Ім'я файлу: Енергетичні_оцінки_та_перша_теорема (2).docx
Розширення: docx
Розмір: 50кб.
Дата: 12.02.2024
скачати
Пов'язані файли:
Стандарти та програмні засоби для модемів.docx
курсова робота з хімії. УМАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕР
Лабораторна робота 1.docx
Лабораторна робота 3.docx

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут

імені ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО»

Фізико-математичний факультет

(повна назва інституту/факультету)

Кафедра математичної фізики

(повна назва кафедри)

Дрьомов В.В.

Студент групи ОМ-82мн

ЕНЕРГЕТИЧНІ ОЦІНКИ ТА ПЕРША ТЕОРЕМА ПРО ІСНУВАННЯ СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКІВ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ ЕЛІПТИЧНОГО РІВНЯННЯ

Реферат

Київ – 2018

Вступ

Цей реферат базується на матеріалі викладеному у [1].

Метою цього реферату є підготовка матеріалу для виступу на семінарському занятті з дисципліни «Узагальнені розв’язки задач математичної фізики».

Для цього наведемо твердження та позначення які будуть використанні у цьому рефераті.

– відкрита обмежена множина в ;


H – Гілбертів простір;

– простір Соболєва ;

- скалярний добуток в ;

Норма у просторі визначається як: .

Диференціальний оператор L – оператор із частинних похідних другого порядку такого вигляду: .

Диференціальний оператор L називається рівномірно еліптичним на множині U, якщо існує таке число , що для будь якого вектора виконується

для майже всіх x з U.

Надалі будемо розглядати білінійну форму асоційовану з дивергентним оператором вигляду:

, де





.

Нерівність Пуанкаре: (1)

Також наведемо умови теореми Лакса – Мільграма .

Теорема Лакса – Мільгарама. Нехай - білінійна форма, для якої такі, що:

(i)

(ii) ;

- обмежений лінійний функціонал на .

Тоді існує єдиний елемент такий, що виконується рівність:

    1. Енергетичні оцінки

Теорема 2 (Енергетичні оцінки). Існують такі сталі і , що виконуються такі нерівності:





Доведення.



Тоді де , .

Отже твердження (і)доведено.

  1. Використовуючи еліптичність оператора маємо:



За допомогою нерівності Коші з :







З (2) та (4) випливає, що



В (4) выберемо таким, щоб тоді отримаємо



де .

Звідси випливає, що

З (6) і (1) випливає, що:

=>

=>

де твердження (іі).

Теорему доведено.

1.2 Перша теорема про існування слабких розв’язків

Теорема 3. Існує таке число , що для кожного числа і кожної функції існує єдиний слабкий розв’язок крайової задачі

(7)

Доведення.

  1. Візьмемо з твердження (іі) теореми 2. Нехай . Означимо білінійну форму

яка відповідає оператору .

Перевіримо, чи задовольняє умови теореми Лакса – Мільграма:

де ,





Отже білінійна форма задовольняє умовам теореми Лакса – Мільграма.

  1. Оскільки , то покладемо

На підставі теореми Лакса – Мільграма існує єдиний такий, що

, тобто – єдиний розв’язок задачі (7).

Теорему доведено.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

  1. Evans L.C. Partial differential equations. - 1998. - 662p. – (Graduate studies in mathematics. Vol. 19).

скачати

© Усі права захищені
написати до нас