Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

^{  }        ^.

(3.1)

 

0	0	0	
0	0	0	

^{ }n1n2 ^{0 }n1n^


0



0


^{ }nn1 ^
Користуючись правилом складання системи диференціальних рі- внянь Колмогорова (див. теорему 2.1), отримаємо систему диференці-

^{альних рівнянь для ймовірностей станів p1} ^t^{, p2} ^t^{, , pn}^t <sup>:

 p1</sup> ^t ^{ 12 p1} ^t ^{ 21 p2} ^t<sup>,

</sup> p^ _t_  _   _ p_t_   p _t_ 

^ k kk 1 kk 1 k k1k k1

(3.2)

^{  p} ^t<sup>, k 2, 3, , n1,

</sup> k 1k k 1



^{ p}_n^ ^t ^{ }_{nn 1} ^p_n^t ^{ }_n1n^p_{n 1} ^t^.

Зауважимо, що якщо марковський процес є однорідним (стаціо-

нарні пуассонівські потоки), то щільності ймовірностей переходів (ін-

тенсивності потоків)

^ij

у системі (3.2) не залежать від часу

t; якщо

марковський процес неоднорідний, то _ij

^{є функціями часу: }_ij^{ }_ij ^t^.

Для інтегрування системи (3.2) необхідно задати початкові ймовір-

n

ності

^p1 ⁰<sup>,

p2</sup> ⁰^{, , pn}⁰^{, які задовольняють умову}

_ ^pi⁰ ^{ 1.}

i1

Розв’язок системи (3.2) також у будь-який момент часу tповинен задовольняти нормувальнуумову:

^p1 ^t ^{ p2} ^t ^{ pn}^t ^{ 1.}

чних ймовірностей станів

p₁ ,

p₂ , , p_n.

Теорема 3.1. Граничні ймовірності станів

p₁ ,

p₂ , , p_n

процесу

розмноження і вимирання з неперервним часом обчислюються за та- кими формулами:

_{  n }1

^ p₁  _1  __k ,
(3.3)


^ _ k 2 _

p
 k^{ }k

 p₁ ,

k 2, , n

де 

^12 ^{ }23 ^{ }k 1k
, k 2, , n.
(3.4)

^k    

kk 1 k1k 2 21

Доведення

За розміченим графом станів системи, у якій відбувається процес розмноження та вимирання (див. рис. 3.2), складемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

_₁₂ p₁  ₂₁ p₂  0,

^_   _ p  p   p  0,

^ kk1



kk1

k k1kk1

k1kk1

(3.5)

_k 2, 3,, n 1,

^ ^nn1 ^pn ^{ }n1n^pn1 ^{ 0.}

Матриця коефіцієнтів при невідомих системи (3.5) має вигляд

_ ₁₂

₂₁ 0 

0 0 0 _

^     0 0 0 ^

_ 12 21 32 _

 0 ₂₃

₂₃  ₃₄ 

0 0 0 

^        ^

 

^ 0 0 0

^ 0 0 0

^{ }n2 n3 ^{ }n2 n1

 

^n1n2 ^{0 }

    ^

_ n2 n1

n1n2

n1n nn1 _

^ 0 0 0  0

^n1n

^nn1 ^

 

Виконаємо елементарні перетворення:

• 
  1-й рядок додамо до 2-го рядка;
  
• 
  отриманий 2-й рядок додамо до третього рядка і т.д.;
  
• 
  ^{отриманий} ^n1^{-й рядок додамо до n-го рядка.}
  

_ ₁₂

^21

0 0 

0 0 0 _

0


^ ₂₃ ₃₂ 0 

0 0 0 ^


 0 0

^34

₄₃ 

0 0 0 

^         ^.

(3.6)

 

^ 0 0 0 0

0	0	0	0		0
0	0	0	0		0



^{ }n2 n1

^n1n2 ^{0 }

  ^

_ n1n nn1 _

 _{0 0} 

 

За матрицею (3.6) запишемо систему лінійних рівнянь для грани-

чних ймовірностей станів

p₁ ,

p₂ , , p_n :

_₁₂ p₁  ₂₁ p₂  0,

^ p  p 0,

_ 23 2 32 3

^{34 p}₃ ^{ 43 p}₄ ^{ 0,}



_{   } (3.7)

^{ }n2 n1 ^pn2 ^{ }n1n2 ^pn1 <sup> 0,

</sup> p   p 0.

_ n1n n1 nn1 n

Нормувальна умова для ймовірностей

p₁ ,

p₂ , , p_n

має вигляд

p₁  p₂  p₃    p_n 1.

З першого рівняння системи (3.7), враховуючи (3.4) при k 2,

(3.8)
маємо


p ^12 p p.


(3.9)

2 1 2 1

21
З другого рівняння системи (3.7), враховуючи (3.9) і (3.4) при

k 3,

маємо

_p ^12 ^{ }23 _p


  p.

(3.10)

3 _{  } 1 3 1

32 21

З третього рівняння системи (3.7), враховуючи (3.10) і (3.4) при

k 4,

маємо

_p ^12 ^{ }23 ^{ }34 _p


  p.

(3.11)

⁴     

1 4 1

43 32 21

_p ^12 ^{ }23 ^{ }n1n

p p.
(3.12)

ⁿ      ^{1 n 1}

nn1 n1n2 21

Отже, справедливість формули

p_k _k p₁, k 2, , n

доведена.

Підставивши (3.9), (3.10), (3.12) в нормувальну умову (3.8), отри- маємо

звідки

p₁  ₂ p₁  ₃ p₁    _np₁  1,

^{p1 } ^{1  }₂ ^{ }₃ ^{   }_n^p ^{ 1,}

_{ n }1

p₁  _1 __k .

 k2 

Таким чином, теорема доведена.

Зауважимо, що у формулах (3.3) всі граничні ймовірності вираже-

ні через граничну ймовірність

p₁.

При розв’язуванні системи (3.7) їх

можна було виразити і через іншу граничну ймовірність.

Достатньо часто нумерацію станів системи Sпочинають не з оди-

ниці, а з нуля:

s₀ ,

s₁ , ,

s_n.

У цьому випадку формули (3.3) і (3.4) на-

бувають вигляду

 <sub>

n</sub>1

_ p₀  _1  __k ,

(3.13)

^  k1 

^ p  p, k 1, , n

 k k 0

де 

^01 ^{ }12 ^{ }k1k

, k 1, , n.
(3.14)

^k    

kk1 k1k2 10

Аналіз формул (3.3) і (3.13) показує, що правило обчислення гра-

ничних ймовірностей станів

p₁ ,

p₂ , , p_n

процесу розмноження та ви-

мирання з неперервним часом можна сформулювати таким чином: гра-нична ймовірність будь-якого стану в схемі процесу розмноження тавимираннядорівнюєдробу,вчисельникуякогоміститьсядобутоквсіх

інтенсивностей“розмноження”,розташованихлівіше

s_k ,

авзна-

меннику–добутоквсіхінтенсивностей“вимирання”,розташованих

лівіше

(3.3) і

s_k ,

p₀

помноженийнаймовірністькрайньоголівогостану

для (3.13)).

( p₁

для