A
W
=
)
(
Відносна частота
n
m
прямує за ймовірністю до числа р, якщо для довіль- ного
0
ε > ймовірність того, що
m
p
n
− < ε прямує до одиниці за
∞
→
n
, тобто lim
1
n
m
P
p
n
→∞
− < ε =
Відносна частота може бути обчислена після того, коли проведено серію експериментів, і, загалом кажучи, вона змінюється, якщо здійснити іншу серію з n експериментів або якщо змінити n. Однак практика показує, що за достатньо великих n для більшості таких серій експериментів відносна частота має властивість стійкості.
Означення. Число p називають
статистичною ймовірністю статистично стійкої події, якщо відносна частота цієї події прямує за ймовірністю до числа
p за
∞
→
n
, тобто
,
∞
→
→
n
p
n
m
p
Зауважимо, що теорія ймовірностей має справу тільки зі статистично стійкими експериментами, і коли кажуть, що ймовірність деякої випадкової події дорівнює, наприклад 0,28, то практично це означає, що у середньому в кожних 100 дослідах ця подія відбувається 28 разів.
1.4.3. Геометричні ймовірності
Нехай Ω – деяка область на прямій, площині або в просторі, А – деяка частина області Ω. В області Ω навмання вибирають точку, вважаючи, що вибір точок області рівноможливий. Імовірність того, що вибрана точка на- лежить А, визначається рівністю mes
( )
mes
A
P A
=
Ω
, де mes , mes
A
Ω – міра (довжина, площа, об’єм) Ω
,
A
13
Приклад 3. У коло радіусом вписано правильний трикутник. Визначити ймовірність того, що навмання поставлена в коло точка потрапить у трикутник.
Розв’язання. Нехай подія А – точка потрапляє у трикутник. Тоді
2 2
3 3
mes
, mes
4
A
S
R
R
∆
=
=
Ω = За означенням геометричної ймовірності mes
3 3
( )
mes
4
A
P A
=
=
Ω
π
1.5.
Теореми додавання ймовірностей
Теореми додавання і множення ймовірностей використовують для ви- значення ймовірностей складних подій, які можна записати через інші події.
Розглянемо теореми додавання для сумісних та несумісних подій.
1.5.1. Теорема додавання для несумісних подій
Означення. Дві події називають
несумісними, якщо вони не можуть од- ночасно настати водному досліді, іншими словами, настання однієї події ви- ключає можливість настання другої.
Означення. Події
k
A
A
A
,
,
,
2 1
K
утворюють
повну групу несумісних подій, якщо
i
j
A
A
= за
1
( ,
1, 2,
, ),
k
i
i
i
j i j
k
A
=
≠
=
= Теорема додавання для несумісних подій. Якщо події А і В несумісні
(А
I
В=
∅
), причому відомі їх імовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми
цих подій дорівнює сумі їх імовірностей:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P
+
=
U
. (1.9)
Доведення. Дійсно, нехай n – кількість усіх елементарних подій у пев- ному досліді; m
1
– кількість елементарних подій, сприятливих події А
m
2
– кількість елементарних подій, сприятливих події В. Тоді настанню події
B
A U
сприяють m
1
+ m
2
елементарних подій. Отже, за класичним означенням
імовірності
14
1 2
1 2
(
)
( )
( )
m
m
m
m
P A
B
P A
P B
n
n
n
+
=
=
+
=
+
U
Наслідок 1. Якщо події А, А, …,
А
k
попарно несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
( )
1 1
k
k
i
i
i
i
P
A
P A
=
=
= ∑
U
Наслідок 2. Ймовірність протилежної до
A
події
A
:
)
(
1
)
(
A
P
A
P
−
=
. (1.10)