1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   36
Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати
n-канальна СМО з відмовами

Розглянемозадачу.На вхід n- канальної системи масового обслу-

говування подається найпростіший потік заявок з інтенсивністю .

По-

тік обслуговувань кожного каналу також найпростіший, з інтенсив-

ністю . Якщо вимога застає всі канали зайнятими, то вона залишає

систему необслуженою. Якщо ж вимога застає вільним хоча б один канал, то вона приймається на обслуговування будь-яким із вільних каналів і обслуговується до завершення. Описану систему масового обслуговування називають класичною. Розгляд такої системи Ерлан- гом зумовив розвиток теорії масового обслуговування (на прикладі дослідження роботи телефонної станції).

Аналіз роботи системи почнемо з розгляду можливих станів систе- ми і побудови розміченого графа. Множина станів системи S(СМО) має вигляд:

s0 усі канали вільні;

s1 зайнятий лише один канал (обслуговується одна вимога);



sk зайнято kканалів (обслуговується kвимог);



sn зайнято всі nканалів (обслуговується nвимог).
Граф станів цієї системи зображено на рис. 4.2.


Рисунок 4.2


Зауважимо, що коли система перебуває у стані s0 , на неї діє потік

вимог з інтенсивністю , який переводить систему у стан

s1.

Якщо сис-

тема перебуває у стані s1, то на неї діють два потоки подій: потік вимог

з інтенсивністю , який переводить систему у стан s2 , та потік звіль-

нень каналу (потік обслуговувань) з інтенсивністю , який намагається

перевести систему у стан s0. У стані sk k 1, 2, , n 1

на систему

також діють два потоки: потік замовлень з інтенсивністю

, який пере-

водить систему у стан

sk 1,

та потік звільнень всіх kзайнятих каналів з

інтенсивністю

k,

який намагається перевести систему в стан

sk1.

У стані sn

на систему діє лише потік звільнень усіх nзайнятих каналів

з інтенсивністю n,

який намагається перевести систему у стан

sn1.

Система диференціальних рівнянь Колмогорова має вигляд

p0 t p0 t p1 t,

p t k pt p t k 1 p t,

k k k1

k 1

(4.8)



k 1, 2, , n1,

pn t n pnt pn1 t,

з початковими умовами p0 0 1, pk0 0, k 1, 2, , n1.

n

Розв’язок

системи (4.8) повинен задовольняти нормувальнуумову
t 0.

pkt 1,

k 0

Рівняння (4.8) називають рівняннямиЕрланга. Вони справедливі і в тому випадку, коли потоки подій є нестаціонарними пуассонівськи-

ми з інтенсивностями t, t.

Для ймовірностей станів стаціонарного режиму отримаємо систему алгебраїчних рівнянь

p0 p1 0,

k p p k 1 p 0,





k 1, 2, ,

k k 1

n1,

k 1

(4.9)

n pn pn 1 0,

n

яку потрібно розв’язати разом з нормувальною умовою

pk

k0

1.

Після введення позначень ма (4.9) набуває вигляду

ui pi 1 ipi,

i 1, 2, , n

систе-

u1 0;

uk1 uk

0, k 1, 2, ,

n 1;

un 0,

звідки

ui 0,

i 1, 2, ,

n, тобто

p

k k
pk1,

k 1, 2, ,
n1.
(4.10)

За формулою (4.10) послідовно отримаємо:

2

pk kpk 1 kk1 2

1 k



pk2 k!
p0, k 1, 2, , n.

Використовуючи нормувальну умову

n n 1 k

pk p0 k! 1,


отримаємо

k 0 k 0  
1

1 n 1 k

p0

n

k k! .

(4.11)



1 k 0

k!



k 0  

Таким чином, граничні ймовірності станів стаціонарного режиму визначаються за формулами:

1 k

k! 1 k n 1 k 1

p  



 



 



, k 0, 1, , n,

(4.12)


k k! 0
n 1

 

k!

k 0

k!

які називають формуламиЕрланга.

Після введення позначення



1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   36

скачати

© Усі права захищені
написати до нас