ПОНЯТИЕ
Закон великих чисел – у математичному значенні – закон теорії ймовірності, сформульованої у формі теорем Бернуллі, Пуассона і Чебишева з їхніми узагальненнями. Закон великих чисел встановлює стійкість середніх характеристик великої кількості дослідів, тобто наближених характеристик до деяких сталих величин. Названі теореми набули широкого застосування, започаткувавши один із центральних розділів теорії імовірності – граничного розподілу, а також стали одним із розділів математичної статистики.
Водночас закон великих чисел у практичних дослідженнях набув закону статистики, є основою для розв'язку такої задачі за спостережуваними у реальності наслідками або подіями (явищами) знайти закони і причини цих подій. Оскільки кожна подія має свою причину, тобто породжена дією постійних і водночас випадкових причин, то закон виявляється «у формі випадковості», тобто у вигляді хаотичного коливного (розсіяного) ряду чисел. Відкриття такого закону можливе лише на основі розгляду відповідних йому подій у сукупності й обчисленні масових або середніх спостережень по них при використанні великих чисел. Однак аналіз подій у сукупності, обсяг яких завжди обмежений, дає можливість знаходити масові властивості та масові закономірності, які лише за певних умов і до того ж наближено можуть стати вираженням законів цих подій. Тобто оскільки на практиці число спроб при проведенні спостережень скінченне, то статистична величина неточно відображає закон цих подій, вона неминуче супроводжується випадковою похибкою, можливо, величина її може бути обчислена за допомогою методів теорії імовірності. Слід врахувати, що за однакового числа спостережень закономірність даних подій тим точніша, чим менша його розсіяність (дисперсія) тобто закономірність одиноких подій відображається менш точно, ніж масових (частіших) подій. Отже, за поодинокими подіями, як і за подіями з великою дисперсією, потрібно проводити велику кількість спостережень. Будь-який статистичний ряд – це коливний ряд чисел, і закон подій виражається у вигляді тенденції, що проходить між коливаннями цих чисел. Чим більше число однорідних спостережень, тим більш вираженим буде цей ряд чисел і тим точнішого виразу набуде тенденція. Збільшуючи число таких спостережень і переходячи до границі, можна отримати вираз тенденції без випадкових коливань, тобто вираз закону, що лежить в основі даної події і має назву емпіричного закону. Таку тенденцію можна математично описати функцією, наприклад, поліномом другого ступеня у(х)=ах2+вх+с, в якому сталі а, в, с – середні величини, а функція у набуватиме середнього значення (у) при різних значеннях аргументу х ( 0, 1, n). Середні значення (у) наближено виражатимуть задану тенденцію. Закон великих чисел широко застосовують в економіці, техніці та інших галузях знань. Зокрема, він є основою відомого правила, яким користуються експериментатори для оцінки невідомої величини слід взяти середнє арифметичне великого числа результатів її вимірювань. Закон великих чисел економічній статистиці зумовлює взаємо-погашення випадкових індивідуальних відхилень рівнів масових однорідних соціально-економічних явищ і процесів від середньої їх величини, в якій за достатньо великої кількості одиниць виявляється закономірність. Отже, закон великих чисел пов'язує точність статистичних висновків про закони подій (явищ) із числом, яке покладено в основу їх спостережень.
Джерело:
Економічна енциклопедія: У трьох томах. Т. 1. / Редкол.: …С. В. Мочерний (відп. ред.) та ін. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 864 с.
Перша форма нерівності Чебишова.
Для довільної випадкової величини X, яка приймає невід'ємні значення та має скінченне математичне сподівання
. Дійсно, якщо Х ? дискретна випадкова величина, то
Якщо Х ? неперервна випадкова величина, f(x) ? щільність її розподілу, то
Наслідок. Якщо Х приймає лише невід'ємні значення
то
Друга форма нерівності Чебишова.Якщо випадкова величина Х має скінчені математичне сподівання та дисперсію, то для довільного
має місце нерівність
(9.3)Для послідовності незалежних випробувань за схемою Бернуллі
нерівність (9.3) має вигляд
(9.4)Нерівності Чебишова дозволяють довести граничну теорему Бернуллі та інші важливі граничні теореми про стійкість середніх.
Теорема Бернуллі.
Нехай ймовірність появи події А в кожному із п незалежних повторних випробувань дорівнює р, т ? число появи події А (частота події) в п випробуваннях. Тоді відносна частота появи події
збігається за ймовірністю до ймовірності р ? “успіху” в одному випробуванні: 
Центральна гранична теорема Ляпунова. Якщо у послідовності
випадкові величини незалежні, однаково розподілені і існують скінченні 
та 
то закон розподілу їх стандартизованого середнього арифметичного 
при 
прямує за фмовірністю до нормального розподілу 
, тобто функція розподілу 
прямує до функції Лапласа 
:
Приклади розв’язання задач на закони великих чисел
1. Застосовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність того, що
якщо 
Розв’язування
? За нерівністю Чебишова маємо
?2. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу
| Х | 0,3 | 0,6 |
| Р | 0,2 | 0,8 |
Застосовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність того, що
.Розв’язування
? Знайдемо математичне сподівання та дисперсію величини Х:
Тоді за нерівністю Чебишова маємо
?3. Прилад складається з 10 незалежно працюючих елементів. Ймовірність відмови кожного елемента за час Т дорівнює 0,05. За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили, і середнім числом (математичним сподіванням) відмов за час Т виявиться: а) менше двох; б) не менше двох.
Розв’язування
? Нехай Х ? число елементів, що відмовили за час Т (дискретна випадкова величина). Тоді відомо, що
а) Застосовуючи нерівність Чебишова отримаємо
б) Події
і 
протилежні, отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці. Звідси маємо
?4. Послідовність незалежним випадкових величин
задана законом розподілу| Хn | a | -a |
| P | n/(2n+1) | (n+1)/(2n+1) |
Чи застосовна до цієї послідовності теорема Чебишова (закон великих чисел)?
Розв’язування
? Для того, щоб для послідовності випадкових величин можна було застосувати терему Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежними, мали скінченне математичне сподівання і рівномірно обмежену дисперсію.
Оскільки за умовою випадкові величини незалежні, то вони й попарно незалежні.
Перевіримо, чи будуть скінченними математичні сподівання цих величин:
Отже, математичне сподівання кожної випадкової величини обмежене числом
, тобто є скінченним.Перевіримо, чи виконується вимога рівномірної обмеженості дисперсії. Запишемо закон розподілу
:| Хn2 | a2 |
| P | (2n+1)/(2n+1)=1 |
Знайдемо математичне сподівання
:
Тоді
Отже, дисперсії рівномірно обмежені числом
Таким чином, оскільки всі вимоги виконані, то до даної послідовності випадкових величин теорема Чебишова застосовна. ?
5. Нехай випадкова величина
дорівнює сумі очок, що з’явилися при n підкиданнях грального кубика. Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити зверху
Розв’язування
? Нехай
? це випадкова величина, що дорівнює кількості очок, що випали при k-ому підкиданні грального кубика. Тоді , 
? незалежні випадкові величини і 
За умовою задачі 
Застосовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, одержимо:
Отже,
З нерівності Чебишова одержимо:
?Висновок
Значення факту дії закону великих чисел велике для будь-якої сучасної науки, в зокрема і особливо - для наукової розробки теорії статистики і методів статистичного пізнання. Дія закону великих чисел має загальне значення для самих об'єктів статистичного вивчення - статистичних сукупностей з їх зведеними ознаками і масовими закономірностями. На планомірному використанні дії закону великих чисел при випадковому відборі одиниць масової сукупності для утворення вибірки заснований важливий статистичний метод вибіркового спостереження.
У даній контрольній роботі я спробувала розкрити тему В«закону великих чиселВ». Тенденції і закономірності, розкриті за допомогою закону великих чисел, мають силу лише як масові тенденції, але не як закони для кожного окремого випадку. p> Принцип математичної статистики, згідно з яким спільна дія набору випадкових факторів може призвести до невипадковий (детерминированному) результату. Першим прикладом дії цього принципу може служити зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань.
Найпростіший приклад - досвід з киданням монети. Теоретично випадання орла чи решки равновероятно. Те, якою стороною впаде монета, залежить від безлічі випадкових факторів: як вона буде лежати на долоні у експериментатора, сили кидка, висоти падіння, швидкості і т. д. Проте при досить великому числі дослідів незалежно від дії цих факторів ми завжди можемо стверджувати, що емпірична (дослідна) ймовірність буде близька до теоретичної.
Таким чином, можна сказати, що математична статистика-це не просто наука, а ми живемо і стикаємося з нею щодня.
Список літератури
1. Слуцький Є.Є., До питання про законі великих чисел, «³сник статистикиВ», 1999;
2. Ястремський Б.С., Праці з статистику ..., М., 2005;
3. Лівшиць Ф.Д., Закон великих (середніх) чисел в суспільних явищах, М. 2007;
4. Пасхавер І.С. Закон великих чисел і закономірності масового процесу, М., 2006;
5. Малий І.Г. Запитання статистичної методології та статистико-економічного аналіза.М. 2007;
6. Малий І.Г., Запитання статистики в В«КапіталіВ» Карла Маркса, М., 2008;
7. Лівшиць Ф.Д Закон великих чисел. М. 2007;
8. Мхітарян В.С. В«СтатистикаВ»: підручник для студентів середньо професійної освіти. - М. 2004. br/>
ТЕОРЕМИ
Теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві масовим випадковим явищам. Закономірності виявляються при великій кількості випадкових явищ, що відбуваються при однакових умовах.
Це означає, що характеристики випадкових подій і випадкових величин в цих умовах стають стійкими: середній їх результат (наприклад, частота події, середні значення випадкової величини) перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем визначеності. Вказана особливість є суттю “закону великих чисел”.
Розглянемо групу теорем, що присвячені граничним законам розподілу. Нехай ξ випадкова величина з математичним сподіванням Мξ та дисперсією
.В подальшому при доведенні теорем будемо користуватись нерівністю Чебишова, що доведена в теоремі 1.
Теорема 1. Ймовірность того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання за абсолютною величиною не менше будь-якого додатного числа ε, що не перевищує
: 
.Доведення.
Нехай ξ – неперервна в. в. із щільністю розподілу
(х). Тоді
.Позначимо АВ:
. Виділимо на числовій осі праворуч і ліворуч від математичного сподівання 
відрізки, кожен довжиною ε. Якщо у виразі для інтеграл по всій осі 0х замінити інтегралом по області, який лежить зовні відрізка AB, то, оскільки під інтегралом знаходиться невід’ємна функція, величина інтеграла може тільки зменшитися, тобто:
.Замінюючи
під знаком інтеграла на ε, ми знову можемо тільки зменшити величину інтеграла.
.Інтеграл в правій частині визначає ймовірність того, що випадкова величина ξ прийме значення, яке знаходяться за межами відрізка АВ:
.Звідки:
.Нерівність Чебишова може бути записана в іншій формі, для протилежної події. Імовірність абсолютної величини відхилення в. в. від математичного сподівання, менша
, визначається за формулою: 
.Зауваження. Нерівність Чебишова має для практики обмежене значення, оскільки часто дає грубу оцінку.
Нехай, наприклад,
, тоді одержимо:
.Зрозуміло, що жодна йвомірність не може бути більшою не тільки чотирьох, але навіть одиниці. Якщо, наприклад
, то: 
. Це вже непогана оцінка імовірності. Таким чином, бачимо, що нерівність Чебишова корисна лише при відносно великих ε.Теоретичне значення нерівності Чебишова дуже велике. Нижче ми скористаємось цією нерівністю при доведенні теореми Чебишова.
Приклад. Дано випадкову величину
з математичним сподіванням 
і дисперсією 
. Оцінити зверху ймовірність того, що в. в. 
відхилиться від свого математичного сподівання не менше, ніж на 
.Розв’язання.
Вважаючи в нерівності Чебишова
, одержимо:
,імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання вийде за межі трьох середніх квадратичних відхилень, не може бути більша
.Нерівність Чебишова дає тільки верхню границю імовірності даного відхилення. Вище цієї межі ймовірність не може бути.
В більшості випадків імовірність того, що величина
вийде за межі відрізка 
, значно менша 
. Наприклад, для нормального закону ця ймовірність дорівнює 0,003. На практиці найчастіше ми маємо справу з випадковими величинами, значення яких дуже рідко виходять за межі 
. Якщо закон розподілу випадкової величини невідомий, а відомі тільки
і 
, відрізок 
вважають відрізком практично можливих значень випадкової величини (так зване правило “трьох сігм”).5.1. Закон великих чисел Чебишова
Теорема 2. Нехай
, 
, …
— послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії, тобто 
для будь-якого i. Тоді яке б не було 
справедливе співвідношення:
.Зміст закону великих чисел Чебишова полягає в нижчевикладеному. Якщо окрема випадкова величина приймає значення, що дуже відрізняється від математичного сподівання, середнє арифметичне великого числа випадкових величин з імовірністю, близькою до одиниці, приймає значення, що мало відрізняється від середнього арифметичного їх математичних сподівань.
Доведення.
Нехай
, тобто середнє арифметичне n випадкових величин. Випадкова величина має математичне сподівання:
і дисперсію
.Використано властивості математичного сподівання і дисперсії. Застосовуючи до випадкової величини нерівність Чебишова, знайдемо, що
, тому
Оскільки
при будь-якому i, отже, 
.Переходячи до границі при
, маємо 
.Окремий випадок закону великих чисел Чебишова
Теорема 1. Нехай
‑ послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії (
) і однакові математичні сподівання 
. Тоді, яке б не було , справедливе співвідношення:
,оскільки:
.Зауваження. Кажуть, що випадкова величина
збігається за ймовірністю до числа А, якщо при як завгодно малому імовірность нерівності 
із збільшенням n необмежено наближається до одиниці. Збіжність за імовірністю не означає, що 
. Дійсно, в останньому випадку нерівність виконується для всіх достатньо великих значень n. У разі збіжності за ймовірністю ця нерівність для окремих як завгодно великих значень n може не виконуватися. Проте невиконання нерівності для великих значень n подія дуже рідкісна (малоімовірна).Буручи це до уваги, окремий випадок закону великих чисел Чебишова можна сформулювати так.
Окремий випадок закону великих чисел Чебишова
Середнє арифметичне
попарно незалежних випадкових величин , що мають обмежені в сукупності дисперсії і однакові математичні сподівання 
, збігається за імовірністю до а.Зміст окремого випадку закону великих чисел Чебишова. Нехай потрібно знайти дійсне значення а деякої величини, наприклад, розмір деякої деталі. Для цього проводемо ряд незалежних один від одного вимірювань. Будь-яке вимірювання супроводжується певною похибкою. Тому кожен можливий результат вимірювання є випадкова величина
(індекс і ‑ номер вимірювання).Припустимо, що в кожному вимірюванні немає систематичної похибки, тобто відхилення від істинного значення а вимірюваної величини в той чи інший бік рівноймовірні. В цьому випадку математичні сподівання всіх випадкових величин
однакові і дорівнюють вимірюваній величині а, тобто .Припустимо, що вимірювання проводяться з деякою гарантованою точністю. Це означає, що для всіх вимірювань
.Таким чином, ми знаходимося в умовах закону великих чисел Чебишова, а тому, якщо число вимірювань достатньо велике, то з практичною достовірністю можна стверджувати, що яке б не було
, середнє арифметичне результатів вимірювань відрізняється від дійсного значення а менше, ніж на .