Навчальний посібник у 2 частинах Частина ІІ для студентів економічних спеціальностей вищих

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 36

Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

^{Державний вищий навчальний заклад} “Українська академія банківської справи Національного банку України”

Кафедра вищої математики та інформатики

С. В. Коломієць

ТЕОРІЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
Навчальний посібник У 2 частинах Частина ІІ
Для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів

Суми

ДВНЗ “УАБС НБУ” 2013

УДК 519.21

К61
Рекомендовано до видання науково-методичною радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської спра- ви Національного банку України”, протокол № 1 від 06.09.2011.
Розглянуто та схвалено на засіданні кафедри вищої математики та інформатики, протокол № 8 від 24.05.2011.
Рецензенти:

В. М. Долгіх, кандидат фізико-математичних наук, доцент, ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”;
Н. І. Одарченко, кандидат педагогічних наук, доцент, Сумський державний університет

К61

Коломієць С. В.

Теорія випадкових процесів [Текст] : навчальний посібник : у 2 ч. / С. В. Коломієць ; Державний вищий навчальний заклад “Украї- нська академія банківської справи Національного банку України”.  Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2013.  Ч. ІІ.  103 с.

Навчальний посібник містить теоретичні відомості з теорії марковських випадкових процесів з неперервним часом, теорії масового обслуговування, основні відомості про стаціонарні випадкові процеси, приклади розв’язува- ння задач, питання для самоперевірки.

Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих навча- льних закладів.

УДК 519.21
© Коломієць С. В., 2013

© ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2013

ЗМІСТ

ВСТУП 4

ПОТОКИ ПОДІЙ. ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА КЛАСИФІКАЦІЯ 6
1. Потоки подій 6
2. Найпростіший потік подій 9
3. Потік Пальма 11
4. Потоки Ерланга 19
5. Граничні теореми теорії потоків 24
ДИСКРЕТНИЙ МАРКОВСЬКИЙ ПРОЦЕС

З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ 27

Опис процесу Маркова з дискретними станами

та неперервним часом 27

Диференціальні рівняння Колмогорова 31
Стаціонарний режим. Граничні ймовірності станів системи 41

ОДНОРІДНІ ПРОЦЕСИ РОЗМНОЖЕННЯ ТА ВИМИРАННЯ 46
1. Процеси розмноження та вимирання. Основні означення 46
2. Процеси чистого розмноження та вимирання 51
  1. Процеси чистого розмноження 52
  2. Процеси чистого вимирання 57
3. Процеси розмноження та вимирання в системі з nвузлами 63
ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ В СИСТЕМАХ

МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ 69

Основні поняття теорії масового обслуговування 69
Класифікація систем масового обслуговування 72
Показники ефективності систем масового обслуговування 74
Одноканальна СМО з відмовами 75
n-канальна СМО з відмовами 78
n-канальна СМО з відмовами

і повною взаємодопомогою між каналами 83

Одноканальна СМО з необмеженою чергою 86
n-канальна СМО з обмеженою чергою 89

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 91

ДОДАТКИ 93

ДВНЗ“УкраїнськаакадеміябанківськоїсправиНБУ”

3

ВСТУП

Застосування математичних моделей і методів в економіці набуває останнім часом все більшого значення для успішної підприємницької діяльності, розробки оптимальної стратегії у великому та малому бізне- сі, в ефективному управлінні фінансовими ресурсами тощо. Викорис- тання математичних методів в економічних дослідженнях дозволяє не тільки виконувати різні економічні обчислення, а насамперед застосо- вувати математику для вивчення, аналізу та прогнозування економічних тенденцій і закономірностей.

Реальні економічні процеси відбуваються під впливом великої кі- лькості випадкових чинників, розвиваються та змінюються протягом часу, тобто мають випадковий характер. У зв’язку з цим стохастичні (ймовірнісні) моделі є найбільш адекватними моделями стосовно об’єк- та-оригіналу. Стохастичне моделювання базується на використанні тео- рії випадкових процесів. Серед випадкових процесів, що використову- ються як прообрази тих, які відбуваються в економіці, у соціальній та технічній сферах, найбільшого застосування набули марковські, пуассо- нівські, гіллясті випадкові процеси, які становлять основу ймовірнісних моделей.

Поняття випадкового процесу було введене в XX столітті й по- в’язане з іменами А. М. Колмогорова (1903–1987), О. Я. Хінчина (1894–1959), Є. Є. Слуцького (1880–1948), Н. Вінера (1894–1965). Зараз

поняття випадкового процесу є одним із основних понять не лише в теорії ймовірностей, але й у природознавстві, інженерній справі, еконо- міці, організації виробництва, теорії зв’язку тощо. Теорія випадковихпроцесів – основний математичний апарат, який використовується для вивчення стохастичних систем, зокрема стохастичних диференціальних та різницевих систем, які моделюють більшість видів господарської діяльності людини.

Посібник у двох частинах написано відповідно до програми з теорії випадкових процесів для студентів спеціальності “Економічна кібернетика”. Матеріал другої частини посібника є базовим для пода- льшого вивчення теорії випадкових процесів та засвоєння інструмента- рію, що використовується при стохастичному моделюванні економічних систем. Автор під час складання посібника мав на меті забезпечити ґру- нтовне засвоєння теоретичного курсу з теорії випадкових процесів, сприяти розвитку навичок застосування методів теорії випадкових функцій.

Друга частина посібника складається з чотирьох розділів. У першо- му розділі дано означення потоку подій, наведені властивості потоків,

окремі види потоків, зокрема пуассонівський найпростіший потік, потік Пальма та потік Ерланга.

У другому розділі вивчаються дискретні марковські процеси з не- перервним часом: дано означення марковського процесу, наведені пра- вила побудови системи диференціальних рівнянь Колмогорова, дослі- джується стаціонарний режим вказаного процесу.

Третій розділ присвячений однорідним процесам розмноження та вимирання.

У четвертому розділі надається стисла інформація про системи масового обслуговування, розглядаються окремі моделі систем масово- го обслуговування.

Усі розділи мають однакову структуру. Насамперед викладено ос- новний теоретичний матеріал (означення, твердження, теореми тощо), пропонуються приклади розв’язання задач. Наприкінці теми наведені питання для самоперевірки засвоєння матеріалу.

Рекомендована література допоможе читачеві поглибити та поши- рити власну поінформованість з питань, що його зацікавили.

Поєднання в посібнику належної повноти, обґрунтованості, доступ- ності подання матеріалу дає можливість рекомендувати це видання студентам вищих навчальних закладів економічного профілю, які вияв- ляють інтерес до застосування теорії випадкових процесів.

1 ПОТОКИ ПОДІЙ.

ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА КЛАСИФІКАЦІЯ

Потоки подій

Одним із важливих понять теорії випадкових процесів є поняття

потокуподій, яке є корисним в економічній практиці.

Означення. Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу.

Наприклад, потік покупців, потік клієнтів деякого банку, потік ви- кликів, які поступають до оператора мобільного зв’язку, потік автома- шин тощо.

Потік подій можна зобразити у вигляді послідовності випадкових

точок

t₁,

t₂,

, t_n,  на осі Ot(рис. 1.1). Випадкові інтервали часу між

цими точками визначаються за формулами:

T_n t_n_₁ t_n.

T₁ t₂ t₁,

T₂ t₃ t₂, ...,

Рисунок 1.1

Зауважимо, що термін “подія” в понятті “потік подій” відрізняєть- ся від терміна “випадкова подія”, який використовується в теорії ймо- вірностей. Мова йде про те, що розглядаються не ймовірності окремих подій, що утворюють потік подій, а визначаються ймовірності інших

подій, наприклад: “за проміжок t

з’явиться принаймні одна з вказаних

подій”, “проміжок часу між двома сусідніми подіями не менше t”.

Означення.Потік подій називається регулярним, якщо події в ньо- му настають одна за одною через рівні проміжки часу, тобто ін- тервали між подіями однакові і дорівнюють невипадковій вели- чині (рис. 1.2).

Рисунок 1.2

Зауважимо, що регулярний потік подій достатньо рідко зустріча- ється на практиці, але становить певний інтерес як граничний випадок для інших потоків.

Серед властивостей, які мають потоки подій, виділяють властивості

стаціонарності,відсутностіпіслядії,ординарності.

Означення. Потік називається ординарним, якщо за нескінченно малий проміжок часу може з’явитися не більше однієї події.

Фактично ординарність означає, що події у потоці з’являються по одній, а не парами та групами. Зокрема потік поїздів – ординарний, а потік вагонів – неординарний. Таким чином, ординарністьпотоку

означає, що ймовірність появи на проміжку двох або більше подій

дуже мала порівняно з появою на проміжку рівно однієї події.

^{Розглянемо}^{ординарний}^потік.^Нехай^{випадкова}^{величина}^X^t^,^^t^–

^число^{подій, що з’явилися на проміжку}^t^;^t^^^t^,^{закон розподілу}^якоїмає вигляд

^X^t^,^^t	0	1	
^p^t^,^^t	^p⁰^t^,^^t	^p¹^t^,^^t	

Знайдемо математичне сподівання випадкової величини

^X^t^,

^^t^:

^M_^X^t^,

^^t^^_^⁰^^p⁰^t^,

^^t ^¹^^p¹^t^,

^^t ^^a^^p^¹^t^,

^^t

де a– яка завгодно велика величина, що задовольняє умову

lim a .

t0

Враховуючи, що потік подій ординарний, тобто

^p^¹^t^,^^t ^⁰^при

t 0,
знайдемо границю відношення

^M^_^X^t^,

t

^^t^_
при

t 0:

 
_lim^M_^^X^^t^,^Δ^t^^___lim^¹^^p¹^t^,^Δ^t _^a^^p^¹^t^,^Δ^t ^__lim^p¹^t^,^Δ^t _.

Δt0 _Δ_t

Δt0 __Δ_t

Δt _

Δt0 _Δ_t

Якщо ця границя існує, то вона називається інтенсивністюорди- нарного потоку подій у момент t:

_λ__t___li_m^M^_^X^t^,^Δ^t^__.

Δt0 _Δ_t

Таким чином, інтенсивністюпотоку

^^t

називається середнє чи-

сло подій, які відбуваються за одиницю часу.

^{Інтенсивність}^потоку^подій^^t ^–^{невід’ємна}^{функція}^часу,^яка

має розмірність і сталою.

¹_.

__t_

Інтенсивність потоку може бути як змінною, так

^{Середнє}^число^подій,^що^{відбуваються}^на^{інтервалі}^t^;^t^^^t^,

начається за формулою:

виз-

^M^_^X^t^,^Δ^t^_^

tΔt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 36

скачати