Ім'я файлу: formuly_teorii_veroyatnostey.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 414кб.
Дата: 19.07.2022
скачати

© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
Основные формулы теории вероятностей
Сводный справочный материал раздела «Теория вероятностей»
Часть первая. Случайные события
http://mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html
1. Классическое определение вероятности
Вероятностью наступления события
A
в некотором испытании называют отношение
n
m
A
P

)
(
, где n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию
A
2. Геометрическое определение вероятности
Вероятность наступления события
A
в испытании равна отношению
G
g
A
P

)
(
, где G – геометрическая мера (длина, площадь, объем), выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а
g
– мера, выражающая количество благоприятствующих событию
A
исходов.
3. Статистическое определение вероятности
Вероятность наступления некоторого события
A
– есть относительная частота
n
m
A
W

)
(
, где n – общее число фактически проведённых испытаний, а m – число испытаний, в которых появилось событие
A
4. Полная группа событий
Сумма вероятностей событий
n
A
A
A
A
,
,
,
,
3 2
1
, образующих полную группу, равна единице:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1





n
A
P
A
P
A
P
A
P
5. Теорема сложения вероятностей противоположных событий
Сумма вероятностей противоположных событий
A
A,
равна единице:
1
)
(
)
(


A
P
A
P
7. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность появления одного из двух несовместных событий
A
или
B
(без разницы какого), равна сумме вероятностей этих событий:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P



Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх:
)
(
)
(
)
(
)
(
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P





8. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий
B
A,
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
)
(
)
(
)
(
)
(
AB
P
B
P
A
P
B
A
P





© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
9. Теорема умножения вероятностей независимых событий
Вероятность совместного появления двух независимых событий
A
и
B
равна произведению вероятностей этих событий:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P


Данный факт справедлив и для бОльшего количества событий, например, для трёх:
)
(
)
(
)
(
)
(
C
P
B
P
A
P
ABC
P



10. Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
A


, где
)
(B
P
A
– вероятность появления события
B
при условии, что событие
A
уже произошло.
Данный факт справедлив и для бОльшего количества событий, например, для трёх:
)
(
)
(
)
(
)
(
C
P
B
P
A
P
ABC
P
AB
A



, где
)
(C
P
AB
– вероятность появления события C при условии, что события
A
и
B
уже произошли.
11. Формула полной вероятности
Вероятность события
A
, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий
n
B
B
B
B
,
,
,
,
3 2
1
, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события
A
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1 3
2 1
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
n
B
n
B
B
B









12. Формулы Байеса
Пусть в результате осуществления одной из гипотез
n
B
B
B
B
..,
,
,
,
3 2
1
событие
A
произошло.
Тогда:
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1
1
A
P
A
P
B
P
B
P
B
A


– вероятность того, что имела место гипотеза
1
B ;
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2
A
P
A
P
B
P
B
P
B
A


– вероятность того, что имела место гипотеза
2
B ;
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
3
A
P
A
P
B
P
B
P
B
A


– вероятность того, что имела место гипотеза
3
B ;

)
(
)
(
)
(
)
(
A
P
A
P
B
P
B
P
n
B
n
n
A


– вероятность того, что имела место гипотеза
n
B .
13. Формула Бернулли
m
n
m
m
n
m
n
q
p
C
P


, где:
n количество независимых испытаний;
p
– вероятность появления события
A
в каждом испытании и
p
q

 1
– непоявления;
m
n
P
– вероятность того, что в
n испытаниях событие
A
появится ровно
m раз.
(
m
n
C
– биномиальный коэффициент
)

© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
14. Формула Пуассона





e
m
P
m
m
!
, где
np


, где:
n – количество независимых испытаний;
p
– вероятность появления события
A
в каждом испытании;
m
P – вероятность того, что в
n испытаниях событие
A
появится ровно
m раз, при этом количество испытаний должно быть достаточно велико (сотни, тысячи и больше), а вероятность появления события в каждом испытании весьма мала (сотые, тысячные и
меньше), в противном случае приближение к точному результату
m
n
P
(см. п. 13) будет плохим.
15. Локальная теорема Лапласа
Пусть проводится достаточно большое (> 50-100) количество n независимых испытаний, в каждом из которых событие
A
может появиться с вероятностью
p
. Тогда вероятность
)
(m
P
n
того, что в n испытаниях событие
A
наступит ровно
m раз, приближённо равна:
)
(
1
)
(
x
npq
m
P
n



, где
2 2
2 1
)
(
x
e
x





– функция Гаусса, а
)
1
(
p
q
npq
np
m
x




Значения функции Гаусса можно найти напрямую, с помощью таблицы либо в
MS Excel
Теорема обеспечивает хорошее приближение к точному результату
m
n
P
(см. п. 13) при условии
10

npq
( 10

), в противном случае значение
)
(m
P
n
будет далеко от истины.
16. Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность
p
появления случайного события
A
в каждом независимом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие
A
наступит не менее
1
m и не более
2
m раз, приближённо равна:
)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
x
x
m
m
m
P
n






, где:
dz
e
x
x
z





0 2
2 2
1
)
(

– функция Лапласа,
npq
np
m
x
npq
np
m
x




1 1
2 2
,
Значения функции Лапласа можно найти с помощью таблицы либо в
MS Excel
Теорема применима при тех же условиях: количество испытаний должно быть достаточно велико (
100
-
50

n
) и произведение
10

npq
( 10

). В противном случае точность приближения будет неудовлетворительной.
Точное значение можно рассчитать по формуле:
2 2
1 1
1 1
2 1
2 1
)
(
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
n
P
P
P
P
P
m
m
m
P











, где
i
i
i
i
m
n
m
m
n
m
n
q
p
C
P


(см. п. 13)

© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
Часть вторая. Случайные величины
http://mathprofi.ru/sluchainaya_velichina.html
17. Математическое ожидание
а) дискретной случайной величины:








n
i
i
i
n
n
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
1 3
3 2
2 1
1
)
(
, где:
i
x – все возможные значения случайной величины и
i
p – соответствующие вероятности.
б) непрерывной случайной величины:





dx
x
xf
X
M
)
(
)
(
, где
)
(x
f
– функция плотности распределения этой случайной величины.
18. Свойства математического ожидания
C
C
M

)
(
– математическое ожидание константы равно этой константе.
)
(
)
(
X
CM
CX
M

– постоянный множитель можно вынести за знак матожидания.
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
Y
X
M



– матожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для независимых случайных величин справедливо свойство:
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
XY
M


19. Дисперсия


2
))
(
(
)
(
X
M
X
M
X
D


– есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
а) Дисперсию дискретной случайной величины можно рассчитать по определению:















n
i
i
i
n
n
p
X
M
x
p
X
M
x
p
X
M
x
p
X
M
x
X
M
X
M
X
D
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
)
(
либо по формуле
2 2
))
(
(
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D


, где



n
i
i
i
p
x
X
M
1 2
2
)
(
б) и аналогичные способы для непрерывной случайной величины:








dx
x
f
X
M
x
X
D
)
(
)
(
)
(
2
либо
2 2
))
(
(
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D


, где





dx
x
f
x
X
M
)
(
)
(
2 2
20. Свойства дисперсии
0
)
(

C
D
– дисперсия постоянной величины равна нулю.
)
(
)
(
2
X
D
C
CX
D

– константу можно вынести за знак дисперсии, возведя её в квадрат.
)
;
cov(
)
(
)
(
)
(
Y
X
Y
D
X
D
Y
X
D




, где
)
;
cov(
Y
X
– коэффициент ковариации (см. ниже) случайных величин
Y
X ,
. Если случайные величины независимы, то
)
(
)
(
)
(
Y
D
X
D
Y
X
D



и для независимых случайных величин:
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
))
(
(
)
(
2
Y
D
X
D
Y
D
X
D
Y
D
X
D
Y
X
D
Y
X
D














© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
21. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение
)
(
)
(
X
D
X

22. Вероятность того, что случайная величина
X
примет значение из промежутка
)
(
,
)
(
),
(
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P






либо
)
(
b
X
a
P


рассчитывается по единой формуле:
)
(
)
(
a
F
b
F

, где
)
(x
F
– функция распределения данной случайной величины.
Для непрерывной случайной величины эти вероятности можно найти и другим способом – с помощью интеграла

b
a
dx
x
f
)
(
, где
)
(x
f
– функция плотности распределения.
23. Распространённые виды распределений и их числовые характеристики
а) дискретные:
Название распределения
Формула расчёта вероятностей
Возможные значения
m
Математическое ожидание
Дисперсия
Биномиальное
m
n
m
m
n
m
n
q
p
C
P


n
...,
,
3
,
2
,
1 0,
np
npq
Пуассона





e
m
P
m
m
!
,
...,
,
3
,
2
,
1
n


Геометрическое
p
q
P
m
m
1


,
...,
,
3
,
2
,
1
n
p
1 2
p
q
Гипергеометрическое
n
N
m
n
M
N
m
M
m
C
C
C
P




)
,
min(
...,
,
1 0,
n
M
n
N
M
)
1
(
)
(
)
(
2



N
N
n
N
n
M
N
M
б) непрерывные:
Название распределения
Функция плотности
)
(x
f
Математическое ожидание
Дисперсия
Равномерное
a
b
1
на промежутке от a до b и 0 вне этого промежутка
2
b
a
12
)
(
2
b
a
Показательное
x
e



, если
0

x
и 0, если
0

x

1 2
1

Нормальное
2 2
2
)
(
2 1



a
x
e


,





x
a
2


© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
24. Коэффициент ковариации (совместной вариации) случайных величин












n
i
m
j
ij
j
i
p
Y
M
y
X
M
x
Y
M
Y
X
M
X
M
Y
X
1 1
))
(
))(
(
(
))
(
(
))
(
(
)
;
cov(
– математическое ожидание произведения линейных отклонений случайных величин от соответствующих математических ожиданий.
Данный коэффициент удобно вычислять по формуле:
)
(
)
(
)
(
)
;
cov(
Y
M
X
M
XY
M
Y
X



, где




n
i
m
j
ij
j
i
p
y
x
XY
M
1 1
)
(
для дискретной и
 







dxdy
y
x
xyf
XY
M
)
,
(
)
(
– для непрерывной случайной величины.
Значение коэффициента не превосходит по модулю
)
(
)
(
)
;
cov(
Y
D
X
D
Y
X


, где
)
(
,
)
(
Y
D
X
D
– дисперсии случайных величин.
Если случайные величины независимы, то
0
)
;
cov(

Y
X
, обратное в общем случае неверно.
25. Коэффициент линейной корреляции
)
(
)
(
)
;
cov(
Y
X
Y
X
r
xy




, где
)
(
),
(
Y
X


– стандартные отклонения случайных величин.
Данный коэффициент принимает значения из промежутка
1 1



xy
r
26. Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение случайной величины
X
от ёё математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа

, не меньше, чем:


2
)
(
1
)
(


X
D
X
M
X
P




, где
)
( X
D
– дисперсия этой случайной величины.
27. Теорема Чебышева
Если
n
X
X
X
X
,
,
,
,
3 2
1
– попарно независимые случайные величины, причём дисперсии их равномерно ограничены (не превосходят постоянного числа C ), то, как бы ни было малО положительное число

, вероятность неравенства









n
X
M
X
M
X
M
n
X
X
X
n
n
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Иными словами:
1
)
(
)
(
)
(
lim
2 1
2 1


















n
X
M
X
M
X
M
n
X
X
X
n
n
n

скачати

© Усі права захищені
написати до нас