дає нам шукану нескінченно малу послідовність .

Теорема доведена.


Теорема 3.
(Ознака Діні)




Нехай . Якщо існують такі і функція така, що







(5)




Інтегрована за Ріманом на , то РФ функції збігається до в точці .

Доведення. Покладемо в теоремі 2 , тоді одержимо таке співвідношення:

. Далі з принципу локалізації маємо: . З наслідку теореми Рімана-Лебега при , а , що й треба було довести.

Теорема доведена.
Функція задовольняє умову Ліпшиця порядку з сталою в точці , якщо : виконується нерівність:

(7)


Теорема 4.
(Ознака Ліпшиця)




Нехай . Якщо в точці виконується умова Лівшиця деякого порядку , то РФ функції збігається в цій точці до значення .

Доведення. В умовах ознаки Діні покладемо в якості . Оскільки , то при параметр , а тому , а тому з ознаки Діні при .

Теорема доведена.


Наслідок 1.
(РФ диференційованої функції)




Якщо і в точці існує похідна , то РФ функції збігається в точці до значення .

Доведення. З існування похідної слідує існування границі , а тому в деякому околі точки виконується нерівність (при ), що відповідає виконанню умови Ліпшиця з порядком .

Наслідок доведено.


Наслідок 2.
(РФ функції з узагальненими похідними)




Якщо і в точці існують обидві узагальнені похідні , , то РФ функції збігається в точці до значення .

Доведення. Нагадаємо означення узагальнених похідних:

, , вони узагальнюють поняття лівосторонньої та правосторонньої похідних у точці. Якщо останні існують, то вони зрозуміло, що співпадають з узагальненими відповідними похідними. Для доведення наслідку достатньо в ознаці Діні покласти , а далі все просто.

Наслідок доведено.


Наслідок 2.
(РФ кусково гладкої функції)




Якщо є кусково гладкою на проміжку , то РФ функції збігається в точці до значення , тобто в точці неперервності функції РФ збігається до , а в точці розриву першого роду до середнього арифметичного границь на краях.

Безпосередньо слідує з попереднього наслідку.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас