Реферат на тему Історія виникнення гіперкомплексних чисел студентки групи м-402б тарасенко Світлани Валеріївни Дрогобич 2020

3 Вступ
Відомості про число складалися в математиці поступово в результаті тривалого розвитку, яке йшло під дією практичних і теоретичних потреб математики. Так в результаті сформувалось поняття натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних, дійсних, алгебраїчних та трансцендентних чисел Алена дійсних числах, шлях розвитку систем чисел не зупинився. Необхідність розширення систем дійсних чисел виникла як наслідок неможливості розв´язання рівняння виду 𝑥
2
+ 1 = 0 в системі дійсних чисел, адже дане рівняння не має дійсних коренів, тому потреба в знаходженні коренів даного рівняння призвела до виникнення комплексних чисел. А саме в 1545 році вийшла у світ книга Джироламо Кардано «Велике мистецтво» в якій було вперше введено комплексні числа, які позначалися як двовимірні числа, а Рафаель
Бомбеллі у 1572 році розробив правила роботи з уявними одиницями. На основі комплексних чисел виникла ціла теорія функцій комплексної змінної, яка має велике практичне застосування.
1.Поняття гіперкомплексних чисел. Історія їх появи.
Що нам відомо про ієрархію чисел Вона складається з натуральних, цілих, раціональних та дійсних чисел, що використовуються у повсякденному житті.
Окрім цього, існують також комплексні числа, що розглядаються на двовимірному просторі. Але ієрархія не зупиняється на комплексних числах в ній також можна побачити кватерніони, октоніони, седеніони тощо. Ними називають системи гіперкомплексних чисел. Для початку, розберемося, що називають гіперкомплексними числами.
Гiпeркoмплeкснi числ – eлeмeнти aлгебрaїчних структур, що розглядаються на n-вимірному просторі, а їх система розуміється як будь-яка скінченновимірна алгебра над полем. До того ж, частіше за все накладається додаткова умова: це повинна бути алгебра над полем дійсних або комплексних чисел. Іноді не вимагають скінченновимірності для гіперкомплексних чисел.

4 Тому, оскільки комплексні числа виявилися досить важливими і корисними для розвитку математики, виникли ідеї розвинути і узагальнити поняття числа. Так спочатку виникли триплети a+bi+cj, які ввів Уільм Гамільтон, а потім кватерніони, де на відміну від триплетів було додано ще одну змінну k, і отримали вигляд a+bi+cj+dk. Кватерніони виявилися розширенням комплексних чисел і стали однією із систем гіперкомплексних чисел. Над кватерніонами також можна виконувати арифметичні операції додавання, віднімання, множення, а ділення виконується за допомогою рівнянь 𝑞
2
𝑥 = 𝑞
1
𝑥𝑞
2
= 𝑞
1
і , кватерніони є системою з діленням. Для того щоб виконати множення над ними,
У.Гамільтон вигадав спеціальну таблицю множення, в рядках і стовпчиках якої знаходяться уявні числа і їх добутки. В системі кватерніонів, як і в дійсних числах виконуються всі властивості відносно операцій додавання і множення, окрім комутативності відносно операції множення. Завдяки кватерніонам можливо описати обертання тривимірного і чотиривимірного евклідових просторів. Також розглядається норма кватерніона, і доводиться, що норма добутку кватерніонів дорівнює добутку норм. В роботі розглядається один з прикладів розв´язання рівняння х 2+1=0 в системі кватерніонів. Дев результаті розв´язання було отримано відповідь про те, що в системі комплексних чисел рівняння має 2 розв´язки: і та і, а в системі кватерніонів їх буде безліч, а ось наприклад в рівнянні (х коренів в системі кватерніонів чисел буде 2: 8 і 2.
Також наводяться інші підходи до визначення кватерніонів, таких як подання кватерніонів у формі пари комплексних чисел довільний кватерніон q
= a + bi + cj + dk можна уявити, користуючись тим, що ij = k, в вигляді q = =(a + bi) + (c + di) j або q = z1 + z2 j, де z1 = a + bi, z2 = с + di. Нехай поряд з q заданий ще один кватерніон r = w1 + w2 j. Перемноживши q і r, отримаємо qr = (z1 + z2 j)(w1 + w2 j) = z1 w1 + z1 (w2 j) + (z2 j) w1 + (z2 j) (w2 j) = z1 w1 + +z1 w2 j+ + jw1 + z2 jw2 j (1)
Оскільки ij = -ji, то (a + bi) j = j (a - bi), тобто zj = jz ̅. Крім того, легко перевірити, що будь-які два елементи z і w виду а + bi переставні: zw = wz. Виходячи з цих властивостей, можна переписати другі і треті доданки в правій частині (1)

5 відповідно у вигляді w2 z1 j і z2 w1 ̅j, а замість четвертого доданка написати z2 w2 ̅j², або - w2 ̅z2. Звідси, qr = (z1 w1- w2 ̅z2) + (w2 z1 + z2 w1 ̅) j. (2)
Звертаючись до подання кватерніона у вигляді q = z1 + z2j, відзначимо один важливий момент. Оскільки i² = -1, то всі кватерніони a + bi, зокрема, z1 і z2, можна трактувати як комплексні числа. Значить, кватерніони можна визначити як вираз виду z1 + z2 j де z1, z2 - довільні комплексні числа, a j - деякий символ, причому закон множення таких виразів задається формулою (2).
Спочатку винайдення кватерніонів та інших гіперкомплексних чисел було сприйнято як подію, порівняну за значимістю з винайденням комплексних чисел, що спонукало математиків до досить активних досліджень у цій області. Особливо відчутний внесок зробив уже згаданий вище німецький математик Ф. Г. Фробеніус.
Проте досить швидко інтерес до цієї тематики спав, бо роль власне гіперкомплексних чисел виявилася не настільки важливою, як роль комплексних чисел. Так що подальший розвиток у цій галузі відбувався досить повільно та епізодично. Щодо досліджень цього періоду, можна, наприклад, зазначити, що в х роках виходили статті канадсько-американського математика Івана
Найвена (Ivan Niven, 1915–1999), у яких досліджувалися різні властивості кватерніонів, наприклад, щодо добування з них коренів.
Проте останнім часом спостерігається активізація досліджень, пов'язаних з гіперкомплексними числами. Достатньо потужні осередки такої активності є, наприклад, у Бельгії, Польщі, Болгарії, США, Мексиці, Росії. Прихильники таких досліджень звертають увагу нате, що деякі математичні твердження набувають значно простішого вигляду або значно легше доводяться, якщо записати їх мовою дій над кватерніонами чи іншими гіперкомплексними числами. Проте на сьогодні є дуже значна кількість і таких математиків, які вважають, що користі від досліджень гіперкомплексних систем небагато.

6
2. Роль українських математиків у дослідженні гіперкомплексних систем.
Насамперед слід згадати, що деякий час цією тематикою займався Ю. М. Березанський: така діяльність почалась ух роках під керівництвом МГ. Крейна; пізніше
(1982) вийшла брошура Ю. М. Березанського та О. О. Калюжного Гиперкомплексные системы с локально компактным базисом, а ще пізніше (1992) — монографія тих же авторів Гармонический анализ в гиперкомплексных системах. Обидва автори — співробітники відділу функціонального аналізу Інституту математики
НАНУ, так що дослідження відбувалися з точки зору функціонального аналізу.
Відтак ці дослідження носили дуже абстрактний характер. Розглядувані при цьому гіперкомплексні системи могли бути нескінченновимірними і навіть незчисленновимірними. Дослідження Березанського знайшли своє застосування в гармонійному аналізі. Абстрактність розглядуваних при цьому гіперкомплексних систем суттєво відрізняє їх від усіх тих досліджень, про які йдеться нижче. У
Київському Інституті проблем реєстрації
інформації
НАН
України Синьков МВ. та його команда займаються такими дослідженням гіперкомплексних числових систем (ГЧС), які дозволяють застосовувати ці системи в комп'ютерній томографії, цифровій фільтрації, криптографії. Останні дослідження проводяться у спробі пов'язати згадані вище гіперкомплексні системи Березанського та звичайні ГЧС.
Інший осередок гіперкомплексних досліджень зародився у відділі комплексного аналізу та теорії потенціалу того самого Інституту математики нині покійний співробітник цього відділу І. П. Мельниченко почав досліджувати різні гіперкомплексні системи, розглядаючи для них питання, аналогічні до тих, що стосувалися проблематики цього відділу. Ці дослідження дали початок розвитку в Україні так званого гіперкомплексного аналізу у вузькому розумінні, тобто теорії, аналогічної до комплексного аналізу, але для гіперкомплексних чисел замість комплексних (як відомо, словосполученням

7
«комплексний аналіз» прийнято позначати теорію функцій комплексної змінної, особливо аналітичних функцій).
Згодом до гіперкомплексної діяльності приєдналися ще двоє співробітників Інституту математики НАНУ: проф. А. Ф. Турбін, основною спеціальністю якого є теорія ймовірностей, і С. А. Плакса, що працює в уже згаданому відділі комплексного аналізу та теорії потенціалу. Окремого відділу, присвяченого гіперкомплексним дослідженням, в Інституті нема цією діяльністю там займаються щойно згадані двоє науковців і ще кілька молодих математиків, тяжіючи при цьому здебільшого до проблематики відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (однак останнє не стосується проф. А. Ф. Турбіна).
Інший осередок українських гіперкомплексних досліджень знаходиться в Житомирі. Історія цього осередку почалася близько 2000 року завдяки тому, що завідувач кафедри математичного аналізу Житомирського державного університету (ЖДУ) доц. О. Ф. Герус познайомився під час наукової конференції з мексиканським математиком, колишнім одеситом проф. М. Шапіро, який займається дуже різноманітними питаннями, пов'язаними з гіперкомплексними системами (переважно кватерніонами). Розпочалася співпраця цих двох науковців, і згодом О. Ф. Герус почав залучати до гіперкомплексних досліджень деяких студентів і викладачів фізико-математичного факультету ЖДУ.
Поступово утворилася команда житомирських гіперкомплексників, яка демонструє досить успішну наукову роботу, зокрема міжнародну співпрацю.
Слід зазначити, що наказом ректора ЖДУ в університеті було утворено спеціальний підрозділ під назвою «Науково-дослідна лабораторія комплексного та гіперкомплексного аналізу».
Сучасні гіперкомплексні дослідження можна поділити на алгебраїчні та аналітичні; останні часто називають гіперкомплексним аналізом у широкому розумінні (тобто математичний аналіз, розглядуваний з задіюванням власне гіперкомплексних чисел.
Щодо алгебраїчних гіперкомплексних досліджень, то українські дослідники приділяють багато

8 уваги питанням про розв'язки гіперкомплексних поліноміальних рівнянь; також характерні (особливо для проф. А. Ф. Турбіна) дослідження щодо конструювання нових гіперкомплексих систем і вивчення їх основних алгебраїчних характеристик. Що ж до гіперкомплексного аналізу, то для українських дослідників характерні такі напрями: гіперкомплексний аналіз у вузькому розумінні (тобто теорія функцій власне гіперкомплексної змінної з акцентом на питання, аналогічні до тих, що виникають при вивченні аналітичних функцій); гіперкомплексний функціональний аналіз