Ім'я файлу: Оператори проектування.doc
Розширення: doc
Розмір: 79кб.
Дата: 30.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
КУРСОВА РОБОТА.docx
Розширення: doc
Розмір: 79кб.
Дата: 30.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
КУРСОВА РОБОТА.docx
Міністерство Освіти Російської Федерації
Вятський Державний Гуманітарний Університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і МПМ
Випускна кваліфікаційна робота
Оператори проектування.
Виконав студент 5курса
математичного факультету
Лежнін В.В.
/ Підпис /
| |
Науковий керівник:
Старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ
Гукасов А.К.
/ Підпис /
| |
Рецензент:
Старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ
Підгірна М.І.
/ Підпис /
| |
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
/ Підпис / <<>>
Декан факультету В.І. Варанкіна
/ Підпис / <<>>
Кіров
2003
Зміст.
Введення. 2
Частина I. Основні поняття і пропозиції. 2
Частина II. Доповнюваності у гільбертових просторах. 10
Частина III. Задача про доповнюваності. 13
Література. 15
Введення.
У даній роботі розглядаються оператори проектування, які є приватним випадків лінійних операторів, їх деякі властивості, і розглядається питання: як за допомогою операторів проектування можна з'ясувати доповнюваності безліч чи ні. Так само освячується тема доповнюваності у гільбертових просторах. Попутно для розгляду пропонуються деякі визначення та факти, на які спираються потрібні нам затвердження. До самостійно виконаних завдань відносяться доказ замкнутості ядра (стор. 6, пропозиція 2), формула зміни коефіцієнтів Фур'є при зсуві на деякий дійсне число рішення задачі про доповнюваності.
Частина I. Основні поняття і пропозиції.
Визначення. Метрику d на векторному просторі X будемо називати інваріантної, якщо d (x + z, y + z) = d (x, y), для будь-яких x, y, z з X.
Визначення. Нехай d - метрика на множині X. Якщо кожна послідовність Коші сходиться в X до деякій точці, то d називається повною метрикою на X.
Визначення. Векторний простір X називається нормованим простором, якщо кожному елементу x з X зіставлять невід'ємне дійсне число , Іменоване нормою x, і виконуються такі умови:
1. £ + "X, yÎX.
2. = "XÎX," a - скаляра.
3. > 0, якщо x ¹ 0.
Приклади нормованих просторів.
1) l - Нормований простір, в якому елементи - послідовності комплексних чисел x = (x , ..., X , ...), Що задовольняють умові <¥,
норма в такому просторі визначається ;
2) L (0,1) - нормований простір, що складається з функцій з інтегрованим квадратом на інтервалі (0, 1), що задовольняє умові dx <¥, і норма визначена як = .
3) З [0, 2p] - простір неперервних 2p періодичних функцій на відрізку [0, 2p]. Норма в ньому визначається =
Визначення. Нехай X, Y - два топологічних лінійних простору. Лінійним оператором, чинним з X в Y, називається відображення y = Ax, де x належить X, а y належить Y, що задовольняє умові
A (ax + Bx ) = AAx + BAx .
Визначення. Оператор A називається безперервним в точці x області визначення, якщо для будь-якої околиці V точки y = Ax існує така околицю U точки x , Що Ax належить V, як тільки x належить перетинанню області визначення і U. Оператор A називається безперервним, якщо він безперервний у кожній точці області визначення.
Визначення. Лінійний оператор, який діє з Е в Е , Називається обмеженим, якщо він визначений на всьому Е і кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений.
Пропозиція 1. Всякий безперервний лінійний оператор обмежений.
Доказ.
Нехай М - підмножина обмеженої множини Е, а підмножина АМ безлічі Е не обмежена. Тоді в Е знайдеться така близько нуля V, що жодне з множин АМ не міститься в V. То тоді існує така послідовність х з М, що жоден з елементів Ах не належить V, і виходить, що х ® 0 в Е, але послідовність { Ах } не сходиться до 0 в Е , А це суперечить безперервності оператора А.
У нормованих просторах визначення обмеженості лінійних операторів можна сформулювати так: оператор А обмежений, якщо існує така постійна С, що для всякого f з Е
.
Найменше з чисел С, що задовольняє цьому нерівності, називається нормою оператора А і позначається .
Визначення. Нехай X - векторний простір. Лінійне відображення P: X → X називається проектором в просторі X, якщо , Тобто P (P (x)) = Px для будь-якого елемента x з X.
Властивості проекторів.
Нехай P проектор в X з ядром N (P) і способом R (P).
1. R (P) = N (IP) = {xÎX, Px = x}, де I - тотожне відображення;
2. R (P) ÇN (P) = {0} і X = R (P) + N (P);
Доказ 1.
а) Так як (IP) P = IP- = PP = 0, то R (P) міститься в N (IP);
б) Якщо x належить N (IP), то x-Px = 0, отже, x = Px належить R (P), значить N (IP) міститься в R (P);
Таким чином, з а) і б) випливає, що R (P) = N (IP).
Доказ 2.
Якщо x належить перетинанню R (P) і N (P), то x = Px = 0, а отже, R (P) і N (P) перетинаються по {0};
Для будь-якого x з X можна представити у вигляді x = Px + (x-Px), де Px належить R (P) і x-Px належить N (P), значить X = R (P) + N (P);
Визначення. М - замкнутий підпростір топологічного векторного простору X. Якщо в X існує таке замкнуте підпростір N, що X = M + N і MÇN = {0}, то говорять, що М доповнюваності в X і що X є прямою сумою підпросторів X = MÅN.
Визначення. Топологічний векторний простір X називається F-простором, якщо топологія породжується деякою повної інваріантної метрикою.
Теорема o замкнений графік.
Припустимо, що X та Y є F-просторами, відображення Т: X → Y лінійно і безліч G = {(x, Tx): xÎX} (його графік) замкнуто в X'Y. Тоді Т - безперервно.
Пропозиція 2. Нехай Ù - лінійний функціонал на топологічному векторному просторі X. Припустимо, що Ùx ¹ 0 для деякого x з X.
Тоді якщо Ù безперервний, те ядро N (Ù) замкнуто в X.
Доказ.
Так як N (Ù) = Ù ({0}), а {0} - замкнутий безліч поля скалярів (як будь-яке одноточкові підмножина), то тоді безперервність Ù тягне замкнутість ядра (як прообраз замкнутого безлічі при безперервному відображенні).
Теорема 1.
а) Якщо Р - безперервний проектор в топологічному векторному просторі X, то X представляється у вигляді прямої суми підпросторів X = R (P) ÅN (P);
б) Зворотно: якщо Х є F-простором і X представляється у вигляді прямої суми підпросторів Х = АÅВ, то проектор Р з образом А і ядром У неперервний.
Доказ:
а) Так як Р і IP неперервні, то підпростору N (P) і R (P) = N (IP) замкнуті (див. пропозицію 2), значить по другому властивості проекторів X = R (P) ÅN (P);
Щоб довести б) достатньо перевірити, що проектор Р задовольняє умовам теореми про замкнений графік.
Нехай послідовності x → x і Px → y.
Так як Px належить А, А - замкнуто, отже y належить A, а значить y = Py.
Аналогічно x - Px належить В, В - замкнуто, отже xy належить B, значить Py = Px тому y = Px. Отримали, що точка (x, y) належить G (див. теорему про замкнений графік). Звідси випливає, що проектор Р неперервний.
Визначення. Топологічна група називається група G, забезпечена такою топологією, щодо якої групові операції в G безперервні.
Розшифровка цього визначення полягає в тому, що постулюється безперервне відображення j: G'G ® G, визначеного рівністю: j (x, y) = xy .
Визначення. Топологічна група G, топологія якої компактна, називається компактною групою.
Визначення. Топологічний векторне простір X називається локально опуклим, якщо в ньому повно непорожнє відкрите безліч містить непорожнє опукле відкрите підмножина.
Визначення. Простір X називається простором Фреше, якщо воно є локально опуклим F-простором.
Визначення. Припустимо, що топологічний векторний простір X і топологічна група G пов'язані наступним чином: кждому елементу s з G сопоставлен безперервний лінійний оператор T : X ® X, причому
T = T T , Де s, t належать G
і відображення (s, x) ® T x прямого твори G'X в просторі X безперервно. У цьому випадку говорять, що група G безперервно і лінійно діє в просторі X.
Теорема 2.
Нехай Y - доповнюється підпростір Фреше Х, і нехай компактна група G неперервна і лінійно діє на Х, причому Т (Y) ÌY для будь-якого sÎG. Тоді існує безперервний проектор Q простору Х на підпростір Y, коммутирующий з усіма операторами Т .
Лемма Фату. Нехай на множині E задана послідовність вимірних, майже всюди кінцевих функцій f (X), яка сходиться в міру до деякої майже всюди кінцевої функції f. Тоді
dm £ dm
Приклад недополняемого підпростору.
Розглянемо підпростір Y = H простору Х = L , Де L - Простір всіх сумовних функцій на комплексній площині, а H складається з усіх функцій L , Для яких (N) = 0, при всіх n <0. (N) означає n-ий коефіцієнт Фур'є функції f і обчислюється:
(N) = e dx, (n = 0, 1, 2, ...). (1)
(Для простоти позначається: f (x) = f (e )).
В якості групи G візьмемо мультипликативную групу всіх комплексних чисел, по модулю рівних 1, і можна порівняти кожному елементу
e ÎG оператор зсуву t , Вважаючи, що
(T f) (x) = f (x + s), де s - деяке дійсне число. (2)
Тепер подивимося, як змінюються коефіцієнти Фур'є при такому зсуві: ( ) (N) = e dx.
Зробимо заміну: x + s = t Þ x = ts. Тоді
( ) (N) = e d (ts) =
= e e dt = e e dt = e (N),
тобто (t f) (N) = e (N). (3).
Так як e ÎG, то t (H ) = H для будь-якого дійсного s.
Якби підпростір H було доповнюваності в L , То з Т2. слід було б існування такого безперервного проектора Q простору L на H , Що t Q = Qt для будь-якого дійсного s. (4).
Знайдемо вигляд проектора. Покладемо e (X) = e . Тоді t e = E e , А тому що оператор Q лiнійний,
Qt e = E Qe . (5).
З (4) і (5) випливає, що
(Qe ) (Xs) = e (Qe ) (X). (6).
Нехай З = (Qe ) (0). При Q = 0 співвідношення (6) має вигляд
Qe = C e . (7).
Скористаємося тим, що образом оператора Q служить підпростір Н . Так як Qe належить H для будь-якого n, то з (7) випливає, що
З = 0 для будь-якого n <0. Так як Qf = f для будь-якого f з H , То З = 1 при будь-якому n ³ 0.
Таким чином, проектор Q повинен бути «природним», тобто його дія зводиться до заміни нулями всіх коефіцієнтів Фур'є з негативними номерами:
Q ( e ) = e . (8).
Розглянемо функцію f (X) = e , (0
= dx = dx = 1 для будь-якого r. (10) Але (Qf ) (X) = e = (11).
Так як dx = ¥, то з леми Фату випливає, що ® ¥, при
r ® 1. У силу (10) це суперечить безперервності оператора Q.
Таким чином, доведено, що H недополняемо в L .
Частина II. Доповнюваності у гільбертових просторах.
Гільбертів простір.
Комплексне векторний простір Н називається простором з внутрішнім твором (унітарна простір), якщо кожній впорядкованої парі векторів x, y з Н зіставлять комплексне число (x, y), зване скалярним і:
а) (y, x) = , "X, yÎH;
b) (x + y, z) = (x + z) + (y + z), "x, y, zÎH;
c) (ax, y) = a (x, y), "x, yÎH," aÎC;
d) (x, x) ³ 0, "xÎH;
e) (x, x) = 0 Û x = 0, "xÎH;
Якщо (x, y) = 0, то говорять, що x ортогонален y (позначення x ^ y).
Якщо Е підмножина М, F підмножина H, то Е ^ F позначає, що (x, y) = 0 для будь-яких x з E і будь-яких y з F.
Через Е позначаються всі y з H, ортогональні кожному з векторів x з E.
Нормою в просторі Н називається число .
Якщо отримане нормований простір є повним, то воно називається гільбертовому просторі.
Приклади гільбертових просторів.
1) l - Комплексне Гільбертів простір, в якому скалярний твір визначається формулою (x, y) = ;
2) L (0,1) - Гільбертів простір, в якому скалярний твір визначено формулою
(F, g) = dx.
Теорема3:
М - замкнутий підпростір гильбертова простору Н, отже H можна представити у вигляді прямої суми M і М (Н = МÅМ , М - Ортогональноє додаток до М).
Доказ:
Якщо Е підмножина М, то з лінійності скалярного твору (x, y) по x випливає, що Е є підпростором в Н. Припустимо, що елементи g належать Е і сходяться до g. Тоді для будь-якого f з E
(G, f) = = 0, і тому g теж входить в Е , Значить Е - Замкнутий підпростір.
(1) Якщо х належить М і х належить М , То (х, х) = 0, а це буде тоді і тільки тоді, коли х = 0, отже МÇМ = {0}.
(2) Нехай х належить Н.
Розглянемо безліч х-М = {х-х : Х ÎМ}, причому х такий, що він мінімізує величину . Нехай х = Х-х , Отже, £ для будь-яких y з М, значить, х належить М , Тому для будь-якого х з Н х можна представити у вигляді х = х + Х , Де х з М і х з М .
З (1) і (2) випливає, що Н представимо у вигляді прямої суми М і М Н = МÅМ , Отже будь-яка підмножина в гільбертовому просторі доповнюваності.
Приклади доповнюваних підпросторів у гільбертовому просторі.
1) у l розглянемо елементи x = (x , ..., X , ...), У яких x = 0 при парних n і x довільні при n непарних. Ці елементи утворюють в l замкнутий підпростір. Назвемо його X.
Розглянемо також елементи y = (y , ..., Y , ...), У яких y довільні при парних n, і y = 0 при непарних n. Ці елементи утворюють замкнутий підпростір в l , І при цьому це підпростір є ортогональним доповненням до X, так як їх скалярний добуток дорівнює 0. Отже, по Т3. X доповнюваності в H за допомогою X .
2) L (0,1).
Нехай X - підпростір L (0,1), що складається з тих функцій L (0,1), які звертаються в 0 на інтервалі (0, а].
Нехай Y - підпростір L (0,1), що складається з тих функцій L (0,1), які в нуль не обертаються на інтервалі [a, 1).
Тоді Y є ортогональним доповненням X, так як їх скалярний добуток дорівнює 0, а значить X доповнюваності в L (0,1) за допомогою Y.
Частина III. Задача про доповнюваності.
Нехай З [0, 2p] - сукупність усіх неперервних 2p періодичних функцій на відрізку [0, 2p].
Нехай Е - множина парних чисел і нехай
З = {F (x) Î З : (N) = 0 "nÏE}.
Потрібно довести, що С доповнюваності в С [0, 2p].
Доказ:
Щоб довести необхідну, необхідно знайти такий безперервний проектор, який би відображав безліч З [0, 2p] на С (Т1.), таким чином, щоб коефіцієнти Фур'є функцій, що стоять на непарних номерах, відображалися б в 0, а на парних залишалися б без зміни.
Розглянемо оператор P = (T + I), де t - Оператор зсуву на p, а I - тотожне відображення.
t обмежений, тому що ми маємо справу з 2p періодичними функціями, так як
= = 1 , Тобто С = 1.
А раз він обмежений, то отже і безперервний (пропозиція 1).
I - теж неперервний.
Тепер подивимося, як зміняться коефіцієнти Фур'є функцій при такому відображенні.
1) n = 2k-1, де до - ціле.
(( ) (2k-1) + ( ) (2k-1)) =
= (E (2k-1) + (2k-1)) = (2k-1) (e +1). (*)
Так як e = Cos j + isin j, значить e = Cos ((2k-1) p) + isin ((2k-1) p).
При будь-якому k - загалом вираз cos ((2k-1) p) + isin ((2k-1) p) = -1, а, отже, і вираз (*) приймає значення 0. Ми засвідчили, що коефіцієнти Фур'є функцій, що стоять на непарних номерах при такому відображенні звертаються до 0.
2) n = 2k, де k - ціле.
(( ) (2k) + ( ) (2k)) = (E (2k) + (2k)) =
= (2k) (e +1). (**)
При будь-якому k - загалом вираз cos (2kp) + isin (2kp) = 1, а отже і вираз (**) не змінює свого значення, тобто одно (2k). Ми показали, що коефіцієнти Фур'є функцій, що стоять на парних номерах при такому відображенні не змінюються, тобто оператор Р дійсно є проектором.
Таким чином, знайшовся такий безперервний проектор P: З [0, 2p] ® З , Отже З доповнюваності в С [0, 2p].
Література.
1. Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. М., Наука. 1989.
2. Рудін Уолтер. Функціональний аналіз. М., Наука. 1975.
3. Вулих Б.З. Короткий курс у теорію функцій дійсної змінної. М., Наука. 1973.
//ua-referat.com