![]() | Квантовая механика Решение задач по теме 7: Задачи 1. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного гармонического осциллятора. Будем искать решение уравнения Шредингера: ![]() Сделаем обезразмеривающую замену ![]() ![]() ![]() ![]() Легко убедиться, что при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в виде степенного ряда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Первые два уравнения являются тождествами, если положить ![]() ![]() ![]() ![]() Все четные ![]() ![]() ![]() Бесконечный степенной ряд в общем случае не является сходящимся. Следовательно, его следует сделать конечным, то есть оборвать на некотором члене. То есть в рекуррентной формуле следует положить некоторое ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ему удовлетворяют полиномы Чебышева-Эрмита ![]() Волновая функция имеет вид: ![]() Пронормируем ее. ![]() Один из полиномов представим в явном виде и проведем ![]() ![]() так как ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() 2. Найдите уровни энергии и собственные функции трехмерного гармонического осциллятора вида ![]() Рассмотрите случай изотропного осциллятора. Будем искать решение трехмерного уравнения Шредингера: ![]() в виде ![]() ![]() ![]() ![]() разделим все уравнение на ![]() ![]() каждое из слагаемых в левой части зависит только от одной переменной, их сумма – постоянная, следовательно, каждое из этих слагаемых тоже константа. Тогда уравнения примут вид ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Тогда волновая функция ![]() с учетом нормировки ![]() и энергия ![]() Заметим, что в случае изотропного осциллятора ![]() ![]() Так, например, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() 3. Найдите возможные значения энергии ![]() ![]() а) ![]() ![]() Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой ![]() ![]() даст значение энергии осциллятора: а) ![]() ![]() Поскольку энергия не может зависеть от координаты, вероятно, слагаемые, содержащие координату, в сумме равны нулю: ![]() ![]() тогда ![]() б) ![]() ![]() аналогично ![]() ![]() Ответ: а) ![]() ![]() 4. Вычислите среднее значение квадрата координаты ![]() ![]() По определению среднего значения кинетическая энергия ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим явный вид функции в формулу ![]() Заменяя один из полиномов ![]() ![]() ![]() Очевидно, ![]() По рекуррентной формуле ![]() ![]() ![]() Подставляя производную в интеграл, получаем ![]() Эти интегралы легко взять при помощи интеграла Пуассона ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда средняя потенциальная энергия ![]() Ответ: ![]() ![]() 5 Вычислите среднюю кинетическую энергию одномерного гармонического осциллятора, энергия которого равна ![]() Для одномерного осциллятора оператор кинетической энергии ![]() то средняя кинетическая энергия ![]() В данном случае энергия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим явный вид функции в формулу ![]() ![]() Эти интегралы легко взять, если к интегралу Пуассона ![]() применить интегрирование по параметру ![]() то ![]() Ответ: ![]() 6. Определите минимальную энергию одномерного квантового осциллятора, пользуясь соотношением неопределенностей. Среднее значение энергии одномерного квантового осциллятора можно записать ![]() Из соотношения неопределенностей ![]() ![]() Найдем минимум энергии, как функции ![]() ![]() ![]() тогда среднее значение энергии ![]() Ответ: ![]() 7. Найдите уровни энергии и собственные функции одномерного заряженного гармонического осциллятора, помещенного в однородное электрическое поле напряженностью ![]() ![]() Потенциальная энергия такого осциллятора ![]() Будем искать решение уравнения Шредингера: ![]() Выделим в потенциальной энергии полный квадрат ![]() ![]() где сделана замена ![]() ![]() ![]() решение которого известно: ![]() ![]() Уровни энергии осциллятора в электрическом поле смещены: ![]() а в волновых функциях ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() |