Квантовая механика Решение задач по теме 7: Задачи 1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора. Будем искать решение уравнения Шредингера: . Сделаем обезразмеривающую замену , и обозначим . Уравнение примет вид: . Легко убедиться, что при волновая функция имеет вид . Это легко сделать, пренебрегая по сравнению с . Тогда функция должна иметь вид . Будем искать решение уравнения в виде степенного ряда . Подставим этот ряд в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим ряд соотношений при , при , при , если . Первые два уравнения являются тождествами, если положить , , . Из последнего уравнения получаем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда . Все четные можно определить через , а нечетные – через . Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле следует положить некоторое . Откуда , , уровни энергии дискретны, а уравнение на собственные функции примет вид: , ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита . Волновая функция имеет вид: . Пронормируем ее. Один из полиномов представим в явном виде и проведем раз интегрирование по частям, получим , так как , то . Ответ: , . 2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида . Рассмотрите случай изотропного осциллятора. Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера: , в виде . Уравнение примет вид: , , разделим все уравнение на . , каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа. Тогда уравнения примут вид , , , где . Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора: , , , , , , где , , . Тогда волновая функция , с учетом нормировки и энергия . Заметим, что в случае изотропного осциллятора уровни энергии являются вырожденными: . Так, например, если , то значению энергии соответствуют три набора квантовых чисел – (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые функции. Если , то могут быть (2;0;0), (1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии шесть раз вырожден, в общем случае если , то уровень энергии вырожден раз. Ответ: , . 3. Найдите возможные значения энергии квантового гармонического осциллятора с частотой , находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией: а) , б) . Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой : даст значение энергии осциллятора: а) . Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю: , , тогда ; б) , аналогично , и . Ответ: а) , б) . 4. Вычислите среднее значение квадрата координаты и среднюю потенциальную энергию одномерного гармонического осциллятора, находящегося на -ом энергетическом уровне. По определению среднего значения кинетическая энергия . При , где , где . Подставим явный вид функции в формулу . Заменяя один из полиномов и интегрируя . Очевидно, . По рекуррентной формуле , , . Подставляя производную в интеграл, получаем . Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона и : . Тогда средняя потенциальная энергия . Ответ: , . 5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна . Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии , то средняя кинетическая энергия . В данном случае энергия соответствует номеру уровня , волновая функция осциллятора при , где , . Подставим явный вид функции в формулу , . Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона применить интегрирование по параметру , то . Ответ: . 6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей. Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать . Из соотношения неопределенностей . Найдем минимум энергии, как функции : , , тогда среднее значение энергии . Ответ: . 7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью , направленной вдоль оси колебаний. Заряд осциллятора . Потенциальная энергия такого осциллятора . Будем искать решение уравнения Шредингера: . Выделим в потенциальной энергии полный квадрат , где сделана замена , тогда уравнение с учетом замены примет вид: , решение которого известно: , . Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены: , а в волновых функциях . Ответ: , , где . |