Ім'я файлу: Стійкість дискретних систем управління.doc Розширення: doc Розмір: 65кб. Дата: 13.09.2022 скачати Пов'язані файли: 7 кл Тест Алгоритми та програми.docx Реферат Предмет: Теорія автоматичного керування Тема: Стійкість дискретних систем управління 1. Основні поняття стійкості дискретних систем Основні визначення стійкості безперервних систем справедливі і для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей. Необхідною і достатньою умовою стійкості безперервної лінійної системи є розташування в лівій півплощині всіх коренів її характеристичного рівняння. Зіставимо, як виглядають рівняння для безперервних і для дискретних систем. Для безперервних систем передавальні функції ставлення дробово - раціональних функцій і мають вигляд . (1) Характеристичне рівняння являє собою статечне рівняння, при цьому число коренів рівняння дорівнює ступеня полінома - n. Наприклад, для передавальної функції Для дискретних систем передавальні функції мають вигляд . (2) Характеристичне рівняння являє собою трансцендентне рівняння, при цьому число коренів рівняння нескінченно, тому що вони мають періодичний характер. Наприклад, для передавальної функції (3) коріння визначаються зі співвідношень . Кожному з n коренів у площині Р, відповідає безліч періодичних коренів у площині Р *, віддалених один від одного на відстані частоти квантування і розташованих по групах у кожній смузі. Для аналізу властивостей системи досить аналізувати розташування коренів в одній, так званої основній смузі, в якості якої зазвичай вважають смугу частот . Розташування коренів цього рівняння в комплексній площині наведено на рис. 1.
Рис. 1 Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги. Приклад 1. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією. Рішення: Характеристичне рівняння системи має вигляд Визначимо коріння характеристичного рівняння . Система стійка, так як всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги. Приклад 2. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцієюХарактеристичне рівняння має вигляд . Визначимо коріння характеристичного рівняння заданої системи . Система на межі стійкості, тому що один корінь розташований на уявної осі, а другий стійкий. 2. Визначення стійкості дискретних систем у формі z - перетворення Використання z-перетворення дозволяє перетворити трансцендентний поліном в ступеневій, що дозволяє спростити процес дослідження дискретних систем управління. Застосування z-перетворення (рис. 2.3) відображає основну смугу на площину Z, відрізок уявної осі в коло одиничного радіуса, а ліву частину смуги в коло одиничного радіусу. Отже, дискретна система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги (тобто умова стійкості ). Приклад 3. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією. Характеристичне рівняння має вигляд . Визначимо коріння характеристичного рівняння Визначимо модуль коренів . Система не стійка, тому що програмі коренів її характеристичного рівняння менше одиниці. Приклад 4. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 2.
- Рис. 2 Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи . Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення , Де . Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення .Характеристичне рівняння має вигляд . Визначимо коріння характеристичного рівняння При цьому модуль кореня за будь-яких допустимих T, отже, система стійка. 3. Визначення стійкості дискретних систем у формі w - перетворення З теорії функцій комплексного змінного відомо, що білінійної перетворення (w-перетворення, перетворення Мізеса) відображає коло одиничного радіуса в площині Z у всю ліву полуплоскость площині W, при використанні підстановки або . (4) Встановимо зв'язок між площинами Z і W (див. рис. 3).
Рис. 3 1. При ½ z ½ = 1, ½ w +1 ½ = ½ w-1 ½, що відповідає осі j. 2. При ½ z ½ <1, ½ w +1 ½ <½ w-1 ½ - відповідає лівій півплощині пл. W. 3. При ½ z ½> 1, ½ w +1 ½> ½ w-1 ½ - відповідає правій півплощині. Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині площині W. Отже, при використанні білінійної перетворення умови стійкості безперервних систем можна використовувати для дискретних систем управління. Приклад 5. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією. Характеристичне рівняння має вигляд . Визначимо коріння характеристичного рівняння Система стійка, оскільки коріння її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині. Приклад 6. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 4.
- Рис. 4 Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення , Де . Передавальна функція замкнутої дискретної системи. Характеристичне рівняння системи має вигляд . Виконавши білінійної перетворення, отримаємо Умова стійкості: 1 - b> 0, 1 + b + d> 0, де b = [k (1-d) - (1 + d)]. 4. Застосування критеріїв стійкості для дискретних систем Всі критерії стійкості, які використовуються для аналізу стійкості безперервних систем, можуть бути використані для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей. Критерій Гурвіца Критерій стійкості Гурвіца можна використовувати при застосуванні білінійної перетворення. Розглянь алгоритм його використання. 1. Записуємо характеристичне рівняння D (z) = 0 . (5) 2. Виконуємо підстановку , При цьому одержимо характеристичне рівняння D (w) = 0, тобто у формі білінійної перетворення . (6) 3. Складаємо визначник Гурвіца . (7) 4. Визначаємо стійкість також як і для безперервних систем. Лінійна дискретна система стійка, якщо при визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори позитивні. Розглянемо окремі випадки. При n = 1 характеристичне рівняння має вигляд Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, а також: a 0 - a 1> 0. При n = 2 характеристичне рівняння має вигляд Умова стійкості: a 0> 0, a 1> 0, a 2> 0, а також: a 0 - a 1 + a 2> 0, a 0 - a 2> 0. Приклад Визначити стійкість дискретної системи, якщо передаточна функція розімкнутої системи у формі z - перетворення, має вигляд . Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення. Характеристичне рівняння має вигляд . Виконаємо білінійної перетворення Система не стійка. Критерій стійкості Михайлова Доказ частотних критеріїв стійкості базується на слідстві з принципу аргументу. Розглянемо, як він формулюється для дискретних систем. Нехай задано характеристичне рівняння замкнутої системи . (8) Розглянемо комплексну площину Z (рис. 7), нехай z 2 розташований всередині кола одиничного радіуса, а z 1 поза нього. При цьому (9) Якщо замкнута система стійка, то всі корені розташовані в межах окружності одиничного радіуса, а значить (10) Замкнута дискретна система стійка, якщо характеристична крива D * (jw) при зміні частоти 0 £ w £ p / T послідовно проходить 2n квадрантів. Порядок побудови характеристичної кривої: визначаємо D (z); виконуємо підстановку ; Визначаємо вираз ; змінюючи 0 £ w £ p / T будуємо D * (j w) (Рис. 5).
а) б) Рис. 5 Приклад 8. Визначити стійкість за критерієм Михайлова системи, схема якої наведена на рис. 6, якщо T = 1 с, k v = 2 c -1.
- Рис.6 Рішення: Передавальна функція розімкнутої системи . Передавальна функція розімкнутої дискретної системи . Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення . Характеристичний поліном має вигляд . Визначаємо вираз Змінюючи частоту в межах 0 £ w £ p (0 £ w £ p / T) будуємо годограф Михайлова (рис. 7).
Таблиця 1
\
Як видно з малюнка система знаходиться на межі стійкості. Перевіримо за критерієм Гурвіца при k v T = 2; z +1 = 0; z 1 = -1; 1 z 1 січня = 1. Корінь знаходиться на кола одиничного радіуса, отже, система знаходиться на межі стійкості. Критерій стійкості Михайлова з використанням білінійної перетворення При цьому вихідним є характеристичний поліном у формі z-перетворення. Виконаємо підстановку z = (1 + w) / (1-w). (11) Нехай: w = j l, де l-фіктивна частота (0 £ l £ ¥). При цьому критерій Михайлова для дискретних систем застосовується в такому ж вигляді, як і для безперервних систем. Приклад 9. Визначити умова стійкості за критерієм Михайлова дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6. Рішення: Характеристичний поліном має вигляд . Виконавши підстановку z = (1 + w) / (1-w), в характеристичний поліном отримаємо . Виконавши підстановку w = j l, в характеристичний поліном отримаємо Будуємо графік рис. 8. Система стійка при k v T> 2. Критичний коефіцієнт посилення дорівнює k v кр = 2 / T.
Рис. 8 Критерій стійкості Найквіста Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих дискретних систем (12) де D * (p) - характеристичний поліном замкнутої системи; A * (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи. У відповідності зі слідством з принципу аргументу (13) Розглянемо різні випадки. Система, стійка в розімкнутому стані Так як розімкнена дискретна система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута дискретна система була стійка, повинна виконуватися умова (14) Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої стійкої системи не охоплює струму з координатами (-1, j0).Графічно це означає, що годограф вектора W * (j w) не охоплює початку координат, а вектора K * (j w)-точку з координатами (- 1, j0). Система, нестійка в розімкнутому стані Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова: Графічно це означає, що годограф вектора K (j w) охоплює точку з координатами (-1, j0) m-раз. Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює струму з координатами (-1, j0) m разів. Приклад 10. Визначити умови стійкості та величину критичного коефіцієнта підсилення за критерієм Найквіста дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6. Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі z - перетворення При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд Будуємо частотну характеристику дискретної системи відповідно до таблиць 2 і 3 (рис. 9). Характеристику будуємо на інтервалі частот 0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються, так як вони носять періодичний характер. Умова стійкості даної дискретної системи визначається співвідношенням k v T / 2 = 1. 0 £ w £ p / T Таблиця 2
Таблиця 3
Критичний коефіцієнт посилення системи дорівнює k v кр = 2 / Т. Література 1. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002р. - 832с. 2. Харазов В. Г. Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво: ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550С. 3. Чебурахін І. Синтез дискретних керуючих систем і математичне моделювання: теорія, алгоритми, програми. Вид-во: НДЦ РХД, Фізматліт ®, 2004. - 248c. //ua-referat.com2> |