План-конспект уроку з алгебри та початків аналізу для групи с-21 Тема уроку: Показникові рівняння. Мета уроку

Ім'я файлу: 29.Показникові рівняння.docx
Розширення: docx
Розмір: 91кб.
Дата: 29.08.2020
скачати

План-конспект уроку

з алгебри та початків аналізу

для групи С-21

Тема уроку: Показникові рівняння.

Мета уроку: Формування умінь учнів розв'язувати найпростіші показникові рівняння; розв'язувати показникові рівняння способом зведення до спільної основи; способом винесення за дужки спільного множника; способом зведення до спільного показника; графічним способом

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Учитель відповідає на питання учнів, що виникли в процесі виконання домашніх завдань.

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

!Показниковими називаються рівняння, у яких невідоме міститься в показнику степеня при постійних основах.

Наприклад. Рівняння 2^х + 3 = 0; 3^х+1 – 3^х – 1 = 0 є показниковими.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння а^х = b, де а > 0, а ≠ 1, Оскільки множина значень функції у = a^х — множина додатних чисел, то рівняння a^х = b:

1) має один корінь, якщо b > 0 (рис. 152);

2) не має коренів, якщо b < 0 (рис. 153).


Рис. 152		Рис. 153

Для того щоб розв'язати рівняння a^х = b, де а > 0, а ≠ 1, b > О, треба b подати у вигляді b = а^c, тоді будемо мати а^x = a^c, звідси х = с.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 5^х = 125.

Розв'язання

Оскільки 5^х = 125, а 125 = 5³, то маємо 5^х = 5³, звідси х = 3.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння

= 49 .

Розв'язання

Оскільки 49 = 7² =

, то

=

, звідси х = – 2.

Відповідь: -2.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння

.

Розв'язання

Оскільки 1 = 15⁰, то

, х² – 5х + 6 = 0, звідси х₁ = 2, х₂ = 3.

Відповідь: 2; 3.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння 2 ^х^{- 2} = -2.

Розв'язання

Оскільки 2 ^х^{- 2} > 0 при всіх значеннях х, то рівняння коренів не має. Відповідь: немає коренів.
Розглянемо деякі способи розв'язування показникових рівнянь.

Спосіб приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння виду

.

Як відомо, показникова функція у = а^х, а > 0 і а ≠ 1 монотонна, тому кожне своє значення вона приймає тільки при одному значенні аргументу. Із рівності

випливає, що f(x) = g(x).
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 2^х · 5^х = 0,1(10 ^х^{– 1})³.

Розв'язання

2^х · 5^х = 0,1(10 ^х^{– 1})³; 10^х = 10^-1 · 10³^х^– ³; 10^х = 10³^х^{– 4}; х = 3х - 4; х = 2.

Відповідь: 2.

2. Спосіб винесення спільного множника за дужки.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3^х - 2 · 3^{х –}² = 63.

Розв'язання

3^х - 2 · 3^{х –}² = 63; 3^х^{– 2}(3² – 2) = 63; 3^х^{– 2}· 7 = 63; 3^х^{– 2}= 9; х – 2 = 2; х = 4.

Відповідь: 4.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння 5²^х^{– 1} – 5²^х + 2²^х + 2²^х^{+ 2} = 0.

Розв'язання

5²^х^{– 1} – 5²^х + 2²^х + 2²^х^{+ 2} = 0; 2²^x(1+ 2²) = 5²^х(1 – 5^–1); 2²^х · 5 = 5²^х ·

;

;

; 2х = 2; x = l.

Відповідь: 1.
3. Спосіб приведення рівняння до квадратного.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 49^х – 8 · 7^х + 7 = 0.

Розв'язання

49^х – 8 · 7^х + 7 = 0; (7²)^x – 8 · 7^х + 7 = 0; (7^х)² – 8 · 7^х + 7 = 0.

Нехай 7^х = t, тоді t² –8t + 7 = 0; t₁ = 7; t₂ = 1.

Отже: 1) 7^х = 7; х = 1; 2) 7^х= 1;7^х = 7⁰; х = 0.

Відповідь: 1; 0.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння (№ 1 (47)) 3 · 16^х + 2 · 81^х = 5 · 36^х.

Розв'язання

3 · 4²^x + 2 · 9²^x = 5 · 4^х · 9^х;

;

.

Заміна

= у , тоді 3 y² – 5y + 2 = 0, звідси y₁ =

; y₂ = 1.

Отже: 1)

;

; 2х = 1; х =

; 2)

= 1; х = 0.

В ідповідь: 0;

.

4. Графічний спосіб розв'язування показникових рівнянь.

Приклад. Розв'яжіть графічно рівняння

= х +1.

Розв'язання

Будуємо графіки функцій у =

, у = х + 1 в одній системі координат. Графіки функцій у =

, у = х + 1 перетинаються в точці, абсциса якої х = 0 (рис. 154).

Відповідь: х = 0.

8. Розв'яжіть рівняння графічно:

б)

= х + 3; в) 4^х= 5 – х; г) 3 ^–^х = -

.

Відповідь: а) 1; б) -1; в) 1; г) -1.
III. Набуття умінь у розв'язуванні простіших показникових рівнянь.

Початковий рівень

Які з чисел 0; 1; 2 є коренями рівняння 5^х ⁺ ² = 125?

Відповідь: 1.

2. Розв'яжіть рівняння: а)

; б) 5²^х^{– 1}= 5³;

Відповідь: a) 3; 6) 0; в) 2; г) 5.

3. Розв'яжіть рівняння: а) 2^х = 32; б) 10^х = 1000; в) 3^х =

; г) 5^х =

; д) 13^х = 1.

Відповідь: а) 5; б) 3; в) -2; г) -2; д) 0.

Середній рівень

1. Розв'язати рівняння: а) 2 ^х^{– 1}= 4; б) 0,5 ²^х^{– 1}= 0,125; в)

;

Відповідь: а) 3; б) 2; в) 3; г) -1.

2. Розв'яжіть рівняння: а) 2^х - 2 = 0; б) 3^х - 1 = 0; в) 5^{х - 1} – 1 = 0; г)

+1 = 0.

Відповіді: а) 1; б) 0; в) 1; г) коренів немає.

3. Розв'яжіть рівняння: а) 3^х · 3 = 81; б) 2 · 2^х = 32; в) 5 · 3^х = 15; г) 7 · 2^х = 28.

Відповідь: а) 3; б) 4; в) 1; г) 2.

Достатній рівень

1. Розв'яжіть рівняння: б)

; в)

; г)

.

Відповідь: а) -4; 3; б)-3; в) 3;-1; г)

.

Розв'яжіть рівняння:

а)

; б)

; в)

= 4 ; г)

:2^х = 0,01.

Відповідь: а) 3; б) 4; в) 4; г) 2.

3. Розв'яжіть рівняння: а)

; б)

.

Відповідь: а) -3; 1; б) 1; 5.

Високий рівень

Розв'яжіть рівняння:

а)

; б)

; в)

; г)

.

Відповідь: а) 0; 1; б) -1; в) 2; г) -2.

2. Розв'яжіть рівняння: а)

; б)

.

Відповідь: а) -1; 1; б) 0; 4.

3. Розв'яжіть рівняння: а)

; б)

.

Відповідь: а) 0; б) 0.
IV. Підсумок уроку.
V. Домашнє завдання.

1. Розділ ,,Показникові рівняння ˮ.

2. Розв'яжіть рівняння: а)

; б) 7^х^{– 2} = 7³; в) 27^х =

; г) ;

3. Розв'яжіть рівняння графічно: а) 3^х = 4 – х.

© Усі права захищені
написати до нас