Ім'я файлу: Стійкість дискретних систем управління.doc
Розширення: doc
Розмір: 65кб.
Дата: 13.09.2022
скачати
Пов'язані файли:

Реферат
Предмет: Теорія автоматичного керування
Тема: Стійкість дискретних систем управління

1. Основні поняття стійкості дискретних систем
Основні визначення стійкості безперервних систем справедливі і для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Необхідною і достатньою умовою стійкості безперервної лінійної системи є розташування в лівій півплощині всіх коренів її характеристичного рівняння. Зіставимо, як виглядають рівняння для безперервних і для дискретних систем.
Для безперервних систем передавальні функції ставлення дробово - раціональних функцій і мають вигляд
. (1)
Характеристичне рівняння являє собою статечне рівняння, при цьому число коренів рівняння дорівнює ступеня полінома - n.
Наприклад, для передавальної функції

Для дискретних систем передавальні функції мають вигляд
. (2)
Характеристичне рівняння являє собою трансцендентне рівняння, при цьому число коренів рівняння нескінченно, тому що вони мають періодичний характер.
Наприклад, для передавальної функції
(3)
коріння визначаються зі співвідношень
.
Кожному з n коренів у площині Р, відповідає безліч періодичних коренів у площині Р *, віддалених один від одного на відстані частоти квантування і розташованих по групах у кожній смузі. Для аналізу властивостей системи досить аналізувати розташування коренів в одній, так званої основній смузі, в якості якої зазвичай вважають смугу частот .
Розташування коренів цього рівняння в комплексній площині наведено на рис. 1.

+ J

3w n
2

-3w n
2

Доп. смуга

Доп. смуга

Осн. смуга

+

w n
2

-W n
2

p n

p n

p n

2w n
2

-2w n
2

+






Рис. 1

Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.

Приклад 1. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією


.
Рішення: Характеристичне рівняння системи має вигляд

Визначимо коріння характеристичного рівняння
.
Система стійка, так як всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.

Приклад 2. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією



Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння заданої системи
.
Система на межі стійкості, тому що один корінь розташований на уявної осі, а другий стійкий.
2. Визначення стійкості дискретних систем у формі z - перетворення
Використання z-перетворення дозволяє перетворити трансцендентний поліном в ступеневій, що дозволяє спростити процес дослідження дискретних систем управління.
Застосування z-перетворення (рис. 2.3) відображає основну смугу на площину Z, відрізок уявної осі в коло одиничного радіуса, а ліву частину смуги в коло одиничного радіусу.
Отже, дискретна система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги (тобто умова стійкості ).

Приклад 3. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією


.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння

Визначимо модуль коренів
.
Система не стійка, тому що програмі коренів її характеристичного рівняння менше одиниці.

Приклад 4. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена ​​на рис. 2.

x

T


y

2
p +1






-
Рис. 2
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
, Де .
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення

.


Характеристичне рівняння має вигляд .
Визначимо коріння характеристичного рівняння

При цьому модуль кореня за будь-яких допустимих T, отже, система стійка.
3. Визначення стійкості дискретних систем у формі w - перетворення
З теорії функцій комплексного змінного відомо, що білінійної перетворення (w-перетворення, перетворення Мізеса) відображає коло одиничного радіуса в площині Z у всю ліву полуплоскость площині W, при використанні підстановки
або . (4)
Встановимо зв'язок між площинами Z і W (див. рис. 3).

w

+

-1 +1-1 +1 -1 +1

-1

1

+

пл. Z








Рис. 3
1. При ½ z ½ = 1, ½ w +1 ½ = ½ w-1 ½, що відповідає осі j.
2. При ½ z ½ <1, ½ w +1 ½ <½ w-1 ½ - відповідає лівій півплощині пл. W.
3. При ½ z ½> 1, ½ w +1 ½> ½ w-1 ½ - відповідає правій півплощині.
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині площині W.
Отже, при використанні білінійної перетворення умови стійкості безперервних систем можна використовувати для дискретних систем управління.

Приклад 5. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією


.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння

Система стійка, оскільки коріння її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині.

Приклад 6. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена ​​на рис. 4.

x


y

T


k
p (T 1 p +1)






-
Рис. 4
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
, Де .

Передавальна функція замкнутої дискретної системи


.
Характеристичне рівняння системи має вигляд
.
Виконавши білінійної перетворення, отримаємо

Умова стійкості: 1 - b> 0, 1 + b + d> 0, де b = [k (1-d) - (1 + d)].
4. Застосування критеріїв стійкості для дискретних систем
Всі критерії стійкості, які використовуються для аналізу стійкості безперервних систем, можуть бути використані для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Критерій Гурвіца
Критерій стійкості Гурвіца можна використовувати при застосуванні білінійної перетворення. Розглянь алгоритм його використання.
1. Записуємо характеристичне рівняння D (z) = 0
. (5)
2. Виконуємо підстановку , При цьому одержимо характеристичне рівняння D (w) = 0, тобто у формі білінійної перетворення
. (6)
3. Складаємо визначник Гурвіца
. (7)
4. Визначаємо стійкість також як і для безперервних систем.
Лінійна дискретна система стійка, якщо при визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори позитивні.
Розглянемо окремі випадки.
При n = 1 характеристичне рівняння має вигляд

Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, а також: a 0 - a 1> 0.
При n = 2 характеристичне рівняння має вигляд

Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, a 2> 0, а також:
a 0 - a 1 + a 2> 0, a 0 - a 2> 0.
Приклад Визначити стійкість дискретної системи, якщо передаточна функція розімкнутої системи у формі z - перетворення, має вигляд
.

Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення


.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Виконаємо білінійної перетворення

Система не стійка.
Критерій стійкості Михайлова
Доказ частотних критеріїв стійкості базується на слідстві з принципу аргументу. Розглянемо, як він формулюється для дискретних систем.
Нехай задано характеристичне рівняння замкнутої системи
. (8)
Розглянемо комплексну площину Z (рис. 7), нехай z 2 розташований всередині кола одиничного радіуса, а z 1 поза нього.
При цьому
(9)
Якщо замкнута система стійка, то всі корені розташовані в межах окружності одиничного радіуса, а значить
(10)
Замкнута дискретна система стійка, якщо характеристична крива D * (jw) при зміні частоти 0 £ w £ p / T послідовно проходить 2n квадрантів.
Порядок побудови характеристичної кривої: визначаємо D (z); виконуємо підстановку ; Визначаємо вираз
;
змінюючи 0 £ w £ p / T будуємо D * (j w) (Рис. 5).


+ J
n = 1
D * (jw)
+
w = p / Tw = 0

+ J
zz 1
z 1
+ P / 2
-P / 2 z-z 2
z 2

+






а) б)
Рис. 5

Приклад 8. Визначити стійкість за критерієм Михайлова системи, схема якої наведена на рис. 6, якщо T = 1 с, k v = 2 c -1.

x

T


y

k v
p

  1-e-pT
p








-
Рис.6
Рішення: Передавальна функція розімкнутої системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення

Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
.
Характеристичний поліном має вигляд
.
Визначаємо вираз

Змінюючи частоту в межах 0 £ w £ p (0 £ w £ p / T) будуємо годограф Михайлова (рис. 7).






Таблиця 1

Рис. 7



\

w

0

p / 4

p / 2

p3 / 4

p

X * (w)

2

1 + Ö2 / 2

1

1-Ö2 / 2

0

Y * (w)

0

Ö2 / 2

1

Ö2 / 2

0

Як видно з малюнка система знаходиться на межі стійкості.
Перевіримо за критерієм Гурвіца при
k v T = 2; z +1 = 0; z 1 = -1; 1 z 1 січня = 1.
Корінь знаходиться на кола одиничного радіуса, отже, система знаходиться на межі стійкості.
Критерій стійкості Михайлова з використанням білінійної перетворення
При цьому вихідним є характеристичний поліном у формі z-перетворення. Виконаємо підстановку
z = (1 + w) / (1-w).
(11)
Нехай: w = j l, де l-фіктивна частота (0 £ l £ ¥).
При цьому критерій Михайлова для дискретних систем застосовується в такому ж вигляді, як і для безперервних систем.
Приклад 9. Визначити умова стійкості за критерієм Михайлова дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення:
Характеристичний поліном має вигляд
.
Виконавши підстановку z = (1 + w) / (1-w), в характеристичний поліном отримаємо
.
Виконавши підстановку w = j l, в характеристичний поліном отримаємо

Будуємо графік рис. 8. Система стійка при k v T> 2. Критичний коефіцієнт посилення дорівнює k v кр = 2 / T.

+ J

k v T> 2
k v T = 2 +
k v T <2



Рис. 8
Критерій стійкості Найквіста
Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих дискретних систем
(12)
де D * (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A * (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
(13)
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена дискретна система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута дискретна система була стійка, повинна виконуватися умова
(14)
Формулювання критерію Найквіста:

Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої стійкої системи не охоплює струму з координатами (-1, j0).


Графічно це означає, що годограф вектора W * (j w) не охоплює початку координат, а вектора K * (j w)-точку з координатами (- 1, j0).
Система, нестійка в розімкнутому стані
Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:

Графічно це означає, що годограф вектора K (j w) охоплює точку з координатами (-1, j0) m-раз.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює струму з координатами (-1, j0) m разів.
Приклад 10. Визначити умови стійкості та величину критичного коефіцієнта підсилення за критерієм Найквіста дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення

При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд

Будуємо частотну характеристику дискретної системи відповідно до таблиць 2 і 3 (рис. 9).
Характеристику будуємо на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються, так як вони носять періодичний характер.
Умова стійкості даної дискретної системи визначається співвідношенням k v T / 2 = 1. 0 £ w £ p / T
Таблиця 2

w

0

p/2T

p / T

P * (w)

-K v T / 2

-K v T / 2

-K v T / 2

Q * (w)

- ¥

-K v T / 2

0

+ J
-K v T / 2 +
K * (jw)

Рис. 9





Таблиця 3

a

0

30

45

60

90

ctga

- ¥

Ö3

1

1/Ö3

0

Критичний коефіцієнт посилення системи дорівнює k v кр = 2 / Т.

Література
1. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002р. - 832с.
2. Харазов В. Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550С.
3. Чебурахін І. Синтез дискретних керуючих систем і математичне моделювання: теорія, алгоритми, програми. Вид-во: НДЦ РХД, Фізматліт ®, 2004. - 248c.


//ua-referat.com
скачати

© Усі права захищені
написати до нас