Квантовая механика
Решение задач по теме 7:
Задачи
1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора.
Будем искать решение уравнения Шредингера:
.Сделаем обезразмеривающую замену
,
и обозначим 
. Уравнение примет вид:
. Легко убедиться, что при
волновая функция имеет вид 
. Это легко сделать, пренебрегая 
по сравнению с 
. Тогда функция должна иметь вид 
. Будем искать решение уравнения
в виде степенного ряда
. Подставим этот ряд в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 
, получим ряд соотношений
при 
,
при 
,
при 
, если 
.Первые два уравнения являются тождествами, если положить
, 
, 
. Из последнего уравнения получаем рекуррентную формулу для коэффициентов ряда
.Все четные
можно определить через 
, а нечетные – через 
.Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле следует положить некоторое
. Откуда 
, 
, уровни энергии 
дискретны, а уравнение на собственные функции примет вид:
,ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита
.Волновая функция имеет вид:
.Пронормируем ее.
Один из полиномов представим в явном виде и проведем
раз интегрирование по частям, получим
,так как
, то 
.Ответ:
, 
.2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида
.Рассмотрите случай изотропного осциллятора.
Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера:
, в виде
. Уравнение примет вид:
,
,разделим все уравнение на
.
,каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа.
Тогда уравнения примут вид
, 
, 
,где
. Решения этих уравнений аналогичны решению уравнений для одномерного гармонического осциллятора:
, 
,
, 
,
, 
,где
, 
, 
. Тогда волновая функция
,с учетом нормировки
и энергия
.Заметим, что в случае изотропного осциллятора
уровни энергии являются вырожденными:
.Так, например, если
, то значению энергии 
соответствуют три набора квантовых чисел 
– (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), а следовательно, три различные волновые функции. Если 
, то могут быть (2;0;0), (1;1;0), (1;0;1), (0;2;0), (0;1;1), (0;0;2) – уровень энергии 
шесть раз вырожден, в общем случае если 
, то уровень энергии 
вырожден 
раз.Ответ:
, .3. Найдите возможные значения энергии
квантового гармонического осциллятора с частотой 
, находящегося в состоянии, описываемом волновой функцией: а)
, б) 
.Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой
:
даст значение энергии осциллятора: а)
.Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю:
, 
,тогда
;б)
,аналогично
, и 
.Ответ: а)
, б) 
.4. Вычислите среднее значение квадрата координаты
и среднюю потенциальную энергию одномерного гармонического осциллятора, находящегося на -ом энергетическом уровне.По определению среднего значения кинетическая энергия
.При
, где 
, где 
.Подставим явный вид функции в формулу
.Заменяя один из полиномов
и интегрируя 
.Очевидно,
.По рекуррентной формуле
,
, 
.Подставляя производную в интеграл, получаем
.Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона
и 
: 
.Тогда средняя потенциальная энергия
.Ответ:
, 
. 5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна
.Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии
,то средняя кинетическая энергия
.В данном случае энергия
соответствует номеру уровня 
, волновая функция осциллятора при , где 
, 
.Подставим явный вид функции в формулу
,
.Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона
применить интегрирование по параметру
,то
.Ответ:
. 6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей.
Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать
.Из соотношения неопределенностей
.Найдем минимум энергии, как функции
:
, 
,тогда среднее значение энергии
.Ответ:
.7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью
, направленной вдоль оси колебаний. Заряд осциллятора 
.Потенциальная энергия такого осциллятора
.Будем искать решение уравнения Шредингера:
.Выделим в потенциальной энергии полный квадрат
,где сделана замена
, тогда уравнение с учетом замены 
примет вид:
, решение которого известно:
, .Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены:
,а в волновых функциях
.Ответ:
, 
, где 
.