Національний університет кораблебудування
імені адмірала Макарова
РЕФЕРАТ
На тему:
ПОВНИЙ ФАКТОРНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
Виконала
Студентка групи: 5161м
Романюк Богдана
Миколаїв 2020
Зміст
ВСТУП
ПОВНИЙ ФАКТОРНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ
ВАСТИВОСТІ ПОВНОГО ФАКТОРНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ ТИПУ 2k
РОЗРАХУНОК КОЕФІЦІЄНТІВ РЕГРЕСІЇ
АПОСТЕРІОРНИЙ АНАЛІЗ
ВИСНОВОК
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
Методи дослідження вимагають великих витрат, засобів та сил, тому що є «пасивними», тобто засновані на черговому варіюванні незалежних змінних в умовах, коли інші намагаються зберегти змінні.
Повний факторний експеримент належить до числа планів, які ефективні при побудові лінійної моделі, але через велику кількість обчислень, він стає менш ефективним за дробний факторний експеримент.
В плануванні експерименту сам експеримент розглядається як об’єкт дослідження та оптимізації. Здійснюється оптимальне керування введенням експерименту, в залежності від характеру вивчає мого об’єкту та цілей дослідження обґрунтовано вибираються тип планування експерименту, метод обробки даних. До різних типів експерименту належать: екстремальний, порівняльний, описовий та інші види. Мета планування експерименту — отримання максимуму інформації при заданих витратах на експеримент чи мінімізація витрат при отримання інформації, якої достатньо для рішення задач. Планування експерименту дозволяє урівняти число дослідів поставленої задачі.
Планування експерименту дозволяє експериментатору підвищити якість праці та надійність отриманих результатів. Експериментальні методи найбільш широко використовуються в промисловості та в науці, мають на меті показати статистичну значущість ефекту впливу певного фактора на вивчаємо залежну змінну.
ПОВНИЙ ФАКТОРНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
ПФЕ виконують з метою побудови математичної регресійної залежності, що об’єднує різні технологічні або інші фактори з параметром, який необхідно визначити. Цей параметр називають функцією мети. Фактори – це параметри, які впливають на суттєве змінення функцій мети. Також впливати на функцію мети може коефіцієнт надлишку повітря та інші чинники, наприклад, конструкційні параметри спалюваного пристрою. Таким чином, зазначене регресійне рівняння повинно пов′язувати всі перелічені фактори і будується шляхом статистичної обробки результатів експериментів, що виконуються в суворо регламентованих послідовностях та комбінаціях значень факторів. Для того, щоб фактори в рівнянні повною мірою віддзеркалювали реальний фізичний процес, що досліджується, вони повинні відповідати певним властивостям. Оскільки використовується поліном першого порядку, то план такого експерименту називають планом першого порядку.
Властивості факторів:
1. Фактор заданий, якщо з його назвою задана область його визначення, тобто значення фактору може бути задане у певному інтервалі;
2. Фактор повинен бути керованим (утримуватися на заданому рівні, незалежно від рівнів інших факторів); 19
3. Операціональним (є послідовність дій, за допомогою яких встановлюються його рівні);
4. Повинна забезпечуватися висока точність заміру фактора;
5. Однозначним (тобто фактор не є функцією інших факторів).
6. Фактори повинні бути сумісними (безпечними, здійсненними).
Перевагою використання планів повного факторного експерименту є те, що вони мають такі властивості:
Ортогональність – це сума рядкових добутків елементів будь – яких стовпчиків матриці дорівнює 0:
Нормування – сума квадратів елементів будь – якого стовпчика дорівнює кількості дослідів:
симетрія – алгебраїчна сума елементів реального стовпчика дорівнює 0:
ротатабельність – дисперсії значень вихідної величини на різних відстанях від центру плану є постійні і мінімальні:
ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ
ПФЕ називається експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів. Вибір плану визначається метою планованої роботи, типом і кількістю факторів, числом рівнів факторів. 20
Повинні бути продумані питання, що стосуються можливого числа дослідів, їх здійсненності, наприклад:
1. бажане число дослідів та які обмеження по числу дослідів;
2. бажаний строк проведення експериментів (тривалість усього дослідження);
3. зразкова тривалість одного досліду
4. вартість і витрати праці на проведення одного досліду серії;
5. бажане число рівнів для одного фактора;
6. можливість виконання паралельних дослідів та їхнє бажане число;
7. можливість проведення паралельних вимірів;
8. бажана стратегія проведення дослідів, (наприклад по одному в день).
При плануванні експерименту значення факторів кодуються шляхом лінійного перетворення координат факторного простору з перенесенням початку координат в нульову точку і вибором масштабів по осях в одиницях інтервалів варіювання факторів. Використовують тут співвідношення
де хi – кодоване значення фактора (безрозмірна величина);
ci - coi – натуральні значення фактора (відповідно поточне значення і на нульовому рівні); μ - натуральне значення інтервалу варіювання факторів (С).
Виходять значення факторів, рівні +1 (верхній рівень) і -1 (нижній рівень).
Розташування експериментальних точок в факторному просторі для повного факторного експерименту при k = 2 і k = 3 показана на рис. 1.1. Як бачимо, точки плану 22 задаються координатами вершин квадрата, а точки плану 23 - координатами вершин куба. За аналогічним принципом розташовуються експериментальні точки при k> 3.
Рисунок 1.1. Розташування експериментальних точок в факторному просторі для повного факторного експерименту
Якщо для двох факторів всі можливі комбінації рівнів легко знайти перебором, то з ростом числа факторів виникає необхідність в деякому прийомі побудови матриць.
Зазвичай використовуються три прийоми, засновані на переході від матриць меншої розмірності до матриць більшої розмірності.
Розглянемо перший прийом. При додаванні нового фактора кожна комбінація рівнів вихідного фактора зустрічається двічі, в поєднанні з верхнім і нижнім рівнями нового фактора. Звідси природно з'являється прийом: записати вихідний план для одного рівня нового фактора, а потім повторити його для іншого рівня. Цей прийом можна застосувати для матриць будь-якої розмірності.
У другому прийомі вводиться правило множення стовпців матриці. При порядковому перемножуванні рівнів вихідної матриці отримуємо додатковий стовпець твори х1 х2, далі повторимо вихідний план, а у стовпці творів знаки поміняємо на зворотний. Цей прийом можна застосувати для побудови матриць будь-якої розмірності, проте він складніше, ніж перший.
Третій прийом заснований на чергуванні знаків. У першому стовпчику знаки змінюються по черзі, у другому стовпці вони чергуються через два рази, в третьому - через чотири, в четвертому - через вісім і т.д. за ступенями двійки.
Таблиця 1.2. Приклад побудови матриць планування р3
| Номер Досліду | Х1 | Х2 | Хз | у |
| 1 | + | + | + | У1 |
| 2 | - | + | + | Y2 |
| 3 | - | - | + | У3 |
| 4 | - | - | + | У4 |
| 5 | + | + | - | У5 |
| 6 | - | + | - | У6 |
| 7 | + | - | - | У7 |
| 8 | - | - | - | У8 |
ВАСТИВОСТІ ПОВНОГО ФАКТОРНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ ТИПУ 2k
Повний факторний експеримент належить до планів, які є найбільш ефективними при побудові лінійних моделей. Ефективність, інакше оптимальність, повного факторного експерименту досягається за рахунок нижче перерахованих його властивостей.
Два властивості слідують безпосередньо з побудови матриці. Перше з них - симетричність щодо центру експерименту - формулюється так: алгебраїчна сума елементів вектора-стовпця кожного фактора дорівнює нулю, або
де i = 1, 2, …, k – номер фактора,
N - число дослідів.
Друга властивість - так зване умова нормування - формулюється так: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів, або
Це наслідок того, що значення факторів в матриці задаються +1 і -1.
Ми розглянули властивості окремих стовпців матриці планування. Розглянемо властивості сукупності стовпців.
Сума почлено творів будь-яких двох вектор-стовпців матриці дорівнює нулю, або
при i – u, а також i, u 0,1,..., k .
Це важлива властивість називається ортогональної матриці планування.
Останнє, четверте властивість називається обертовість, тобто точки в матриці планування підбираються так, що точність прогнозів значень параметра оптимізації однакова на рівних відстанях від центру експерименту і не залежить від напрямку.
Виконання цих умов забезпечує мінімальну дисперсію коефіцієнтів регресії, а й рівність дисперсії. Це полегшує статистичний аналіз результатів експерименту.
РОЗРАХУНОК КОЕФІЦІЄНТІВ РЕГРЕСІЇ
Під терміном "регресія" розуміють рух назад, повернення до попереднього стану. Названий термін ввів у кінці XIX ст. Френсіс Галтон. В результаті проведеного ним дослідження зв'язку між зростом батьків і дітей, виявилося, що наявна обернена залежність. Так, у батьків з дуже високим зростом діти мають менший зріст порівняно з середнім зростом батьків. І, навпаки, у дуже низьких батьків середній зріст дітей вищий. В одному і другому випадку середній зріст дітей прямує (повертається) до середнього зросту населення певної місцевості. Саме такою залежністю і пояснюють вибір терміна "регресія".
Регресійний аналіз (англ. regression analysis) – це метод визначення відокремленого і спільного впливу факторів на результативну ознаку та кількісної оцінки цього впливу шляхом використання відповідних критеріїв.
Регресійний аналіз проводиться на основі побудованого рівняння регресії і визначає внесок кожної незалежної змінної у варіацію досліджуваної (прогнозованої) залежної змінної величини.
Основним завданням регресійного аналізу є визначення впливу факторів на результативний показник (в абсолютних показниках). Передусім для цього необхідно підібрати та обґрунтувати рівняння зв'язку, що відповідає характеру аналітичної стохастичної залежності між досліджуваними ознаками. Рівняння регресії показує як в середньому змінюється результативна ознака (
) під впливом зміни факторних ознак (хі).Побудувавши матрицю планування здійснюють експеримент. Отримавши експериментальні дані розраховують значення коефіцієнтів регресії.
Значення вільного члена (во) беруть як середнє арифметичне всіх значень параметра оптимізації в матриці:
де yu - значення параметра оптимізації в u-м досліді; N – число дослідів в матриці.
Лінійні коефіцієнти регресії розраховують за формулою
де хiu - кодоване значення фактора хi в н-му досліді.
Коефіцієнти регресії, що характеризують парне взаємодія факторів, знаходять за формулою
Розглянемо приклад розрахунку коефіцієнтів регресії для планування 22, матриця планування якої наведена в табл. 1.2
Розглянемо рівняння регресії для k = 3.
АПОСТЕРІОРНИЙ АНАЛІЗ
Аналіз рівняння: лінійні ефекти та ефекти взаємодій. Лінійні ефекти – перед х1, х2……х3 в рівнянні присутні коефіцієнти. В залежності від їх величини та знаку перед коефіцієнтами можна оцінювати їх вплив на цільову функцію рівняння. Аналіз рівняння виконують починаючи з побудови рейтингу впливу коефіцієнтів при лінійних факторах , тобто при х1,х2, х3. Найбільше значення по модулю має коефіцієнт при найбільш впливовому факторі. 2. Наступний етап - визначення напряму функціонального впливу. Якщо коефіцієнт при факторі має знак «плюс», то вплив прямо пропорційний, якщо «мінус» - зворотньо – пропорційний. Слід зауважити, що отримані шляхом регресійного аналізу рівняння можуть адекватно відображати функціональний зв′язок досліджуваних факторів та цільової функції для конкретних умов виконання технологічного процесу та не можуть бути узагальнені для усіх випадків реалізації аналогічних процесів. При зміні діапазону значень досліджуваних факторів їх вплив на цільову функцію (у), тобто величини коефіцієнтів та їх знаків будуть змінюватися.
Висновок
ПФЕ виконують з метою побудови математичної регресійної залежності, що об’єднує різні технологічні або інші фактори з параметром, який необхідно визначити.
Для побудови лінійних і неповних статичних математичних моделей застосовують повний факторний експеримент (ПФЕ), що володіє ортогональною матрицею планування. При плануванні за схемою ПФЕ реалізуються всі можливі комбінації факторів на всіх обраних для дослідження рівнях.
Список літератури
Автореф. дис... канд. техн. наук: 05.13.03 / Г. В. Табунщик; Харк. нац. ун-т радіоелектрон. - Х., 2004. - 19 c. - укp.
Аністратенко В.О., Федоров В.Г. "Математичне планування експериментів в АПК":Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993.-375 с.: іл. ISBN 5-11-002551-1
Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. - М.: Мир, 1977. – 541 с.
Адлер Ю.П., Маркова ЕВ., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.
Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. - М.: Металлургия, 1976 - 128 с.