12
§2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия как предел числовой последовательности (или функции) и.д. Обобщив некоторые понятия, французский математик М. Фреше построил теорию метрических пространств. П Понятие метрического пространства. Пусть Х произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана метрика (расстояние, если для каждой паре элементов x,y
∈X поставлено в соответствие единственное неотрицательное число
ρ(х,у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства)
1.
ρ(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома тождества
2.
ρ(х,у)= ух) для ∀х,у∈X (аксиома симметрии
3.
ρ(х,у)+ ух) ∀х,у,z∈X (аксиома треугольника Пара (Х,
ρ) те. множество Х с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством Если (Х,
ρ)- метрическое пространство и АХ, то пара (А, ρ), где ρ(х,у) расстояние между точками х,у
∈А равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х,
ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х,
ρ). Примеры
1. На любом непустом множестве Х можно определить метрику следующим образом:
ρ(х,у)
=
≠
⎧
⎨
⎩
0, x = y;
1, x Такое пространство называется пространством изолированных точек.
2. Пусть Х - множество действительных чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств функции абсолютная величина числа. Полученное метрическое пространство называется одномерным арифметическим пространством или числовой прямой.
3. Пусть Х - множество упорядоченных наборов n вещественных чисел. Тогда для любых двух его точек
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,...
и
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
, ,...,
определим расстояние
13
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
1 2
)
,
(
ρ
; Получим метрическое пространство, называемое мерным арифметическим пространством, которое обозначается
n
R
4. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе Полученное пространство обозначают
R
n
0 5. Воспользуемся множеством вех функций, непрерывных на отрезке [a;b]. Расстоянием между двумя его элементами будем вычислять по формуле
ρ(
f
,
g
)=
[ ]
( )
( )
sup
;
x a b
f x
g Получили пространство непрерывных на [a;b] функций (обозначается
[ ]
C
a b
;
).
6. Возьмем множество числовых последовательностей, квадраты членов которых образуют сходящийся числовой ряд. Метрику определим аналогично метрики примера 3, те.
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,..., ,...
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
,
,...,
,...
ρ(х,у)
(
)
=
−
=
∞
∑
x
y
i
i
i
2 1
; Получили метрическое пространство, называемое координатным пространством Гильберта П Основные определения. Пусть (Х) произвольное метрическое пространство. Открытым шаром радиуса r и с центром в точке
0
x
называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше r
( )
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 0
,
,
=
∈
<
ρ
x y
0
a b
Замкнутым шаром радиуса r и с центром в точке х называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше или равно r
[ ]
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 Окрестностью точки а сферической окрестностью) называется открытый шар с центром в этой точке и радиуса В пространстве R
1
открытым шаром
( )
B x r
0
,
является интервал
(
)
x
r x
r
0 Пусть А - произвольное множество метрического пространства (Х. Точка а
∈А называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность этой точки, целиком входящая во множество А. Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества Аи обозначается (другое обозначение intA). Множество, состоящее только из внутренних точек называется отрытым r
x
0
r x
0
x
0
Точка b называется внешней точкой множества А, если она является внутренней точкой дополнения те. множества ХА (те. существует окрестность точки b, не имеющая с множеством А общих точек. Точка а
∈А называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки содержится бесчисленное количество точек из множества А. Множество всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается А' Точка а называется точкой прикосновения множества А, если в любая окрестность точки а имеет с множеством А непустое пересечение. Внутренняя точка
A
X
b
Внешняя точка Замечание Каждая предельная точка является точкой прикосновения, ноне наоборот. Точка множества Ане являющуюся предельной точкой называется изолированной точкой если точка изолированная, то существует такая окрестность этой точки, которая содержит из множества только саму эту точку. Каждая точка прикосновения или предельная точка или изолированная. Множество М метрического пространства (Х) называется ограниченным если существует открытый шар, целиком содержащий множество М. Диаметром множества М называется число
( )
( Расстоянием от точки а до множества М называется число
(
)
( )
x
a
M
a
M
x
,
inf
,
ρ
ρ
∈
=
A
A
A
Расстоянием между двумя множествами M и N называется число
(
)
( Если
M N
I
≠ ∅
то М. Обратное, вообще говоря неверно. Примеры
1) В пространстве
1
R
множество
A
n
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1 1
2 1
3 1
, , ,..., ,...
обладает следующими свойствами все точки изолированные (внутренних точек не имеется.
• точка 0
∉ A
является точкой прикосновения этого множества
• множество ограничено
• диаметр множества d(A)=1;
• множеством внешних точек является множество
B=
(
) (
)
− ∞
+∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
∞
;0
;
;
U
U
U
1 1
1 1
1
n
n
n
2) Множество С
1
R
обладает следующими свойствами
• множество С открыто, т.к. все его точки внутренние
• множество точек прикосновения совпадает с производным множеством С
• изолированных точек нет
• множество С ограничено
• диаметр множества d(C)=b-a; П Понятие сходимости. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
метрического пространства (Х) называется сходящейся к точке а если
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
a
M
M
N
те.
(
)
ε
ρ
ε
<
⇒
∀
∃
∀
a
,
x n
>
n
,
n
0
>
n
0 0
. При этом точку а называют пределом последовательности и записывают Теорема 1 Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел Предположим, что последовательность
{ имеет два предела
(
)
(
)
lim
,
lim
,
n
n
n
n
x a
x a
→∞
→∞
=
=
ρ
ρ
1 Тогда в неравенстве треугольника для точек
1
a
и
2
a
(
2 1
a
a
≠
)
(
) (
) (
)
ρ
ρ
ρ
a a
a x
x a
n
n
1 2
1 правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему.
<
Теорема 2 Точка а метрического пространства Х является точкой прикосновения множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность точек, сходящихся к точке а Если точка а точка прикосновения множества А, то любая ее окрестность, в частности, открытый шар
B a
n
,
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
имеет с множеством А непустое пересечение, следовательно в каждом таком шаре существует хотя бы одна точка
x
A
n
∈
. Очевидно, что
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
. Следовательно Теорема 3 Точка а метрического пространства Х является предельной точкой множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность попарно различных точек, сходящихся к точке а Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Определение. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
пространства (Х) называется фундаментальной если для любого числа
ε
>0 найдется такое число N, что для всех n,
m >N выполняется неравенство
(
)
ε
ρ
<
n
m
x
x ,
. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Определение. Метрическое пространство в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным В терминах теории метрических пространств известный критерий Коши сходимости числовой последовательности означает полноту метрического пространства Полными являются пространства R
n
,
[ ]
R C
0
n П Замыкание множества. Свойства операции замыкания. Определение Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества Замыкание множества М обозначается Определение Множество М метрического пространства Х называется замкнутым если оно совпадает со своим замыканием. Операция замыкания обладает следующими свойствами
1.
A
A
⊂
;
2.
M
N
M
N
⊂ ⇒
⊂
;
3.
A A
=
;
4.
M N
M N
U
U
=
; Доказательство этих свойств будет приведено для более общего случая топологических пространств. П Свойства открытых и замкнутых множеств метрического пространства. Теорема 4 Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто Пусть F замкнутое множество. И точка
x
X F
0
∈ \
. Так как множество F содержит все свои точки прикосновения, тоне является таковой, а следовательно существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в дополнении множества те. в
X F
\
. Таким образом мы получаем, что произвольная точка
X F
\
является внутренней, а само множество - открыто. Предположим теперь, что множество
X F
\
- отрытое множество. Докажем, что множество F содержит все свои точки прикосновения. Пусть точка те.
y
0
точка прикосновения множества F) и
F
y
∉
0
. Тогда
y
X F
0
∈ \
, в силу открытости множества
X F
\
существует окрестность
(
)
B y
X F
0
,
\
ε
⊂
. Тогда точка
y
0
не является точкой прикосновения множества F. Получили противоречие стем что
y
0
∉F
, следовательно множество F содержит все свои точки прикосновения те. замкнуто.
<
Теорема 5 (О свойствах системы открытых множеств) Отрытые множества обладают следующими свойствами
1. Все пространство Хи- открытые множества
2. Объединение любого количества открытых множеств, есть множество открытое.
3. Пересечение конечного числа открытых множест есть множество открытое.
1 утверждение теоремы очевидно. Пусть множества
G
α
- открыты в метрическом пространстве (Х. Рассмотрим произвольную точку
x
G
G
0
∈ =
α
α
U
. Так как точка
x
0
принадлежит объединению множеств, то существует по крайней мере, одно множество
G
β
, которое содержит эту точку. Множество
G
β
- открытое, следовательно все его точки внутренние. Значит существует такой открытый шар
20
(
)
B Следовательно
(
)
B x
G
0
,
ε
α
α
⊂
U
. Таким образом произвольная точка
x
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество G - открытое.
3. Выберем произвольную точку
y
G
G
n
n
k
0 1
∈ =
=
I
. Так как все множества
G G
G
n
1 2
,
,...,
открытые то
(
)
∃
⊂
B y
G
0 1
1
,
ε
,
(
)
∃
⊂
B y
G
0 2
2
,
ε
,...,
(
)
∃
⊂
B Все сферические окрестности точки
y
0
отличаются лишь радиусами. Обозначим
{ }
ε
ε
=
≤ ≤
min
1 i k
i
. Тогда сферическая окрестность
(
)
B y
0
,
ε будет входить вовсе множества, а следовательно ив пересечение этих множеств. Таким образом произвольная точка
y
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество
G
- открытое. Теорема Семейство всех замкнутых множеств обладает следующими свойствами a
21 1. Все пространство Хи -являются замкнутыми множествами
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств - замкнуто
3. Пересечение любого числа замкнутых множеств - замкнуто. Доказательство теоремы основано на применении формул Де Моргана. Замечание Пересечение бесконечного числа открытых множеств может быть и не открыто. Рассмотрим, например, в пространстве
R
1
пересечение множеств
{ }
0 1
;
1 1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
∞
=
I
n
n
n
. Результат пересечения одноточечное множество
{ }
0
не является отрытым множеством в
R
1
скачати
12
§2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия как предел числовой последовательности (или функции) и.д. Обобщив некоторые понятия, французский математик М. Фреше построил теорию метрических пространств. П Понятие метрического пространства. Пусть Х произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана метрика (расстояние, если для каждой паре элементов x,y
∈X поставлено в соответствие единственное неотрицательное число
ρ(х,у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства)
1.
ρ(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома тождества
2.
ρ(х,у)= ух) для ∀х,у∈X (аксиома симметрии
3.
ρ(х,у)+ ух) ∀х,у,z∈X (аксиома треугольника Пара (Х,
ρ) те. множество Х с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством Если (Х,
ρ)- метрическое пространство и АХ, то пара (А, ρ), где ρ(х,у) расстояние между точками х,у
∈А равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х,
ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х,
ρ). Примеры
1. На любом непустом множестве Х можно определить метрику следующим образом:
ρ(х,у)
=
≠
⎧
⎨
⎩
0, x = y;
1, x Такое пространство называется пространством изолированных точек.
2. Пусть Х - множество действительных чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств функции абсолютная величина числа. Полученное метрическое пространство называется одномерным арифметическим пространством или числовой прямой.
3. Пусть Х - множество упорядоченных наборов n вещественных чисел. Тогда для любых двух его точек
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,...
и
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
, ,...,
определим расстояние
13
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
1 2
)
,
(
ρ
; Получим метрическое пространство, называемое мерным арифметическим пространством, которое обозначается
n
R
4. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе Полученное пространство обозначают
R
n
0 5. Воспользуемся множеством вех функций, непрерывных на отрезке [a;b]. Расстоянием между двумя его элементами будем вычислять по формуле
ρ(
f
,
g
)=
[ ]
( )
( )
sup
;
x a b
f x
g Получили пространство непрерывных на [a;b] функций (обозначается
[ ]
C
a b
;
).
6. Возьмем множество числовых последовательностей, квадраты членов которых образуют сходящийся числовой ряд. Метрику определим аналогично метрики примера 3, те.
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,..., ,...
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
,
,...,
,...
ρ(х,у)
(
)
=
−
=
∞
∑
x
y
i
i
i
2 1
; Получили метрическое пространство, называемое координатным пространством Гильберта П Основные определения. Пусть (Х) произвольное метрическое пространство. Открытым шаром радиуса r и с центром в точке
0
x
называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше r
( )
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 0
,
,
=
∈
<
ρ
x y
0
a b
Замкнутым шаром радиуса r и с центром в точке х называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше или равно r
[ ]
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 Окрестностью точки а сферической окрестностью) называется открытый шар с центром в этой точке и радиуса В пространстве R
1
открытым шаром
( )
B x r
0
,
является интервал
(
)
x
r x
r
0 Пусть А - произвольное множество метрического пространства (Х. Точка а
∈А называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность этой точки, целиком входящая во множество А. Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества Аи обозначается (другое обозначение intA). Множество, состоящее только из внутренних точек называется отрытым r
x
0
r x
0
x
0
Точка b называется внешней точкой множества А, если она является внутренней точкой дополнения те. множества ХА (те. существует окрестность точки b, не имеющая с множеством А общих точек. Точка а
∈А называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки содержится бесчисленное количество точек из множества А. Множество всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается А' Точка а называется точкой прикосновения множества А, если в любая окрестность точки а имеет с множеством А непустое пересечение. Внутренняя точка
A
X
b
Внешняя точка Замечание Каждая предельная точка является точкой прикосновения, ноне наоборот. Точка множества Ане являющуюся предельной точкой называется изолированной точкой если точка изолированная, то существует такая окрестность этой точки, которая содержит из множества только саму эту точку. Каждая точка прикосновения или предельная точка или изолированная. Множество М метрического пространства (Х) называется ограниченным если существует открытый шар, целиком содержащий множество М. Диаметром множества М называется число
( )
( Расстоянием от точки а до множества М называется число
(
)
( )
x
a
M
a
M
x
,
inf
,
ρ
ρ
∈
=
A
A
A
Расстоянием между двумя множествами M и N называется число
(
)
( Если
M N
I
≠ ∅
то М. Обратное, вообще говоря неверно. Примеры
1) В пространстве
1
R
множество
A
n
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1 1
2 1
3 1
, , ,..., ,...
обладает следующими свойствами все точки изолированные (внутренних точек не имеется.
• точка 0
∉ A
является точкой прикосновения этого множества
• множество ограничено
• диаметр множества d(A)=1;
• множеством внешних точек является множество
B=
(
) (
)
− ∞
+∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
∞
;0
;
;
U
U
U
1 1
1 1
1
n
n
n
2) Множество С
1
R
обладает следующими свойствами
• множество С открыто, т.к. все его точки внутренние
• множество точек прикосновения совпадает с производным множеством С
• изолированных точек нет
• множество С ограничено
• диаметр множества d(C)=b-a; П Понятие сходимости. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
метрического пространства (Х) называется сходящейся к точке а если
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
a
M
M
N
те.
(
)
ε
ρ
ε
<
⇒
∀
∃
∀
a
,
x n
>
n
,
n
0
>
n
0 0
. При этом точку а называют пределом последовательности и записывают Теорема 1 Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел Предположим, что последовательность
{ имеет два предела
(
)
(
)
lim
,
lim
,
n
n
n
n
x a
x a
→∞
→∞
=
=
ρ
ρ
1 Тогда в неравенстве треугольника для точек
1
a
и
2
a
(
2 1
a
a
≠
)
(
) (
) (
)
ρ
ρ
ρ
a a
a x
x a
n
n
1 2
1 правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему.
<
Теорема 2 Точка а метрического пространства Х является точкой прикосновения множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность точек, сходящихся к точке а Если точка а точка прикосновения множества А, то любая ее окрестность, в частности, открытый шар
B a
n
,
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
имеет с множеством А непустое пересечение, следовательно в каждом таком шаре существует хотя бы одна точка
x
A
n
∈
. Очевидно, что
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
. Следовательно Теорема 3 Точка а метрического пространства Х является предельной точкой множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность попарно различных точек, сходящихся к точке а Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Определение. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
пространства (Х) называется фундаментальной если для любого числа
ε
>0 найдется такое число N, что для всех n,
m >N выполняется неравенство
(
)
ε
ρ
<
n
m
x
x ,
. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Определение. Метрическое пространство в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным В терминах теории метрических пространств известный критерий Коши сходимости числовой последовательности означает полноту метрического пространства Полными являются пространства R
n
,
[ ]
R C
0
n П Замыкание множества. Свойства операции замыкания. Определение Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества Замыкание множества М обозначается Определение Множество М метрического пространства Х называется замкнутым если оно совпадает со своим замыканием. Операция замыкания обладает следующими свойствами
1.
A
A
⊂
;
2.
M
N
M
N
⊂ ⇒
⊂
;
3.
A A
=
;
4.
M N
M N
U
U
=
; Доказательство этих свойств будет приведено для более общего случая топологических пространств. П Свойства открытых и замкнутых множеств метрического пространства. Теорема 4 Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто Пусть F замкнутое множество. И точка
x
X F
0
∈ \
. Так как множество F содержит все свои точки прикосновения, тоне является таковой, а следовательно существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в дополнении множества те. в
X F
\
. Таким образом мы получаем, что произвольная точка
X F
\
является внутренней, а само множество - открыто. Предположим теперь, что множество
X F
\
- отрытое множество. Докажем, что множество F содержит все свои точки прикосновения. Пусть точка те.
y
0
точка прикосновения множества F) и
F
y
∉
0
. Тогда
y
X F
0
∈ \
, в силу открытости множества
X F
\
существует окрестность
(
)
B y
X F
0
,
\
ε
⊂
. Тогда точка
y
0
не является точкой прикосновения множества F. Получили противоречие стем что
y
0
∉F
, следовательно множество F содержит все свои точки прикосновения те. замкнуто.
<
Теорема 5 (О свойствах системы открытых множеств) Отрытые множества обладают следующими свойствами
1. Все пространство Хи- открытые множества
2. Объединение любого количества открытых множеств, есть множество открытое.
3. Пересечение конечного числа открытых множест есть множество открытое.
1 утверждение теоремы очевидно. Пусть множества
G
α
- открыты в метрическом пространстве (Х. Рассмотрим произвольную точку
x
G
G
0
∈ =
α
α
U
. Так как точка
x
0
принадлежит объединению множеств, то существует по крайней мере, одно множество
G
β
, которое содержит эту точку. Множество
G
β
- открытое, следовательно все его точки внутренние. Значит существует такой открытый шар
20
(
)
B Следовательно
(
)
B x
G
0
,
ε
α
α
⊂
U
. Таким образом произвольная точка
x
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество G - открытое.
3. Выберем произвольную точку
y
G
G
n
n
k
0 1
∈ =
=
I
. Так как все множества
G G
G
n
1 2
,
,...,
открытые то
(
)
∃
⊂
B y
G
0 1
1
,
ε
,
(
)
∃
⊂
B y
G
0 2
2
,
ε
,...,
(
)
∃
⊂
B Все сферические окрестности точки
y
0
отличаются лишь радиусами. Обозначим
{ }
ε
ε
=
≤ ≤
min
1 i k
i
. Тогда сферическая окрестность
(
)
B y
0
,
ε будет входить вовсе множества, а следовательно ив пересечение этих множеств. Таким образом произвольная точка
y
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество
G
- открытое. Теорема Семейство всех замкнутых множеств обладает следующими свойствами a
21 1. Все пространство Хи -являются замкнутыми множествами
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств - замкнуто
3. Пересечение любого числа замкнутых множеств - замкнуто. Доказательство теоремы основано на применении формул Де Моргана. Замечание Пересечение бесконечного числа открытых множеств может быть и не открыто. Рассмотрим, например, в пространстве
R
1
пересечение множеств
{ }
0 1
;
1 1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
∞
=
I
n
n
n
. Результат пересечения одноточечное множество
{ }
0
не является отрытым множеством в
R
1
скачати
12
§2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых пространствах, в математическом анализе при определении такого фундаментального понятия как предел числовой последовательности (или функции) и.д. Обобщив некоторые понятия, французский математик М. Фреше построил теорию метрических пространств. П Понятие метрического пространства. Пусть Х произвольное непустое множество. Говорят, что на Х задана метрика (расстояние, если для каждой паре элементов x,y
∈X поставлено в соответствие единственное неотрицательное число
ρ(х,у), удовлетворяющее следующим трем условиям (аксиомам метрического пространства)
1.
ρ(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома тождества
2.
ρ(х,у)= ух) для ∀х,у∈X (аксиома симметрии
3.
ρ(х,у)+ ух) ∀х,у,z∈X (аксиома треугольника Пара (Х,
ρ) те. множество Х с заданной на нем метрикой называется метрическим пространством Если (Х,
ρ)- метрическое пространство и АХ, то пара (А, ρ), где ρ(х,у) расстояние между точками х,у
∈А равно расстоянию между этими точками в пространстве (Х,
ρ), также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства (Х,
ρ). Примеры
1. На любом непустом множестве Х можно определить метрику следующим образом:
ρ(х,у)
=
≠
⎧
⎨
⎩
0, x = y;
1, x Такое пространство называется пространством изолированных точек.
2. Пусть Х - множество действительных чисел. В качестве расстояния между точками возьмем функцию Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств функции абсолютная величина числа. Полученное метрическое пространство называется одномерным арифметическим пространством или числовой прямой.
3. Пусть Х - множество упорядоченных наборов n вещественных чисел. Тогда для любых двух его точек
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,...
и
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
, ,...,
определим расстояние
13
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
1 2
)
,
(
ρ
; Получим метрическое пространство, называемое мерным арифметическим пространством, которое обозначается
n
R
4. Множество оставим прежним, а метрику определим иначе Полученное пространство обозначают
R
n
0 5. Воспользуемся множеством вех функций, непрерывных на отрезке [a;b]. Расстоянием между двумя его элементами будем вычислять по формуле
ρ(
f
,
g
)=
[ ]
( )
( )
sup
;
x a b
f x
g Получили пространство непрерывных на [a;b] функций (обозначается
[ ]
C
a b
;
).
6. Возьмем множество числовых последовательностей, квадраты членов которых образуют сходящийся числовой ряд. Метрику определим аналогично метрики примера 3, те.
(
)
x
x x
x
n
=
1 2
, ,..., ,...
(
)
y
y y
y
n
=
1 2
,
,...,
,...
ρ(х,у)
(
)
=
−
=
∞
∑
x
y
i
i
i
2 1
; Получили метрическое пространство, называемое координатным пространством Гильберта П Основные определения. Пусть (Х) произвольное метрическое пространство. Открытым шаром радиуса r и с центром в точке
0
x
называется множество точек этого пространства, расстояние до которых меньше r
( )
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 0
,
,
=
∈
<
ρ
x y
0
a b
[ ]
(
)
{
}
B x r
x
X
x x
r
0 Окрестностью точки а сферической окрестностью) называется открытый шар с центром в этой точке и радиуса В пространстве R
1
открытым шаром
( )
B x r
0
,
является интервал
(
)
x
r x
r
0 Пусть А - произвольное множество метрического пространства (Х. Точка а
∈А называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность этой точки, целиком входящая во множество А. Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью множества Аи обозначается (другое обозначение intA). Множество, состоящее только из внутренних точек называется отрытым r
x
0
r x
0
x
0
∈А называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точки содержится бесчисленное количество точек из множества А. Множество всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается А' Точка а называется точкой прикосновения множества А, если в любая окрестность точки а имеет с множеством А непустое пересечение. Внутренняя точка
A
X
b
Внешняя точка
Замечание Каждая предельная точка является точкой прикосновения, ноне наоборот. Точка множества Ане являющуюся предельной точкой называется изолированной точкой если точка изолированная, то существует такая окрестность этой точки, которая содержит из множества только саму эту точку. Каждая точка прикосновения или предельная точка или изолированная. Множество М метрического пространства (Х) называется ограниченным если существует открытый шар, целиком содержащий множество М. Диаметром множества М называется число
( )
( Расстоянием от точки а до множества М называется число
(
)
( )
x
a
M
a
M
x
,
inf
,
ρ
ρ
∈
=
A
A
A
( )
( Расстоянием от точки а до множества М называется число
(
)
( )
x
a
M
a
M
x
,
inf
,
ρ
ρ
∈
=
A
A
A
Расстоянием между двумя множествами M и N называется число
(
)
( Если
M N
I
≠ ∅
то М. Обратное, вообще говоря неверно. Примеры
1) В пространстве
1
R
множество
A
n
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1 1
2 1
3 1
, , ,..., ,...
обладает следующими свойствами все точки изолированные (внутренних точек не имеется.
• точка 0
∉ A
является точкой прикосновения этого множества
• множество ограничено
• диаметр множества d(A)=1;
• множеством внешних точек является множество
B=
(
) (
)
− ∞
+∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
∞
;0
;
;
U
U
U
1 1
1 1
1
n
n
n
2) Множество С
1
R
обладает следующими свойствами
• множество С открыто, т.к. все его точки внутренние
• множество точек прикосновения совпадает с производным множеством С
• изолированных точек нет
• множество С ограничено
• диаметр множества d(C)=b-a; П Понятие сходимости. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
метрического пространства (Х) называется сходящейся к точке а если
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
a
M
M
N
(
)
( Если
M N
I
≠ ∅
то М. Обратное, вообще говоря неверно. Примеры
1) В пространстве
1
R
множество
A
n
= ⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1 1
2 1
3 1
, , ,..., ,...
обладает следующими свойствами все точки изолированные (внутренних точек не имеется.
• точка 0
∉ A
является точкой прикосновения этого множества
• множество ограничено
• диаметр множества d(A)=1;
• множеством внешних точек является множество
B=
(
) (
)
− ∞
+∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
∞
;0
;
;
U
U
U
1 1
1 1
1
n
n
n
2) Множество С
1
R
обладает следующими свойствами
• множество С открыто, т.к. все его точки внутренние
• множество точек прикосновения совпадает с производным множеством С
• изолированных точек нет
• множество С ограничено
• диаметр множества d(C)=b-a; П Понятие сходимости. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
метрического пространства (Х) называется сходящейся к точке а если
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
a
M
M
N
те.
(
)
ε
ρ
ε
<
⇒
∀
∃
∀
a
,
x n
>
n
,
n
0
>
n
0 0
. При этом точку а называют пределом последовательности и записывают Теорема 1 Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел Предположим, что последовательность
{ имеет два предела
(
)
(
)
lim
,
lim
,
n
n
n
n
x a
x a
→∞
→∞
=
=
ρ
ρ
1 Тогда в неравенстве треугольника для точек
1
a
и
2
a
(
2 1
a
a
≠
)
(
) (
) (
)
ρ
ρ
ρ
a a
a x
x a
n
n
1 2
1 правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему.
<
Теорема 2 Точка а метрического пространства Х является точкой прикосновения множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность точек, сходящихся к точке а Если точка а точка прикосновения множества А, то любая ее окрестность, в частности, открытый шар
B a
n
,
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
имеет с множеством А непустое пересечение, следовательно в каждом таком шаре существует хотя бы одна точка
x
A
n
∈
. Очевидно, что
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
. Следовательно Теорема 3 Точка а метрического пространства Х является предельной точкой множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность попарно различных точек, сходящихся к точке а Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Определение. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
пространства (Х) называется фундаментальной если для любого числа
ε
>0 найдется такое число N, что для всех n,
m >N выполняется неравенство
(
)
ε
ρ
<
n
m
x
x ,
. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Определение. Метрическое пространство в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным В терминах теории метрических пространств известный критерий Коши сходимости числовой последовательности означает полноту метрического пространства Полными являются пространства R
n
,
[ ]
R C
0
n П Замыкание множества. Свойства операции замыкания. Определение Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества Замыкание множества М обозначается Определение Множество М метрического пространства Х называется замкнутым если оно совпадает со своим замыканием. Операция замыкания обладает следующими свойствами
1.
A
A
⊂
;
2.
M
N
M
N
⊂ ⇒
⊂
;
3.
A A
=
;
4.
M N
M N
U
U
=
; Доказательство этих свойств будет приведено для более общего случая топологических пространств. П Свойства открытых и замкнутых множеств метрического пространства. Теорема 4 Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто Пусть F замкнутое множество. И точка
x
X F
0
∈ \
. Так как множество F содержит все свои точки прикосновения, тоне является таковой, а следовательно существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в дополнении множества те. в
X F
\
. Таким образом мы получаем, что произвольная точка
X F
\
является внутренней, а само множество - открыто. Предположим теперь, что множество
X F
\
- отрытое множество. Докажем, что множество F содержит все свои точки прикосновения. Пусть точка те.
y
0
точка прикосновения множества F) и
F
y
∉
0
. Тогда
y
X F
0
∈ \
, в силу открытости множества
X F
\
существует окрестность
(
)
B y
X F
0
,
\
ε
⊂
. Тогда точка
y
0
не является точкой прикосновения множества F. Получили противоречие стем что
y
0
∉F
, следовательно множество F содержит все свои точки прикосновения те. замкнуто.
<
Теорема 5 (О свойствах системы открытых множеств) Отрытые множества обладают следующими свойствами
1. Все пространство Хи- открытые множества
2. Объединение любого количества открытых множеств, есть множество открытое.
3. Пересечение конечного числа открытых множест есть множество открытое.
1 утверждение теоремы очевидно. Пусть множества
G
α
- открыты в метрическом пространстве (Х. Рассмотрим произвольную точку
x
G
G
0
∈ =
α
α
U
. Так как точка
x
0
принадлежит объединению множеств, то существует по крайней мере, одно множество
G
β
, которое содержит эту точку. Множество
G
β
- открытое, следовательно все его точки внутренние. Значит существует такой открытый шар
(
)
ε
ρ
ε
<
⇒
∀
∃
∀
a
,
x n
>
n
,
n
0
>
n
0 0
. При этом точку а называют пределом последовательности и записывают Теорема 1 Последовательность точек метрического пространства может иметь только один предел Предположим, что последовательность
{ имеет два предела
(
)
(
)
lim
,
lim
,
n
n
n
n
x a
x a
→∞
→∞
=
=
ρ
ρ
1 Тогда в неравенстве треугольника для точек
1
a
и
2
a
(
2 1
a
a
≠
)
(
) (
) (
)
ρ
ρ
ρ
a a
a x
x a
n
n
1 2
1 правая часть стремится к нулю, а левая часть постоянна и отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает теорему.
<
Теорема 2 Точка а метрического пространства Х является точкой прикосновения множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность точек, сходящихся к точке а Если точка а точка прикосновения множества А, то любая ее окрестность, в частности, открытый шар
B a
n
,
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
имеет с множеством А непустое пересечение, следовательно в каждом таком шаре существует хотя бы одна точка
x
A
n
∈
. Очевидно, что
(
)
lim
,
n
n
x a
→∞
=
ρ
0
. Следовательно Теорема 3 Точка а метрического пространства Х является предельной точкой множества А, тогда и только тогда, когда во множестве А существует последовательность попарно различных точек, сходящихся к точке а Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Определение. Последовательность точек
,...
,
,
3 2
1
x
x
x
пространства (Х) называется фундаментальной если для любого числа
ε
>0 найдется такое число N, что для всех n,
m >N выполняется неравенство
(
)
ε
ρ
<
n
m
x
x ,
. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Определение. Метрическое пространство в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным В терминах теории метрических пространств известный критерий Коши сходимости числовой последовательности означает полноту метрического пространства Полными являются пространства R
n
,
[ ]
R C
0
n П Замыкание множества. Свойства операции замыкания. Определение Присоединение к множеству всех его точек прикосновения называется замыканием множества Замыкание множества М обозначается Определение Множество М метрического пространства Х называется замкнутым если оно совпадает со своим замыканием. Операция замыкания обладает следующими свойствами
1.
A
A
⊂
;
2.
M
N
M
N
⊂ ⇒
⊂
;
3.
A A
=
;
4.
M N
M N
U
U
=
; Доказательство этих свойств будет приведено для более общего случая топологических пространств. П Свойства открытых и замкнутых множеств метрического пространства. Теорема 4 Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открыто Пусть F замкнутое множество. И точка
x
X F
0
∈ \
. Так как множество F содержит все свои точки прикосновения, тоне является таковой, а следовательно существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в дополнении множества те. в
X F
\
. Таким образом мы получаем, что произвольная точка
X F
\
является внутренней, а само множество - открыто. Предположим теперь, что множество
X F
\
- отрытое множество. Докажем, что множество F содержит все свои точки прикосновения. Пусть точка те.
y
0
точка прикосновения множества F) и
F
y
∉
0
. Тогда
y
X F
0
∈ \
, в силу открытости множества
X F
\
существует окрестность
(
)
B y
X F
0
,
\
ε
⊂
. Тогда точка
y
0
не является точкой прикосновения множества F. Получили противоречие стем что
y
0
∉F
, следовательно множество F содержит все свои точки прикосновения те. замкнуто.
<
Теорема 5 (О свойствах системы открытых множеств) Отрытые множества обладают следующими свойствами
1. Все пространство Хи- открытые множества
2. Объединение любого количества открытых множеств, есть множество открытое.
3. Пересечение конечного числа открытых множест есть множество открытое.
1 утверждение теоремы очевидно. Пусть множества
G
α
- открыты в метрическом пространстве (Х. Рассмотрим произвольную точку
x
G
G
0
∈ =
α
α
U
. Так как точка
x
0
принадлежит объединению множеств, то существует по крайней мере, одно множество
G
β
, которое содержит эту точку. Множество
G
β
- открытое, следовательно все его точки внутренние. Значит существует такой открытый шар
20
(
)
B Следовательно
(
)
B x
G
0
,
ε
α
α
⊂
U
. Таким образом произвольная точка
x
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество G - открытое.
3. Выберем произвольную точку
y
G
G
n
n
k
0 1
∈ =
=
I
. Так как все множества
G G
G
n
1 2
,
,...,
открытые то
(
)
∃
⊂
B y
G
0 1
1
,
ε
,
(
)
∃
⊂
B y
G
0 2
2
,
ε
,...,
(
)
∃
⊂
B Все сферические окрестности точки
y
0
отличаются лишь радиусами. Обозначим
{ }
ε
ε
=
≤ ≤
min
1 i k
i
. Тогда сферическая окрестность
(
)
B y
0
,
ε будет входить вовсе множества, а следовательно ив пересечение этих множеств. Таким образом произвольная точка
y
G
0
∈
оказалась внутренней, следовательно множество
G
- открытое. Теорема Семейство всех замкнутых множеств обладает следующими свойствами a
21 1. Все пространство Хи -являются замкнутыми множествами
2. Объединение конечного числа замкнутых множеств - замкнуто
3. Пересечение любого числа замкнутых множеств - замкнуто. Доказательство теоремы основано на применении формул Де Моргана. Замечание Пересечение бесконечного числа открытых множеств может быть и не открыто. Рассмотрим, например, в пространстве
R
1
пересечение множеств
{ }
0 1
;
1 1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
∞
=
I
n
n
n
. Результат пересечения одноточечное множество
{ }
0
не является отрытым множеством в
R
1