Ім'я файлу: вишка 2 .docx
Розширення: docx
Розмір: 2738кб.
Дата: 22.02.2022
скачати
Пов'язані файли:
Нарис Збігнєв.rtf
Курсач Вадімов.doc

Питання до колоквіуму

1. Яке число називають комплексним?

1Число виду z = a+b*i де a та b - дійсні числа i-уявна одиниця.

2. Дійсна частина комплексного числа. Уявна частина комплексного числа. Позначення та зміст.

Елемент z = x + yi називають комплексним числом, x – його дійсною, а y – уявною частиною, i-уявна одиниця.

Re z = x - дійсна частина; Im z - уявна частина

3. Модуль комплексного числа. Сума та різниця комплексних чисел. Добуток комплексних чисел. Ділення комплексних чисел









2
4. Яке число називається спряженим до комплексного числа? Геометричне відображення комплексного числа. Алгебраїчна форма комплексного числа.

- спряжене

z = x + iy - алгебраїчна форма комплексного числа.



5. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа.

φ - аргумент комплексного числа. φ=arg(z); arg(z)=arctg(y/x)



6. Показникова форма комплексного числа.Формула Ейлера.



7. Показникова функція з комплексним показником



8. Піднесення комплексного числа до n-ї степені.Корінь n-ї степені із комплексного числа.


9. Поняття функції комплексної змінної.Тригонометричні функції комплексної змінної.

Комплексною називається функція, в якій аргумент та залежна змінна є комплексними числами. Або точніше, комплексна функція — це функція, область визначення якої D є підмножиною комплексної площини, і область значень функції E також підмножина комплексної площини.

Довільне комплексне число можна записати в тригонометричній формі

𝑧 = ρ(cos φ + 𝑖 sin𝜑), де ρ = ׀z׀ , φ=argz

10. Границя функції комплексної змінної в точці.Неперервність функції комплексної змінної.Диференційованість функції комплексної змінної в точці.

Поняття границі для послідовності і функції вводиться так само, як і в випадку дійсних чисел, з заміною абсолютної величини на комплексний модуль. Якщо , то і



Для того, щоб функція була диференційована в точці необхідно і достатньо, щоб виконувались умови Коші-Рімана:

+

і
11. Означення похідної функції f(z) в точці z? Правила диференціювання функції комплексної змінної.



+
12. Умови існування похідної функції комплексної змінної в точці (умови Коші-Рімана).

Необхідна і достатня умова існування похідної: для того щоб ф-ія f(z)=f(x+iy)=U(x;y)+iV(x;y) визначена в деякій області G була диференційована в точці z цієї області, необхідно і достатньо щоб ф-ія U(x;y) та V(x;y) були диференційовані у точці (x;y) та виконувались умови КошіРімана:



13. Інтегрування функції комплексної змінної.



14. Інтегрування функції комплексної змінної. Теорема Коші





15. Поняття криволінійного інтегралу

Криволінійним інтегралом називається інтеграл областю інтегрування якого є крива. Є криволінійні інтеграли 1 та 2 роду.

16. Дати означення гладкої та кусково-гладкої кривої

Криву будемо називати гладкою, якщо функції, які її описують неперервні і мають неперервні похідні. Криву будемо називати кусково-гладкою, якщо вона складається з скінченного числа гладких кривих

17. Криволінійний інтеграл 1-го роду



18. Властивості криволінійних інтегралів 1-го роду (по довжині дуги)

1) Криволінійний інтеграл 1-го роду не залежить від напрямку шляху інтегрування



2) Криволінійний інтеграл 1-го роду має властивість лінійності



3) Якщо криву інтегрування K розбито на дві частини K1 і K2 , то



19. Криволінійний інтеграл 2-го роду (По координатам)


20. Властивості криволінійних інтегралів 2-го роду

1) Криволінійний інтеграл 2-роду змінює свій знак на протилежний при зміні напрямку шляху інтегрування .



2) .

Решта властивостей аналогічні властивостям криволінійного інтеграла першого роду .

21. Фізичний зміст криволінійного інтегралу 2-го роду



22. Формула Гріна.

Ця формула пов’язує подвійний інтеграл по області і криволінійний інтеграл по границі області.

Якщо функції P(x, y),Q(x, y) неперервні і мають неперервні частинні похідні в замкненій однозв’язній області G , що лежить в площині OXY і обмежена кусково-гладкою кривою L, то де інтегрування по контуру L виконується в додатному напрямку його обходу



23. Поверхневі інтеграли першого роду. Обчислення. Геометричний і фізичний зміст.

Поверхневі інтеграли 1-го роду застосовуються при обчисленні площі деякої обмеженої, чи, можливо, деякої і необмеженої поверхні, маси цього кусочка поверхні при заданій густині маси, координат центра ваги поверхні, моментів інерції поверхні з розподіленою густиною маси


24. Поверхневі інтеграли другого роду. Обчислення.

Знаходження поверхневого інтегралу другого роду полягає в обчисленні подвійних інтегралів по орієнтованих поверхнях від наперед заданих функцій.


25. Потік векторного поля.

Потоком векторного поля a(M) , т.М( x,y,z), М належить S , через поверхню S за напрямком одиничного вектора нормалі ( поверхні S називається поверхневий інтеграл ІІ роду.



26. Теорема Остроградського .Дивергенція векторного поля.

Формула Остроградського-Гаусса пов’язує потрійний інтеграл по просторовій області із поверхневим інтегралом по замкненій поверхні, яка обмежує цю область.

Нехай замкнена область 𝐺 обмежена гладкою або кусково-гладкою поверхнею 𝜍, а функції Px, y,z, Qx, y,z, Rx, y,z неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в даній області. Тоді має місце така формула, яка називається формулою Остроградського-Гаусса.



—-----------------------------



27. Соленоїдальні поля. Гармонійне векторне поле.

Соленоїдальне векторне поле називається поле в області простору V , якщо у кожній точці цієї області : div a(M) = 0;

Гармонійне поле задовольняє умови div a(M) = 0 i rot a(M) = 0;

28. Теорема Стокса.

Теорема Стокса зв'язує інтеграли різного порядку, подібно до теореми Гауса–Остроградського в електростатиці. Вона дозволяє оперативно переходити від лінійного інтеграла до поверхневого, і навпаки, що в ряді випадків, наприклад, при розв'язуванні прямої задачі магнітостатики, суттєво полегшує розрахунки.

29. Ротор векторного поля. Потенціальне поле. Потенціал.







1

2

скачати

© Усі права захищені
написати до нас