Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Інститут енергетики та систем керування
Кафедра АВКТ
ЗВІТ
до лабораторної роботи №2
на тему: «Моделювання математичних моделей та їх дослідження числовими методами»
з курсу: «Моделювання об’єктів керування»
Виконав: ст. гр. АВ-22
Кравець Д.В.
Перевірив:
Ділай І.В.
Львів-2020
1. Завдання (Варіант 4)
Побудувати та дослідити математичну модель відкритої протічної гідравлічної ємності, зображеної на рис. 1.
Рис.1. Протічна гідравлічна ємність
Конструктивні параметри: d=1 м, r2=0.07 м, L2=3 м, ρ=1000 кг/м3, υ=10-5 Па·с, ξ=0.9.
Задані значення величин:
- вхідних: P2=4 кПа;
- керуючої величини: q=15 л/c; Q=q/103 м3/c.
Значення східчасто змінюваної вхідної величини, яке приводить систему до нових станів рівноваги: P2={4;10;16} кПа.
2. Побудова математичної моделі
Робимо припущення, що масообмін на границі розділу фаз рідина-повітря відсутній. Рівняння збереження маси для даного об’єкту:
де
масова витрата рідини, кг/c, i=1,2;
де
об’ємна витрата, м3/c.Маса рідини в ємності:
де
площа дна ємності, м2; h – рівень рідини в ємності, м.Перетікання рідини відбувається при сталій температурі, тому густина рідини є незмінною(ρ=const). Це дає можливість спростити рівняння (1).
Підставимо в рівняння (1) вирази (2), (3) та поділимо його на ρ:
Одержане рівняння є рівнянням збереження кількості речовини в об’ємних одиницях.
На основі (3.3) та (3.1) запишемо вираз для витрати рідини в другому трубопроводі:
де
значення вхідної величини (надлишкового тиску). Підставивши (5) та (6) у рівняння (4) одержимо:
Отримане нелінійне диференціальне рівняння (7) разом з початковою умовою h(0) є математичною моделлю об’єкту.
При t=0 об’єкт перебуває у стані рівноваги, тобто Q10=Q20 і рівень рідини в ємності не міняється (h=const). Тоді (7) набуває вигляду:
де P20, h0 – відповідно значення тиску, рівня при t=0 в стані рівноваги. Значення P20 відомі(задані в таблиці 1), а значення параметра стану h0 в стані рівноваги визначають з (7.1) за формулою:
Остаточно математична модель має вигляд:
3. Дослідження математичної моделі
3.1. Обчислення номінальних значень
Дослідження математичної моделі починають з визначення номінального значення h0 за формулою (8) в середовищі MATLAB. Для цього доцільно створити файл data1.m, який містить початкові дані, а також для визначення коефіцієнта k2, площі S дна ємності:
% data1
P2=0.4e3;
r2=0.07; L2=3;
Q1=15/1e3;
d=1; S=pi*d^2/4;
ro=1e3; g=9.81; ksi=0.9;
k2=sqrt(4*pi^2*r2^5/L2/ksi);
Для визначення значення рівня h0 в стані рівноваги призначений файл h_0.m:
data1;
p2=P2/ro;
h0=((Q1/k2)^2+p2)/g;
Результатом виконання файлу lab1.m для P2=0.4 кПа є графік перехідного процесу на рис.2:
Рис.2. Перевірка отриманого розв’язку h0
3.2. Визначення реакції нелінійної моделі на східчасте збурення
За початковим значенням рівня h(0) та за допомогою функції ODE45, визначають реакцію об’єкту h(t) на східчасте зміну тиску P2 від 0.4 кПа до 4 кПа. Послідовність команд, призначена для отримання векторів значень t і h, наведена у файлі lab1.m
clc; clear; close all;
tb=0; tf=800; h_0; x0=h0;
options=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
[t,h]=ode45(@f_lab1,[tb,tf],x0,options);
figure(1); plot(t,h,'k'); grid; xlabel('t,c'); ylabel('h,m');
h(end)
Аргументом функції ode45 є m-файл математичної моделі(файл-функція), записаний на диску під іменем f_lab1. Текст файлу такий:
function y=f_lab1(t,x)
h=x(1); data1; %P2=4e3;
Q2=k2*sqrt(g*h-P2/ro);
y=[1/S*(Q1-Q2)];
Результатом виконання файлу lab1.m для P2=4 кПа є графік перехідного процесу на рис.1:
Рис.3. Графік зміни рівня в часі, спричиненої стрибкоподібною зміною тиску P2
3.3. Побудова графіка залежності значень вихідної величини об’єкту h у стані рівноваги від значень вхідної величини P2 (статичної характеристики об’єкту)
Для визначення реакцій об’єкту на значення P2={4;10;16} кПа потрібно підставити у файл f_lab1.m кожне із значень P2 та виконати файл lab1.m. Одержані пари значень h(0) та P20 записують у таблицю.
Значення залежності h0(P10)
| P20, кПа | 0.4 | 4 | 10 | 16 |
| h0, м | 0.9741 | 1.3410 | 1.9525 | 2.543 |
Графік залежності h0(P20), отриманий після виконання наступної послідовності команд файлу Stat_char.m:
clc;clear all;
P2=[ 0.4 4 10 16];
h0=[ 0.9741 1.3410 1.9525 2.543];
figure(2); plot(P2,h0,'ko-');
grid; xlabel('P_2_0, кПа'); ylabel('h_0,м')
Рис. 4. Графік статичної характеристики об’єкту – залежності вихідної величини об’єкту h0 від збурення P20 в стані рівноваги
4. Висновки
Отримані в роботі перехідні процеси добре відтворюють фізичні явища, які відбуваються в проточній гідравлічній ємності при зміні тиску P2, що свідчить про правильність побудови математичної моделі. Як видно з рис.4, статична характеристика протічної гідравлічної ємності є лінійною.