Ім'я файлу: вишка 2 .docx Розширення: docx Розмір: 2738кб. Дата: 22.02.2022 скачати Пов'язані файли: Нарис Збігнєв.rtf Курсач Вадімов.doc Питання до колоквіуму 1. Яке число називають комплексним? 1Число виду z = a+b*i де a та b - дійсні числа i-уявна одиниця. 2. Дійсна частина комплексного числа. Уявна частина комплексного числа. Позначення та зміст. Елемент z = x + yi називають комплексним числом, x – його дійсною, а y – уявною частиною, i-уявна одиниця. Re z = x - дійсна частина; Im z - уявна частина 3. Модуль комплексного числа. Сума та різниця комплексних чисел. Добуток комплексних чисел. Ділення комплексних чисел 2 4. Яке число називається спряженим до комплексного числа? Геометричне відображення комплексного числа. Алгебраїчна форма комплексного числа. - спряжене z = x + iy - алгебраїчна форма комплексного числа. 5. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. φ - аргумент комплексного числа. φ=arg(z); arg(z)=arctg(y/x) 6. Показникова форма комплексного числа.Формула Ейлера. 7. Показникова функція з комплексним показником 8. Піднесення комплексного числа до n-ї степені.Корінь n-ї степені із комплексного числа. 9. Поняття функції комплексної змінної.Тригонометричні функції комплексної змінної. Комплексною називається функція, в якій аргумент та залежна змінна є комплексними числами. Або точніше, комплексна функція — це функція, область визначення якої D є підмножиною комплексної площини, і область значень функції E також підмножина комплексної площини. Довільне комплексне число можна записати в тригонометричній формі 𝑧 = ρ(cos φ + 𝑖 sin𝜑), де ρ = ׀z׀ , φ=argz 10. Границя функції комплексної змінної в точці.Неперервність функції комплексної змінної.Диференційованість функції комплексної змінної в точці. Поняття границі для послідовності і функції вводиться так само, як і в випадку дійсних чисел, з заміною абсолютної величини на комплексний модуль. Якщо , то і Для того, щоб функція була диференційована в точці необхідно і достатньо, щоб виконувались умови Коші-Рімана: + і 11. Означення похідної функції f(z) в точці z? Правила диференціювання функції комплексної змінної. + 12. Умови існування похідної функції комплексної змінної в точці (умови Коші-Рімана). Необхідна і достатня умова існування похідної: для того щоб ф-ія f(z)=f(x+iy)=U(x;y)+iV(x;y) визначена в деякій області G була диференційована в точці z цієї області, необхідно і достатньо щоб ф-ія U(x;y) та V(x;y) були диференційовані у точці (x;y) та виконувались умови КошіРімана: 13. Інтегрування функції комплексної змінної. 14. Інтегрування функції комплексної змінної. Теорема Коші 15. Поняття криволінійного інтегралу Криволінійним інтегралом називається інтеграл областю інтегрування якого є крива. Є криволінійні інтеграли 1 та 2 роду. 16. Дати означення гладкої та кусково-гладкої кривої Криву будемо називати гладкою, якщо функції, які її описують неперервні і мають неперервні похідні. Криву будемо називати кусково-гладкою, якщо вона складається з скінченного числа гладких кривих 17. Криволінійний інтеграл 1-го роду 18. Властивості криволінійних інтегралів 1-го роду (по довжині дуги) 1) Криволінійний інтеграл 1-го роду не залежить від напрямку шляху інтегрування 2) Криволінійний інтеграл 1-го роду має властивість лінійності 3) Якщо криву інтегрування K розбито на дві частини K1 і K2 , то 19. Криволінійний інтеграл 2-го роду (По координатам) 20. Властивості криволінійних інтегралів 2-го роду 1) Криволінійний інтеграл 2-роду змінює свій знак на протилежний при зміні напрямку шляху інтегрування . 2) . Решта властивостей аналогічні властивостям криволінійного інтеграла першого роду . 21. Фізичний зміст криволінійного інтегралу 2-го роду 22. Формула Гріна. Ця формула пов’язує подвійний інтеграл по області і криволінійний інтеграл по границі області. Якщо функції P(x, y),Q(x, y) неперервні і мають неперервні частинні похідні в замкненій однозв’язній області G , що лежить в площині OXY і обмежена кусково-гладкою кривою L, то де інтегрування по контуру L виконується в додатному напрямку його обходу 23. Поверхневі інтеграли першого роду. Обчислення. Геометричний і фізичний зміст. Поверхневі інтеграли 1-го роду застосовуються при обчисленні площі деякої обмеженої, чи, можливо, деякої і необмеженої поверхні, маси цього кусочка поверхні при заданій густині маси, координат центра ваги поверхні, моментів інерції поверхні з розподіленою густиною маси 24. Поверхневі інтеграли другого роду. Обчислення. Знаходження поверхневого інтегралу другого роду полягає в обчисленні подвійних інтегралів по орієнтованих поверхнях від наперед заданих функцій. 25. Потік векторного поля. Потоком векторного поля a(M) , т.М( x,y,z), М належить S , через поверхню S за напрямком одиничного вектора нормалі ( поверхні S називається поверхневий інтеграл ІІ роду. 26. Теорема Остроградського .Дивергенція векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса пов’язує потрійний інтеграл по просторовій області із поверхневим інтегралом по замкненій поверхні, яка обмежує цю область. Нехай замкнена область 𝐺 обмежена гладкою або кусково-гладкою поверхнею 𝜍, а функції Px, y,z, Qx, y,z, Rx, y,z неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в даній області. Тоді має місце така формула, яка називається формулою Остроградського-Гаусса. —----------------------------- 27. Соленоїдальні поля. Гармонійне векторне поле. Соленоїдальне векторне поле називається поле в області простору V , якщо у кожній точці цієї області : div a(M) = 0; Гармонійне поле задовольняє умови div a(M) = 0 i rot a(M) = 0; 28. Теорема Стокса. Теорема Стокса зв'язує інтеграли різного порядку, подібно до теореми Гауса–Остроградського в електростатиці. Вона дозволяє оперативно переходити від лінійного інтеграла до поверхневого, і навпаки, що в ряді випадків, наприклад, при розв'язуванні прямої задачі магнітостатики, суттєво полегшує розрахунки. 29. Ротор векторного поля. Потенціальне поле. Потенціал. 1 2 |