Основні рівняння. При розрахунку використовуємо гіпотезу Кірхгофа-Лява про жорстку нормаль.()
Відповідно до цієї гіпотези розглядаємо основну поверхню, яка для обичної ізотропної оболонки співпадає з серединною. Елемент основної поверхні і його радіуси кривизни показані на рис. 6.
Основну поверхню вибираєм із умови :
Де Е-модуль пружності ;δ1 ,δ2 –відстань від середніх поверхонь до пружних поверхонь оболонки.
Деформації оболонки в основній поверхні вздовж дуги меридіана і в окружному напрямку
Де u – переміщення точки основної поверхні по дотичній до меридіональній кривій ;
- переміщення по нормалі (додатній напрямок відповідає переміщенню до осі оболонки).
Кут повороту нормалі (в сторону збільшення кута
)
+ 
.Деформація в шарі, віддаленому на відстані zв сторону зовнішньої нормалі ,
Умови рівноваги елемента оболонки
Силові фактори( на одиницю довжини перерізу оболонки ) і зовнішній розподіл нагрузки показані на рис. 7.
Рівняння пружності оболонки
Де
,
-напруга в шарі, розміщеним на відстані z від основної поверхні ; 
- коефіцієнт Пуассона ; 
- температурна деформація .Інтегруючи відношення (два вище) по товщині оболонки , взявши
= const , получим наступне рівняння для силових факторів :
Де А – жорсткість на розтяг
D – циліндрична жорсткість на згин
Температурні Функції
Система дозволяючих диференціальних рівнянь .В якості основних невідомих функцій вибирають кут повороту нормалі
і величину , зв’язану з перерізною силою .
Дозволяючі рівняння мають наступний вид :
де функції , які залежать від зовнішньої нагрузки та температури
В останніх рівняннях Р – рівнодіюча зовнішніх зусиль , прикладених до розглянутої частини оболонки .
Якщо відомі функції
то зусилля в середній поверхні знаходиться з співвідношень :
;
Величини
та 
знаходяться із рівняння () та ()Інтегральні рівняння . Для побудови простого алгоритму розрахунку зручного для програмування та обчислення , проводиться двократне інтегрування рівняння () та ()
Де
– значення дуги s для початкового січення , получим інтегральні рівняння відносно функцій 
s) та 
:
Де
Функції при начальних параметрах знаходяться наступними рівняннями :
Функції зовнішньої нагрузки і нагріва
Рішення системи рівнянь () можна представити в наступній формі
Функції
, які входять в ці рівняння будем називати фундаментальними.Для визначення фундаментальних функцій
та 
вирішується система рівнянь :
При використанні метода послідовних наближень розрахунок ведеться по схемі
Де індекси n та n+1 вказують відповідне наближення . Приймаючи вихідні наближення
Получим для першого наближення
Для другого наближення
І т. д . Процес послідовних наближень закінчується при достатній близькості двох сусідніх наближень . Якщо наближення з номером k приймають останнім , то відносна похибка :
Для всіх розрахункових точок . В практичних розрахунках на ЕОМ можна прийняти
При задоволення умови () приймають
Матрична форма основних інтегральних рівнянь
Де
L – матриця інтегральних операторів
F1, F2 – матриці функцій при начальних параметрах
Рішення () в матричній формі
Метод початкових параметрах. В якості основних функцій , описують напруження і деформацію в оболонці , приймається стовпчик рішення
Основне рівняння в методі початкових параметрів має вигляд
Де стопчик початкових параметрів
Фундаментальна матриця четвертого прядку
, складається із блоків матриці другого роду
Де E – одинична матриця другого порядку
Наприклад , для функції
з рівняння () получаєм 
Відзначимо, що представлення рішення в формі () дозволяє , знаючи рішення в початку , участка оболонки ( початкові параметри ), знайти значення V в будь якому перерізі.
Стовпчик основних параметрів . При розрахунку зручно , особливо для важких систем, використовувати і стовпчик основних параметрів
Де
– радіальні зміщення , - кут повороту, Q і M – поперечна сила і згинальний момент в поперечному перетині . 
Стовпчик основних параметрів виражають через стовпчик рішення
Де відповідні від нуля елементи матриці В і в стовпчику
приведені нижче 