Ім'я файлу: 7 practica.DOC
Розширення: doc
Розмір: 352кб.
Дата: 30.03.2021

Квантовая механика

Решение задач по теме 7:
Задачи
1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора.

Будем искать решение уравнения Шредингера:

.

Сделаем обезразмеривающую замену , и обозначим . Уравнение примет вид:

.

Легко убедиться, что при волновая функция имеет вид . Это легко сделать, пренебрегая по сравнению с . Тогда функция должна иметь вид . Будем искать решение уравнения



в виде степенного ряда . Подставим этот ряд в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , получим ряд соотношений

при ,

при ,

при , если .

Первые два уравнения являются тождествами, если положить , , . Из последнего уравнения получаем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда

.

Все четные можно определить через , а нечетные – через .

Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле следует положить некоторое . Откуда , , уровни энергии дискретны, а уравнение на собственные функции примет вид:

,
ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита

.
Волновая функция имеет вид:

.
Пронормируем ее.



Один из полиномов представим в явном виде и проведем раз интегрирование по частям, получим

,
так как

, то .

Ответ: , .
2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида
.
Рассмотрите случай изотропного осциллятора.


Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера:

,

в виде . Уравнение примет вид:

,



,
разделим все уравнение на .

,
каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа.

Тогда уравнения примут вид

,

,

,
где . Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора:

, ,

, ,

, ,
где , , .

Тогда волновая функция

,
с учетом нормировки


и энергия

.

Заметим, что в случае изотропного осциллятора уровни энергии являются вырожденными:

.

Так, например, если , то значению энергии соответствуют три набора квантовых чисел – (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые функции. Если , то могут быть (2;0;0), (1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии шесть раз вырожден, в общем случае если , то уровень энергии вырожден раз.

Ответ: ,

.
3. Найдите возможные значения энергии квантового гармонического осциллятора с частотой , находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией:
а) , б) .


Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой :


даст значение энергии осциллятора: а)



.
Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю:

, ,
тогда

;

б)

,
аналогично , и

.

Ответ: а) , б) .
4. Вычислите среднее значение квадрата координаты и среднюю потенциальную энергию одномерного гармонического осциллятора, находящегося на -ом энергетическом уровне.

По определению среднего значения кинетическая энергия

.
При , где

, где .

Подставим явный вид функции в формулу

.
Заменяя один из полиномов и интегрируя



.

Очевидно,

.

По рекуррентной формуле

,

, .

Подставляя производную в интеграл, получаем

.

Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона

и :



.

Тогда средняя потенциальная энергия

.

Ответ: , .
5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна .

Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии

,
то средняя кинетическая энергия

.
В данном случае энергия соответствует номеру уровня , волновая функция осциллятора при , где

, .

Подставим явный вид функции в формулу

,

.

Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона



применить интегрирование по параметру

,
то

.

Ответ: .
6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей.

Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать

.

Из соотношения неопределенностей

.

Найдем минимум энергии, как функции :

, ,
тогда среднее значение энергии

.

Ответ: .
7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью , направленной вдоль оси колебаний. Заряд осциллятора .

Потенциальная энергия такого осциллятора

.

Будем искать решение уравнения Шредингера:

.

Выделим в потенциальной энергии полный квадрат



,
где сделана замена , тогда уравнение с учетом замены примет вид:

,
решение которого известно:

, .

Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены:

,

а в волновых функциях .

Ответ: , , где .





скачати

© Усі права захищені
написати до нас