1   2   3
Ім'я файлу: Многочлени Чебишева.docx
Розширення: docx
Розмір: 633кб.
Дата: 13.02.2021
скачати
Пов'язані файли:
Многочлени Чебишева.docx
Стаття дошк виховання.docx



Многочлени Чебишева, та їх властивості

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………...3

1. Визначення многочленів Чебишева…………………………………..5

2. Властивості многочленів Чебишева на відрізку від [-1, 1]………..8

3. Многочлени які найменше відхиляються від нуля в метриці …14

4. Многочлени Лежандра. Квадратична формула Гауса……………21

5. Многочлени Чебишева та властивості його поліномів……………...23

6. Многочлени Чебишева в прикладах…………………………………..29

ВИСНОВКИ……………………………………………………………...31

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………32

ДОДАТКИ…………………………………………………………............33

ВСТУП
Багаточлени Чебишева є одним з найбільш чудових сімейств многочленів. Вони часто зустрічаються в багатьох областях математики, від теорії апроксимації до теорії чисел і топології тривимірних різноманіть.

У 1849р. Чебишев П. Л. захистив докторську дисертацію «Теория сравнений», яка в тому ж 1849 році була удостоєна Демидівської премії.

З 1850 по 1882 рр. - професор Петербурзького університету. Під час закордонного відрядження (травень-жовтень 1852року до Франції, Англії і Німеччини) Чебишев П. Л. ознайомився з регулятором парового двигуна - паралелограмом Джеймса Ватта. Результати своїх досліджень Чебишев П. Л. виклав в мемуарах «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), заклавши основи одного з найбільш важливих розділів конструктивної теорії функцій - теорії якнайкращого наближення функцій. Саме в цій роботі Чебишев П. Л. ввів ортогональні многочлени, що носять сьогодні його ім’я. Крім наближення многочленами алгебри, Чебишев П. Л. розглядав наближення тригонометричними многочленами і раціональними функціями. В 1859 році його затвердили ординарним академіком Петербурзької Академії наук. Вів дослідження в області теорії чисел (відкрив закон великих чисел), теорії ймовірності, теорії механізмів і багатьох інших розділів математики. Відомі многочлени Чебишева і «паралелограм» Чебишева. У 1944р. Академією наук була установлена премія ім. Чебишева П.Л.. [8].

Многочленом Чебишева степеня називають многочлен , що на  [- 1, 1] задовольняє , або .

Із властивості 1 випливатиме, що справді многочлен.

Оскільки кожен многочлен є аналітичною функцією в С, то за теоремою про єдиність для аналітичних функцій, його достатньо задати на довільній множині, що містить хоч одну свою граничну точку,  зокрема,  на  [- 1, 1].

Позначення для многочленів Чебишова походить від написання його прізвища німецькою мовою (Tchebyshev). В сучасній літературі все частіше зустрічається (від англ. Chebyshev).

Предмет дослідженнямногочлени Чебишева, та їх властивості.

Обєкт дослідженнямногочлени Чебишева.

Мета курсової роботи полягає у дослідження многочленів Чебишева, та їх властивостей.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні завдання:

1. Дати визначення многочленів Чебишева.

2. Визначити властивості многочленів Чебишева на відрізку від [-1, 1].

3. Розглянути многочлени які найменше відхиляються від нуля в метриці .

4. Проаналізувати ногочлени Лежандра. Квадратична формула Гауса.

5. Визначити сутність многочленів Чебишева та властивості його поліномів.

1. Визначення многочленів Чебишева

Як видно з формули 1.1.
, (1.1),

.

похибка заміни функції інтерполяційним многочленом залежить від вибору вузлів інтерполяції . Перш ніж перейти до питання про раціональний вибір вузлів інтерполяції, розглянемо деякі властивості одного з найважливіших й добре вивчених зараз класів спеціальних функцій – многочленів Чебишева першого роду, що часто використовуються для наближення функцій. Многочлен Чебишева го степеня визначається за формулою [1, c. 41]

(1.2)

(1.3)

При з (1.3) отримаємо перші п’ять многочленів першого роду:



Для визначення многочленів Чебишева часто користуються тригонометричною формою запису
, (1.4)

що приводить до таких же виразів для , як і формула (1.3).

Із тотожності



при маємо рекурентну формулу

.

Многочлен має коренів, які можна отримати, розв’язавши рівняння



або ;

(1.4)

(1.5)

Як видно з (1.5), всі коренів, що відповідають значенням знаходяться на відрізку [-1,1], причому ці точки не рівновіддалені, а згущуються ближче до кінця даного відрізка. З формули (1.41) також очевидно, що на відрізку [-1,1]

(1.6)

Доведено, що серед усіх можливих значень на відрізку корені многочлена мають ту “чудову” властивість, що для них величина

(1.7)

має найменше за абсолютною величиною максимальне значення.

(1.8)

Беручи до уваги (1.8), запишемо

. (1.9)

Виходячи із властивостей коренів многочленів Чебишева першого роду і визначення многочлена Лагранжа -го степеня на відрізку можна стверджувати, що якщо за вузлів інтерполювання взяти корені многочлена то максимальне значення похибки на цьому відрізку буде найменшим для всіх можливих варіантів вибору вузлів інтерполювання. Інтерполяційний многочлен, що має таку властивість, називається многочленом найкращого наближення. Оцінка (6.3) при цьому набуває вигляду

.

Якщо інтерполювання проводиться на довільному відрізку , то заміною змінної



цей відрізок можна звести до відрізка При цьому корені многочлена будуть знаходитися в точках



Оцінка похибки має вигляд [1, c. 44]

.

2. Властивості многочленів Чебишева на відрізку від [-1, 1]

Розглянемо функції



задані на відрізку [-1; 1]. Перша з них називається многочленом Чебешева степеня, найменш відхиляється від нуля в області неперервних функцій. Друга (яку називають многочленом Чебешева другого роду), як ми побачемо нижче, являється многочленом степеня , найменш відхиляється від нуля в області (або в метриці L сумуємих функцій) [4].

являється похідною від многочленна Чебешева .

Спочатку переконаємося в тому, що і дійсно являються алгебраїчними многочленами степеня з коефіцієнтами при , рівними одиниці, та інш. в тому, що дві ці функції можна представити у вигляді:



де – деякі числа. Цей факт доводиться за допомогою індукції по .

Насправді наше твердження правильне при , так як тоді припустимо що твердження вірне при то



рівність справджується і для .

Відмітимо що многочлен Чебешева має наступну властивість:



При цьому максимум досягається в точках відрізка де

і значення многочленна в цих точках рівні для , позмінно то , то , та інш. послідовно змінюють знак.

З вище написаного випливає наступна важлива властивість мноочлена:

Серед многочленів



степені з коефіцієнтом рівні одиниці, многочлен Чебешева єдиний, для якого максимум модуля на відрізку досягає свого мінімуму.



Насправді якщо алгебраїчний многочлен степеня з коефіцієнтом при рівний одиниці, відмінний від , то обов’язково



Якщо б це було не так то представивши в вигляді суми



То ми б одержали, що являється многочленом степеня для якого в означеннях вище рівностями (15,3) в точках виконується нерівність



Але коли використовуємо теорему Ролля ми приходимо до того що многочлен степеня перетворюється в нуль в точках і тотожно рівний нулю , що суперечить тому факту що і відмінні один від одного. Доведена властивість многочленна і дало право називати його многочленом, який найменше відхиляється від нуля на відрізку в метриці неперервних функцій [4].

Доведемо тепер аналогічну властивість многочленна .

Серед многочленів степеня з коефіцієнтом при , рівний одиниці, многочлен – єдиний, для якого інтеграл

Досягає свого мінімуму



Цю властивість многочленна можна встановити опираючись на той факт, що функція с, 24)



Ортогональна на відрізку до всіх многочленів степеня . Інакше кажучи для всіх многочленів степеня має місце рівність



Насправді, нехай – відмінний від многочлен степеня з коефіцієнтом при , рівний одиниці. Тоді якщо рахувати що



де – деякі многочлен степеня , то в силу (15,5)



Той факт що в цих рівностях стоїть знак строгої нерівності випливає по-перше з того що для всіх , за виключенням скінченого числа точок, і по-друге з того що в силу припущення що многочлен і різні, але мають рівні коефіцієнти при , знаки цих функцій не можуть співпадати на відрізку .

Тепер залишилося довести рівність (15,5). Ряд Фур’є функції має такий вигляд:



Звідси для



Так як функція являється непарним тригонометричним поліномом порядку то вона може бути представлена в наступному вигляді:



а розклад функції в ряд Фур’є містить синус тільки кратності . Треба мати на увазі що для натуральних і .

З рівності (15,6), правильних для випливає рівність (15,5) для всіх многочленів степеня .

Нижче наведемо приклад многочленна Чебешева і многочленів , які найменше відхиляються від нуля (в метриках і ) на відрізку для малих .

Многочленни Чебешева :













Многочленни Чебешева :











[5]

  1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас