Ім'я файлу: Вм відповіді.docx
Розширення: docx
Розмір: 302кб.
Дата: 22.06.2022
скачати
Пов'язані файли:
Реферат ООП Плахотнюк.docx

Питання 1

Матрицею називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, розташованих в m-рядках та n-стовпцях.

Матрицю позначають:А=(a і j),де a i j-елементи матриці; перший індекс вказує на номер рядка ,другий-на номер стовпця,на перетині яких стоїть даний елемент

Питання 2

1-Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить.

2-Квадратна матриця — це матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців

П итання 3

Питання 4

Одинична матриця — квадратна матриця розміру n з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.
Зазвичай позначається як I, іноді з індексом, що вказує розмірність I_n

Одинична матриця належить до:
*діагональних,

*ортогональних,

*додатноозначених,

*ортогонально-проекційних матриць

*та бінарних матриць.

Питання 5

1.Ви́роджена ма́триця- квадратна матриця, визначник якої дорівнює нулю

-Властивості

  • Рядки і стовпці виродженої матриці лінійно залежні.

  • Ранг матриці менший за розмірність матриці.

  • У виродженої матриці немає оберненої матриці (хоча є псевдообернена матриця).

  • Якщо матриця {\displaystyle \ A}  розміру n×n — вироджена, то система рівнянь {\displaystyle \ Ax=0}  має ненульові розв'язки. Множина цих розв'язків позначається {\displaystyle \ \ker A}  і є лінійним підпростором n-вимірного простору, відмінним від 0.

  • Матриця є виродженою тоді і тільки тоді якщо серед її власних значень є нулі.

2.Неви́роджена ма́триця- квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю

-Властивості

  • Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.

  • Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.

  • У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.

  • Якщо матриця {\displaystyle \ A}  — невироджена, то система рівняннь {\displaystyle \ Ax=0}  має тільки нульовий розв'язок.

  • Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

  • Питання 6




  • Питання 7

  • Алгебраїчне доповнення А[j,k] – це мінор M[j,k], взятий зі знаком "плюс" , якщо j+k – парне число і зі знаком "мінус" – якщо непарне



  • Матриця алгебраїчнихбдоповнень - це матрия складена з визначників А[j,k],j,k=1..n.

  • Знаки мінорів спрощено можна подати у вигляді схем



  • Визначник будь-якого порядку n, згідно правила Лапласа, можна записати у вигляді суми по парних добутків елементів рядків (стовпців) на їх алгебраїчні доповнення.



  • Алгебраїчне доповнення А[j,k], як і мінор, це визначник на одиницю меншого порядку ніж головний визначник. Тому для обчислення визначника n порядку потрібно обчислити n визначників n-1 порядку.
    На практиці визначники матриць через алгебраїчні доповнення розписують до тих пір, поки не отримають мінори 3 порядку, які знаходять за правилом Саррюса або трикутників.
    Практична реалізація для матриць більших 4 порядку складна, але реалізація таких алгоритмів на мові програмування через рекурентні формули значно спрощує обчислення.
    В навчанні переважно оперують з матрицями максимум 4,5 порядку. Якщо маємо розріджені матриці (багато елементів нульових) то визначник за рядком (стовпцем), який містить найбільшу кількість нульових елементів k зводиться до знаходження кількох (n-k) визначників на 1 меншого порядку від основного. Тому з допомогою елементарних перетворень спочатку перетворюють визначник, щоб отримати найбільше нульових елементів, а вже потім розписують його через алгебраїчні доповнення. Щоб Вас не навантажувати зайвою теорією перейдемо до практичної реалізації.

  • Питання 8

  • №8

  • Мінором M[j,k] визначника є визначник, одержаний з даного викреслюванням рядка та стовпця, які стоять на перетині до елемента a[j,k].



  • Мінори є визначниками на одиницю меншого порядку ніж матриця для якої їх шукають.
    Визначник n порядку має кількість n* n мінорів (рівно кількості елементів матриці).
    Для матриці 2*2 мінорами будуть протилежні елементи по діагоналі




  • Питання 9

Властивості визначників

  1. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: ∆А=∆

  2. Визначник змінить знак на протилежний, якщо переставити місцями декілька рядків (стовпців)

  3. Визначник дорівнює 0, якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють 0

  4. Визначник, в якому є два однакових рядка (стовпця) дорівнює 0

  5. Спільний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна вивести за знак визначника

  6. Визначник, який містить два пропорційних рядка (стовпця) дорівнює 0

  7. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, в першому з яких у відповідному рядку (стовпці) розташовані перші доданки, а у другому – другі, інші рядки (стовпці) в обох визначниках однакові і такі ж як у вихідному визначнику

  8. Визначник не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) попередньо помножені на одне й те саме число

  9. Якщо у визначнику під головною діагоналлю всі елементи – нулі, то визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі

  • Питання 10

Система трьох рівнянь (3 площини) з трьома невідомими (тривимірність простору). Розв'язком є точка перетину площин.

  • Питання 11

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Нехай даносистему лінійних рівнянь виду:



де коефіцієнти   і   є заданими, а вектор   — називається розв'язком системи (1).

Якщо визначникданої системи не дорівнює нулю ( ), то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами:



де   — допоміжний визначник, який одержується з основного визначника   шляхом заміни його  -го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

Отже:

  1. Якщо  , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв'язок, який знаходимо за формулами (2).

  2. Якщо  , то система (1) або має безліч розв'язків, або вона є несумісною, тобто розв'язків немає.

Складемо алгоритм розв'язання системи трьох рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:



1. Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:



2. Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:



3. Використовуючи формулу (2) знаходимо розв'язок системи (3):



Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи  . Даний метод можна застосовувати і для великих значень  , але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли   доцільно використовувати метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці до трикутної форми.

Метод Гаусса. Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться за два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми — прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід методу Гаусса: Нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:



Нехай   (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на   отримаємо:



де  .

Користуючись рівнянням (2), легко виключити із другого рівняння системи (1) невідому  . Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на  ; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на  , і так далі.

Таким чином, ми отримуємо систему трикутної форми, яка має вигляд:



Обернений хід методу Гаусса: Цей етап полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку ми отримали на попередньому кроці. Його називають оберненим ходом тому, що спочатку з останнього рівняння знаходимо  :



Потім, підставляємо цю величину у  -ше рівняння — знаходимо  :



Далі підставляємо   і   в  -ге рівняння системи (3) — знаходимо  . Продовжуючи даний процес далі, знайдемо шуканий розв'язок системи (1). Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:



  • Питання 12




  • Питання 13

Основні Властивості визначника

1)
Транспонування не змінює значення визначника.

2)
Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника дорівнюють нулю, тоді визначник дорівнює нулю.

3)
Якщо визначник має два однакові рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю.

4)
Якщо визначник має два пропорційні рядки (або стовпці), тоді він дорівнює нулю.

5)
Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то знак визначника зміниться на протилежний.

6)
Спільний множник рядка (або стовпця) можна винести за знак визначника.

7)
Якщо до рядка (або стовпця) визначника додати його інший рядок (або стовпець), помножений на довільне число, то значення визначника не зміниться.

8)
Якщо всі елементи рядка (або стовпця) визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі визначників, які визначаються цими доданками.




  • Питання 14

  • Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

  • Метод Гауса

  • Ме́тод Крамера

  • Матричний метод




  • Питання 15

  • Метод Крамера (правило Крамера) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним).

  • Задана система N лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з N невідомими коефіцієнтами при яких є елементи матриці A(aij), а вільними членами є числа b1, b2, ..., bN

    Перший індекс i біля коефіцієнтів aij вказує, в якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий j при якому із невідомих він знаходиться.
    Якщо визначник матриці A не дорівнює нулю

    то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв'язок.
    Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається така впорядкована сукупність N чисел  , яка при   перетворює кожне з рівнянь системи в правильну рівність.
    Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною. У випадку коли деякі з них відмінні від нуля – неоднорідною 
    Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має хоч один розв'язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несумісною.

  • Якщо розв'язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь називається визначеною. У випадку, коли розв'язок сумісної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.
    Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними (або рівносильними), якщо всі розв'язки однієї системи є розв'язками другої, і навпаки. Еквівалентні (або рівносильні ) системи отримуємо з допомогою еквівалентних перетворень.






  • Питання 16




  • Питання 17

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

1) додавання до обох частин рівняння відповідних частин другого, помножених на одне число;

2) переставлення рівнянь місцями;

3) виключення з подальшого розгляду рівнянь, що є тотожностями для всіх значень невідомих змінних.


  • Питання 18

Поняття вектора

1) Скалярною величиною або скаляром називається величина, яка характеризується за вибраною одиницею вимірювання лише число:

  • Довжина відрізка

  • Температура

  • Маса

2) Векторною величиною або вектором називається величина, яка визначається числовою характеристикою і напрямом у просторі. Будь-яка впорядкована пара точок А, В простору визначає напрямлений відрізок, вектор, тобто відрізок який має певну довжину і напрям.

3) Напрямом вектора вважається напрям від його початку до його кінця.

4) Вектор початок якого збігається з його кінцем називається нульовим.

5) Два вектори називають колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або на паралельних прямих.

6) Якщо 2 колінеарних вектори мають один і той же напрям, то вони називаються спів направленими.

7) 2 вектори А та В називають рівними, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями та розмір.


  • Питання 19

  • Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

  • Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

  • Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

  • Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

  • З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.




  • Питання 20




  • Питання 21



  • Питання 22

Геометрична інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраїчна інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.
Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay} і b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного добутку векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного добуткуn-вимірних векторів

У випадку n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn
Властивості скалярного добутку векторів

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:

a · a ≥ 0

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a · a = |a|2

  1. Операція скалярного добутку комутативна:

a · b = b · a

  1. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

  1. (αa) · b = α(a · b)

  2. Операція скалярного добутку дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c


  • Питання 23



(Умова перпендикулярності двох векторів)

Вектори a та b перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю:



  • Питання 24

Кут між векторами

Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором.

Косинус кута між векторами дорівнює скалярному добутку векторів, поділеному на добуток модулів векторів.


  • Питання 25



  • Питання 26



  • Питання 27



  • Питання 28


Питання №28

для того щоб дві прямі були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були оберненими числами, з протилежними знаками.



  • Питання 29


Поняття функції, область визначення.

Функцією називають змінну у, якщо по деякому правилу або закону

кожному значенню змінної х, що належить множині дійсних чисел

D, відповідає одне певне значення у, що належить множині дійсних чисел

Е .

Пишуть

y = f (x),

де х – незалежна змінна або аргумент,

у – залежна змінна або функція.

Множину значень х, для яких функція

y= f (x)

має зміст називають

областю визначення функції і позначають

D( f )

.Всі значення, які може

приймати функція (змінна у) при всіх х з області визначення функції

називають областю значень функції і позначають

Е( f ).


  • Питання 30


Існує чотири основних способи задання функції:

1. Аналітичний спосіб

Спосіб задання полягає в написанні формули.

{\displaystyle y=f(x)}2. Табличний спосіб

Цей метод полягає у тому, що відповідність між множиною значень змінної x і функції y задається у вигляді таблиці. В таблиці вказуються значення функції y1, y2,…,yn-1, yn для заданих значень аргументу x1, x2,…,xn-1, xn. Загальний випадок для функції виду {\displaystyle y=f(x)} :

x
x1
x2
…
xn-1
xn

y
y1
y2
…
yn-1
yn

3. Графічний спосіб

Функція задається за допомогою графіка функції. Значення на осі абсцис відповідають значенням аргумента функції x, а на осі ординат значенням самої функції y.

4. Словесний спосіб

Словесний спосіб задання функції полягає в тому, що закон, за яким залежно від х обчислюється значення у, виражається словами. Цей спосіб використовується під час розв‘язування задач, в яких розглядаються взаємопов‘язані величини.


  • Питання 31



  • Питання 32


Поняття похідної функції

Нехай функцію визначено на проміжку . Візьмемо довільну точку і надамо їй довільного приросту такого, щоб . Функція в точці дістане відповідний приріст:



Означення: Похідною функції у точці називають границю відношення приростуцієї функції до приросту аргументу , коли приріст аргумента прямує до нуля.



Похідну позначають:


  • Питання 33




  • Питання 34




  • Питання 35

ПОХІДНА СКЛАДНОЇ ФУНКЦІЇ

Складеною функцією зазвичай називають функцію від функції.

  • Якщо змінна y  є функцією від u:  y = f(u), а u  в свою чергу – функцією від x; u = ϕ(x), то y є складеною функцією від x, тобто y = f(ϕ (x)).

  • Функцію   називають зовнішньою, а   - внутрішньоюфункцією, або проміж­ною змінною.

Якщо функція ϕ(x) має похідну в точці  x0, а функція f(u) – похідну в точці u0 = ϕ(x0), то складена функція y = f(ϕ(x)) також має похідну в точці x0, причому 

  • Похідна складеної функції y = f(ϕ(x)) дорівнює добутку похідної даної функції  y = f(u) по проміжному аргументу u  (позначено f′(u))  на похідну  проміжного аргументу u=ϕ(x) по незалежному аргументу x (позначено ϕ′(x)).


Формули диференціювання складних функцій

Вважаємо, що  , тоді:

  1.          ;

  2.          ;

  3.          ;

  4.          ;

  5.          ;

  6.          ;

  7.          ;

  1.          ;

  2.          ;

  3.    ;

  4.    .

  • Щоб запобігти помилок, необхідно в виразі складеної функції побачити композицію двох функцій. Складені функції легше розпізнавати на перших порах за допомогою кольору.

 

Приклад 1 y=  (sinx)5y=sin5x                            

y/=(sinx)5=u5u=sinx

y/= (u5)/∙(sinx)/ = (5u4)∙(cosx)=5sin4xcosx

 

Приклад 2 y=sin3x=sinu           u=3x

y/=(sinu)/∙(3x)/= cosU∙3=3cos3x

 

Розглянемо декілька прикладів знаходження похідної складеної функції без введення проміжного аргументу «u»

 

  1.              y = ( 2x3-5x2-7)8

  y/ = 8(2x3-5x2-7)7∙( 2x3-5x2-7)/= 8( 2x3-5x2-7)7∙(6x2-10x).

 

  1.              y = cos ( x3 +4x-1)

  y/ = ( cos ( x3+4x-1))/= -sin( x3+4x-1) ·( x3+4x-1)/= -sin (x3+4x-1) · ( 3x2+4).

 

  1.              y = esinx

  y/ = ( esinx)/ = esinx · ( sinx )/ = esinx · cosx.

 

  1.              y= 2cosx-3x

   yl = ( 2cosx-3x)/ = 2cosx-3x · ( cosx-3x)/ = 2cosx-3x · ( -sin x – 3).

 

Похідну складеної функції не так важко і шукати, головне пам'ятайте, що правила ті самі, тільки уявляйте, що аргумент це також функція, і від неї потрібно брати похідну.


  • Питання 36




  • Питання 37




  • Питання 38


38. Асимптоти графіка функції.

x=a – вертикальна асимптота (якщо )

y=kx+b – похила асимптота (якщо , )

y=b – горизонтальна асимптота (якщо k=0)


  • Питання 39


Схема дослідження функції і побудова її графіка

1) Знайти область визначення функції;

2) Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з

координатними осями (корені функції);

3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4) Знайти точки розриву та дослідити їх;

5) Знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та

значення функції в цих точках;

6) Знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) Знайти асимптоти кривої;

8) Побудувати графік функції, враховуючи проведені дослідження.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас