Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний університет імені Івана Франка
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ УЧНІВ ДОВОДИТИ ТЕОРЕМИ
Реферат
студентки 21 групи
фізико-математичного факультету
Макарчук Дар'ї Олегівни
Житомир-2020
1.Навчання готових доведень.
Навчанням доведень називатимемо навчання готових доведень, пропонованих учителем або підручником, і навчання учнів самостійного пошуку доведень, на відміну від А. А. Столяра, який навчання доведень розуміє як навчання розумових процесів пошуку, відкриттів і побудов доведення, а не навчання відтворення і заучування готових доведень. Наше розуміння загальної методичної проблеми навчання доведень пояснюється тим, що готові доведення мають велике значення у процесі навчання математики. За умови належної організації навчання готових доведень можна формувати в учнів компоненти самостійного пошуку і побудови доведення. Готові доведення мають виступати як моделі, на яких учні навчаються розумових дій і прийомів розумової діяльності, що покладено в основу вміння доводити, методів доведень та їх застосування, вчаться самостійно шукати доведення за аналогією з вивченим.
Проблему навчання доведень доцільно поділити на кілька навчальних завдань, які розв'язують послідовно: 1) вивчення готових доведень, вміння відтворювати їх; 2) самостійна побудова доведення за вивченим зразком; 3) пошук і виклад доведення за вказаним учителем методом (способом); 4) самостійний пошук і виклад доведення учнями.
Для успішного навчання доведень потрібно, щоб учні оволоділи досить повною системою теоретичних знань і умінь (поняття та їх означення, аксіоми, теореми, уміння виконувати основні побудови тощо). Шкільна практика свідчить, що цього недостатньо для глибокого усвідомлення і сприйняття учнями готових доведень і самостійного їх відшукання. Використання елементів логіки (роз'яснення учням правил виведення, логічна організація навчального матеріалу) також не розв'язує проблеми ефективного навчання доведень. З цього приводу заслужена вчителька України В. М. Осинська зазначає, що в процесі засвоєння програмного матеріалу учні навчалися застосовувати елементи логіки і математичної символіки. Через два роки експериментальної роботи вона переконалася, що це дещо підвищило їхню математичну культуру. Особливо позитивний ефект був виявлений у здібних учнів, а середні й слабкі учні, як і раніше, погано міркували і розв'язували задачі. Навчання елементів логіки не полегшило засвоєння математики школярами з низьким рівнем розвитку.
Підготовка до навчання учнів доведень здійснюється вже в 5 - 6 класах, де вони ознайомлюються з першими твердженнями і роблять перші кроки у виконанні дедуктивних умовиводів. Цілеспрямоване навчання доведень починається з перших уроків систематичного курсу планіметрії введенням понять «теорема», «доведення теореми». Учні мають вчитися виконувати аналіз формулювання теореми, тобто відокремлювати умову від висновку. Досвід показує, що на перших етапах учні стикаються з труднощами, якщо теорему не сформульовано у формі умовного речення, тобто в термінах «якщо ..... то...». Для зменшення цих труднощів доцільно запропонувати їм усні вправи на виділення умови і висновку з відомих уже тверджень, на переформулювання твердження в умовне речення і відокремлення умови та висновку. Для прикладу наведемо такі твердження.
1. Якщо сума цифр ділиться на 3, то і число ділиться на 3.
2. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.
3. Якщо чисельник дробу збільшити в кілька разів, то і дріб збільшиться в стільки само разів.
4. Зі збільшенням знаменника дробу в кілька разів дріб зменшується в стільки само разів.
Уміння доводити математичні твердження має чотири основні складові: 1) дія підведення об'єкта до поняття; 2) володіння необхідними і достатніми ознаками понять, про які йдеться у висновку; 3) дія вибору ознак понять, які відповідають заданим умовам; 4) дія розгортання умов.
З метою забезпечення свідомого засвоєння учнями готових доведень і навчання їх самостійно шукати доведення потрібно заздалегідь формувати ці складові. Наприклад, щоб навчити учнів дії розгортання умов, можна запропонувати їм такі усні вправи.
1. Дано два рівні суміжні кути СОВ і BOD. Що нам тим самим ще дано?
2. З точки М виходять два промені МА і MB. Пряма CD перетинає промені в точках Е і F. Кути A EC і BFD, які при цьому утворилися, рівні. Що нам ще дано?
3. Відрізки A1B1 і А2В2 мають спільну середину О. Що нам відомо про пари відрізків АХА2 і В{В2, А2ВХ і А1В21
Розгортаючи умови, часто доходять висновку, що потрібно переформулювати висновок теореми або задачі. Прийом переформулювання висновку теореми або задачі сприяє формуванню вміння доводити твердження.
Наприклад, учням пропонують довести твердження: точки А, В і С лежать на одній прямій, якщо бісектриси прилеглих кутів ABD і DBC перпендикулярні. Учні мають міркувати так: оскільки потрібно довести, що точки А, В і С лежать на одній прямій, то досить довести, що маємо розгорнутий кут і що точка В є його вершиною, а точки А і С належать доповняльним півпрямим (сторонам розгорнутого кута).
Під час вивчення готових складніших доведень (наприклад, ознак рівності трикутників) доцільно запропонувати учням готову таблицю, в якій у лівому стовпчику записано твердження, з яких складається доведення, у правому - відповідні обґрунтування. Наведемо приклад такої таблиці (табл. 5.2) для першої ознаки рівності трикутників (рис. 5.4).
Демонструючи цю таблицю, потрібно спочатку закрити правий стовпчик і поступово відкривати його в міру того, як учні самостійно знаходитимуть потрібні обґрунтування.
Таблиця 5.2. Доведення першої ознаки рівності трикутників
а цим зразком учні самостійно можуть скласти в зошитах аналогічну таблицю після вивчення другої ознаки рівності трикутників.
Такі таблиці доцільно складати учням після самостійного вивчення окремих найпростіших теорем на уроці за підручником.
Під час вивчення готових доведень теорем учні мають усвідомлювати істотні елементи доведення, відсторонюватися від неістотних (розміщення рисунка, позначення літерами) і помічати істотне спільне в доведеннях. Наприклад, істотним спільним у доведенні всіх трьох ознак подібності трикутників є те, що доведення кожної ознаки починається з виконання перетворення гомотетії одного з даних трикутників з коефіцієнтом, що дорівнює відношенню довжини сторони другого трикутника до довжини відповідної сторони першого. Доводиться, що отриманий при гомотетії допоміжний трикутник дорівнює першому, а отже, подібний другому з даних трикутників.
Для створення психологічних передумов успішного засвоєння готових доведень важливо не пропускати проміжні ланки доведення. Психологи обґрунтовують це тим, що міркування, пов'язані з поновленням пропущених ланок, відвертають увагу учнів від основної лінії доведення. Відомі педагоги-математики середньої та вищої школи на своїх уроках і лекціях завжди прагнули роз'яснювати учням навіть дрібниці, щоб усунути будь-яку неясність, зосередити увагу на головному.
Перш ніж проводити докладне доведення, потрібно спочатку назвати основні етапи і твердження, на яких воно ґрунтуватиметься. Це дає можливість звернути увагу учнів на структуру доведення в цілому, виявити основну його ідею, назвати метод.
Психологи обґрунтовують це тим, що докладне, розгорнуте доведення забезпечує утворення зв'язків між окремими ланками, а коротка схема з указівкою на ідею і метод доведення забезпечує розуміння структури основних зв'язків в цілому, сприяє міцності засвоєння матеріалу.
Досвід показує, що учні краще усвідомлюють і запам'ятовують структуру доведення, якщо записують у символічній формі його короткий виклад. Досвідчені вчителі вважають, що учні швидше і свідоміше сприймають доведення, якщо в процесі пояснення вчителя не відриваються для складання конспекту. Для цього вчитель пропонує учням спочатку уважно прослухати доведення за наперед заготовленим на дошці рисунком або за рисунком, який він виконує під час доведення. Після цього вчитель проектує на екран короткий символічний запис умови і вимоги теореми, її доведення, пропонує учням перенести рисунок і записи в зошит, якщо в цьому є потреба. Цю думку підтверджують дослідження психологів, які експериментально довели, що одночасне виконання двох видів діяльності, кожний з яких потребує повного зосередження уваги, неможливе. Має бути часткова автоматизація хоча б одного виду діяльності, щоб обидва виконувалися з достатнім успіхом.
Сказане не виключає, а навіть передбачає спеціальне навчання учнів старших класів складання конспекту шкільної лекції з метою підготовки учнів до такої діяльності у вищому навчальному закладі або під час подальшого навчання за умов самоосвіти.
Навчання учнів самостійного пошуку доведень.
Навчання учнів уміння самостійно здійснювати пошук доведення значною мірою залежить від володіння основними складовими уміння доводити і методами доведень.
У більшості теорем і задач на доведення процес доведення спрямований на те, щоб показати, що об'єкти, задані в умові теореми (задачі), містять необхідні й достатні або достатні ознаки понять, про які йдеться у висновку. У геометричних доведеннях такими поняттями можуть бути фігури, їхні властивості, відношення між фігурами. Тому учні мають навчитися розгортати умови, тобто діставати з
умови ознаки шуканого поняття, оскільки в складніших теоремах ці ознаки подано в умові неявно, вони приховані за змістом інших понять.
При цьому цілеспрямований пошук потрібних ознак має відбуватися якнайкоротшим шляхом. Це можливо лише тоді, коли учень знає, де слід шукати потрібну ознаку. Для полегшення пошуку доцільно надавати учням набір «пошукових областей». Наприклад, якщо в умові теореми або задачі трапляються поняття «прямий кут», «рівні суміжні кути»», «бісектриса розгорнутого кута», то кожне з цих понять містить умову перпендикулярності двох прямих. Після вивчення скалярного добутку двох векторів і означення й ознак перпендикулярності прямої та площини в 10 класі до «пошукових областей» для встановлення перпендикулярності двох прямих (відрізків) додаються ще дві ознаки: 1) дві прямі перпендикулярні, якщо скалярний добуток двох векторів, що лежать на кожній з цих двох прямих, дорівнює нулю; 2) дві прямі перпендикулярні, якщо одна з них перпендикулярна до площини, на якій лежить друга.
У процесі підготовки до пошуку складніших доведень можна скористатися правилами-орієнтирами, що вказують, як встановити найпоширеніші відношення між двома фігурами: рівність, подібність їх, паралельність прямих або відрізків. Наприклад, щоб довести рівність трикутників, досить: 1) підвести їх до однієї з ознак рівності або скористатися означенням рівних трикутників; 2) довести, що один з трикутників можна дістати з другого, виконавши деякий рух (симетрія, поворот, паралельне перенесення).
Для доведення рівності відрізків або кутів досить: 1) довести рівність трикутників або інших фігур, елементами яких є зазначені у вимозі відрізки (кути), а потім зробити висновок про рівність відповідних відрізків (кутів); 2) довести, що один відрізок (кут) можна отримати з другого, виконавши деякий рух.
Після вивчення скалярного добутку двох векторів на площині й у просторі учнів ознайомлюють ще з одним способом доведення рівності відрізків і кутів - векторним.
Слід звернути увагу учнів і на те, що у зв'язку з доведенням рівності фігур часто користуються властивостями вимірювання відрізків та кутів і загальними властивостями величин: а) дві фігури рівні між собою, якщо кожна з них рівна третій; б) якщо від двох рівних відрізків (або кутів) відняти рівні відрізки (або кути), то дістанемо рівні відрізки (або кути). Те саме справедливе щодо додавання.
Необхідною умовою правильного вибору потрібної ознаки поняття, до якого підводиться об'єкт, є усвідомлення всіх істотних властивостей і ознак. З цього погляду важливо під час вивчення основних понять та їхніх відношень привести в систему ці властивості й ознаки і показати можливість їх використання.
Володіння метолами доведень і вміння вибрати потрібний метод - важлива умова для забезпечення самостійного виконання доведення. В процесі навчання учнів самостійного пошуку доведень найважливішим є аналітичний метод. Навчати учнів володінню аналітичним методом найкраще у вигляді евристичної бесіди, використовуючи зразки доведень. Наведемо модель організації діяльності учнів під час використання аналітичного методу на прикладі задачі на доведення.
Учень. Ні, немає.
Учитель. Як розміщені на рисунку перші три відрізки, що входять у пропорцію, яку потрібно довести?
У ч с н ь. Три з них розмішені на сторонах кута/1. Учитель. На яку думку наштовхує нас цей факт?
У ч є н ь. Скористатися властивістю відрізків, що витинаються па сторонах трикутника прямою, паралельною протилежній стороні. Учитель. Де може лежати четвертин вирізок? Учень. На продовженні сторони АВ. Учитель. Як його побудувати?
Учень. Продовжити сторону АВ і через точку С провести пряму, паралельну BD, до перетину з прямою АВ в точці Е.
Учитель. Яку пропорцію тепер можна скласти?
Учитель. Порівняйте цю пропорцію з тією, яку потрібно довести. Який висновок з цього можна зробити?
У че н ь. Потрібно довести, що BE = ВС.
Учитель. Чим с на рисунку ці відрізки?
Учень. Сторонами DСВЕ.
Учитель. За якої умови дві сторони трикутника рінні?
Учень. Дві сторони трикутника рівні, якщо вони лежать напроти рівних кутів.
Учитель. Рівність яких кутів потрібно довести?
Учень. Потрібно довести, що
Після цього, виходячи з умови теореми, доводиться рівність зазначених кутів і робиться висновок про рівність відрізків.
Правило-орієнтир аналітичного методу доведення може бути таким.
1. Запитати: з якого раніше відомого твердження необхідно випливає висновок доводжуваного твердження? Інакше кажучи, знайти доведене раніше твердження (або аксіому), якого достатньо, щоб зробити висновок доводжуваного твердження.
2. Якщо такого раніше відомого твердження знайти не вдається, то потрібно шукати інше, поки ще не доведене твердження, з якого необхідно випливав би висновок доводжуваного.
3. Потім потрібно шукати наступне твердження, з якого необхідно випливало б попереднє, і так далі, доки не буде отримано твердження, яке безпосередньо випливає з умови теореми.
4. Зробити висновок, що дане твердження доведене, оскільки весь ланцюжок достатніх умов для виконання висновку задовольняється в силу умови доводжуваного твердження.
Ознайомлювати учнів з аналітичним методом доведення та відповідним правилом-орієнтиром найзручніше на прикладі наведеної задачі, а застосувати його - під час доведення теорем про площі багатокутників.
У міру сформованості в учнів основних складових уміння доводити і набуття першого досвіду виконання доведень слід запропонувати евристичну схему пошуку доведення. Ця схема може мати такий вигляд.
1. Виділити те, що дано в умові, і вказати, що потрібно довести.
2. Ввести всі потрібні позначення. У геометричних теоремах (задачах) попередньо виконати рисунок.
3. Записати умову і висновок теореми (задачі) у символічній формі.
4. Назвати ознаки, потрібні для доведення.
5. Розгорнути умови, тобто з того, що дано, вивести можливі наслідки.
6. Порівняти з умовами та їхніми наслідками кожну з ознак, за якими можна довести те, що потрібно. Вибрати ознаку, зручну для доведення.
7. Якщо безпосередньо вибрати відповідну ознаку не вдається, подумати, які ще потрібні для доведення ознаки можуть бути задані в умові.
8. Постійно пам'ятати, що коли пошук доведення ускладнено, потрібно звертатися до даних і до того, що випливає з них.
Для геометричних доведень цю схему можна доповнити вказівками щодо геометричного рисунка: після виконання третього пункту схеми проаналізувати рисунок, позначити на ньому рівні елементи, прямі кути, паралельні відрізки та інші характерні особливості рисунка і окремих його елементів. Потім, виділивши на рисунку елементи фігур, відношення яких потрібно довести або які потрібно визначити, задати собі запитання: чим ще є або чим ще могли б бути дані елементи? Окремі елементи рисунка (відрізки, кути тощо) доцільно зіставляти з іншими елементами, включати їх до складу інших фігур, розглядати в різноманітних зв'язках з іншими елементами (прийом переосмислювання елементів задачі). Якщо на рисунку немає фігур або елементів, необхідних для використання ознак, за допомогою яких можна довести те, що потрібно, то слід виконати додаткові побудови і зробити всі висновки, що випливають з них.
Таку евристичну схему доцільно разом з іншими матеріалами помістити в математичному кабінеті на стенді «Учись учитися».
Можливий варіант правила-орієнтиру методу доведення від супротивного такий.
1. Припустити супротивне тому, що потрібно довести.
2. Використовуючи припущення, відомі аксіоми і раніше доведені твердження за допомогою міркувань дійти висновку, який суперечить умові твердження, що доводиться, відомій аксіомі, раніше доведеному твердженню або припущенню.
3. Зробити висновок, що припущення неправильне, а правильне те, що потрібно довести.
Неможливість і єдиність чого-небудь у математиці завжди доводять методом від супротивного. Інколи цим методом доводять обернені твердження.