Практичне заняття по темі «Дослідження функцій за допомогою похідних»
План заняття:
дослідження функції за допомогою похідних та побудова їх графіків;
використання поняття похідної в економіці.
План дослідження функцій і побудови їхніх графіків
1. Знайти область визначення функції.
2. Встановити парність (непарність) і періодичність функції.
3. Знайти точки розриву функції та їх характер.
4. Визначити точки перетину графіка функції з осями координат.
5. Знайти точки екстремуму та обчислити значення функції у цих точках.
6. Визначити інтервали зростання й спадання функції.
7. Знайти точки перегину, інтервали випуклості й вгнутості.
8. Знайти асимптоти.
9. Знайти граничні значення функції, коли х прямує до граничних точок області визначення.
Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.
Приклад 1. Дослідити функцію
і побудувати її графік.
1. Знаходимо область визначення функції. Функція існує при всіх значеннях х за винятком значення х = 1. Звідси її область визначення
.2. Точка х = 1 є точкою розриву функції. Дослідимо її характер:
.
Як ліворуч, так і праворуч точки х = 1 маємо нескінченний розрив.
Точка х = 1 — точка розриву другого роду.
3. Вертикальні асимптоти. Пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.
4. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат:
з віссю Ох: у = 0,
; з віссю Оу: х = 0,
.5. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання і спадання функції, результати заносимо у табл. 1:
— критична точка. При 
не існує, але у цій точці сама функція теж не існує. Дослідимо критичну точку х = 0 на екстремум:при
;при
.Таблиця 1
| Х |  | 0 | (0, 1) | 1 |  |
 | – | 0 | + | Не існує | – |
  у | | ymin (–1) | | Не існує | |
Проходячи через критичну точку зліва направо, похідна змінює знак з «–» на «+», через це в точці х = 0 функція має мінімум:
.У точці х = 1 функція не визначена. При
, отже, функція на цьому інтервалі спадає.6. Точки перегину та інтервали опуклості й вгнутості графіка функції знаходимо за допомогою другої похідної:
; при х = 1 
не існує, але в цій точці не існує і сама функція.Дослідимо точку
:при
;при
.Друга похідна, проходячи через
, змінює знак, отже, точка перетину кривої з цією абсцисою є точкою перегину.Знайдемо її ординату:
.Таким чином, точка
— точка перегину.У точці х = 1 функція не визначена. При
, значить, графік функції вгнутий.Результати дослідження заносимо у табл. 2.
Таблиця 2
| Х |  |  |  | 1 |  |
 | + | 0 | + | Не існує | + |
| У | | Перегин (– 8/9) | | Не існує | |
7. Рівняння похилої асимптоти знаходимо у вигляді
:
Таким чином, похилою асимптотою є у = 0 (вісь Ох).
На підставі результатів дослідження будуємо графік функції. Для точнішої побудови візьмемо додатково точки на рис. 1:
, (–5; – 0,3), (2; 3), (3; 1,3).
Рис. 1. Графік функції
.
Приклад 2. Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією
(грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць. Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням 
при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють 
(грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною 
; при х = 10 граничні витрати складають 
(грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.Приклад 3. Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош. од.) виражається функцією
. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд грош. од. За формулою еластичність собівартості
.При х = 60
, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6% . Приклад 4. За допомогою досліду були встановлені функції попиту 
та пропозиції 
, де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноважної. а) Рівноважна ціна визначається з умови 
, 
, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од.б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції:
.Для рівноважної ціни р = 2 маємо
.Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.
в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.